三角函数及解三角形知识点

三角函数知识点

???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是

第几象限对应的标号即为n

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r α=．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

，180157.3π??=≈

???

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，211

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的

距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2

1sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

．口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点

的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

T =

；③频率：12f ω

T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最

大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象

定义域 R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

值域

[]1,1-

最

值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；当

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周

期性 2π 2π

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单

调性

在2,222k k ππππ?

?-+???

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是

增

函

数

；

在

在,22k k ππππ?

?-+ ??

函数性

质

()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++???

? ()k ∈Z 上是减函数．

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

()k ∈Z 上是增函数．

对

称性对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴()2x k k π

π=+∈Z

对

称

中

心

(),02k k ππ??+∈Z

??? 对称轴()x k k π=∈Z

对

称

中

心

(),02k k π??

∈Z

???

无对称轴

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+c osA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 辅助角公式

()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B

．

降幂公式

（sin^2）x=1-cos2x/2（cos^2）x=i=cos2x/2 万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα