双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）
定理 在双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意
一点，θ=∠21PF F ，则2
cot
2
21θ
?=?b S PF F .
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得
.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ、
配方得：.4cos 22)(2
21212
21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =-+θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ-=--=∴b a c r r
由任意三角形的面积公式得：
2cot 2
sin 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ?=?=-?==
?b b b r r S PF F .
.2
cot 221θ
?=∴?b S PF F
同理可证，在双曲线122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 设1F 和2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）
A. 1
B.
2
5
C. 2
D. 5
/
解：,145cot 2
cot
221=?=?=?θ
b S PF F ∴选A.
例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________.
解: ,12
cot
2
cot
221==?=?θ
θ
b S PF F ?=∴
452
θ
,即.90?=θ
∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF
例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.
解：由31230cot 2
cot
2221=?=?=?b b S PF F θ
得：.122=b
又,2122
=+=a
b e
.41212
=+
∴a
从而.42
=a ∴所求的双曲线的标准方程为
112422=-y x ，或112
42
2=-x y . 金指点睛
`
1. 已知双曲线14
22
=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( )
A. 2
B.
3 C. 2- D. 3-
2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且
2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）
A. 13222=-y x
B. 12322=-y x
C. 1422=-y x
D. 1422
=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF ，
则点M 到x 轴的距离为（ ） A.
34 B. 3
5
C. 332
D.
3
4. 双曲线
116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3
π
则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163
B ．323
C ．32
D ．42
[
5. 双曲线1449162
2
=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且
32||||21=?PF PF ，求21PF F ∠的大小.
6. 已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=?PF PF ，
ab PF PF 4||||21=?，求双曲线的离心率.
参考答案
1. 解：32cot
2cot
221===?θθb S PF F ，∴
?=?=60,302
θθ
.
又3sin ||||2
1
2121=??=?θPF PF S PF F ，∴4||||21=?PF PF .
∴21PF PF ?=22
1
4cos ||||21=?=??θPF PF .
故答案选A.
2. 解： ,21PF PF ⊥∴122
1
||||212121=?=?=?PF PF S PF F . 又145cot 2
cot
22221==?==?b b b S PF F θ
，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .
~
故答案选C.
3. 解： 021=?MF MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22
cot
2
21=?==?θ
b S MF F .
点M 到x 轴的距离为h ，则23||2
1
2121===??=
?h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.
4. 解：设θ=∠21PF F ，则3
π
θ=
. ∴3166
cot
162
cot
221===?π
θ
b S PF F .
故答案选A.
5. 解：由1449162
2
=-y x 得
116
92
2=-y x . 设θ=∠21PF F （?≤?1800 θ）. ∴2
cot 162cot
221θ
θ
==?b S PF F . 又θθsin 16sin ||||2
1
2121=??=
?PF PF S PF F . ∴2cot sin θθ=，即2
sin
2cos 2
cos 2sin 2θ
θ
θ
θ=
.
[
整理得：21
2
sin 2
=
θ
，∴222sin =θ，?=452
θ，?=90θ.
故21PF F ∠的大小为?90.
6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=?PF PF ∴?=90θ.
∴22245cot 2
cot
21b b b S PF F =?==?θ
.
又 ab ab PF PF S PF F 2421
||||212121=?=?=
?， ∴ab b 22=. 得2=a
b
.
∴离心率5)(12=+=a
b e .
…
?