★中考专题：折叠问题
中考数学解析
----- 专题 折叠
类型1 三角形中的折叠问题
1、(2018·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，3
2)，
则该一次函数的解析式为________．
一、
2．(2016·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．
类型2 四边形及其他图形中的折叠问题
1．(2018·德阳)将抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋3在x 轴上方的部分沿x 轴翻折至x 轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点个数的情况有（ ）
A ．6种
B ．5种
C ．4种
D ．3种
2．(2015·南充)如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A ′处，折痕所在直线同时经过边AB 、AD(包括端点)，设BA ′＝x ，则x 的取值范围是________．
3.（2017深圳）如图1，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G 。
（1）求证：AG ＝GC ′。
（2）如图2，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长。
4. 已知点E 、F 分别在正方形纸片ABCD 的边BC 、CD 上，将△ABE 、△ADF 分别直线AE 、AF 向内折叠，点B 、D 均落在同一点G 处。
（1）求∠EAF 的度数。 （2）若BE=2，DF=4，求△AEF 的面积。
5、
6. 在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，将△ABE沿直线AE翻转，点B落在点B1处。
（1）请在图中作出点B1及翻转后图形。
（2）若E在BC上，求点B1的坐标。
（3）现将题的条件“BE=2CE”改为：若点E从点B开始在射线BC上运动。设BE=t, △ABE翻折后与正方形ABCO的重叠部分面积为S, 试写出S 与t的数关系式。并求出当S=12时，BE的值。
（巩固练习）
一、选择题
1. （2016梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）
2. （2015南京）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，
当D’F⊥CD时，CF
FD的值为（）
31
-3231
-31
+
3. （2017连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）
A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．5
4. （2016河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、
AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75o，则∠1＋∠2＝（）
A．150o B．210o C．105o D．75o
5. （2019南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）
A．3
2 B．
5
2 C．
9
4 D．3
6. （2018武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
7. （2016黄石）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）
A. 25
cm
8 B.
25
cm
4 C.
25
cm
2 D.
8cm
8. （2015荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）
A． 8 B． 4C． 8 D． 6
9. （2018内江）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）
A.15
B.20
C.25
D.30
10. （2019资阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）
A．63 B．123C．183D．243
11. （2016黔东南）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC
等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12. （2018遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）
A．32B．26C．25D．23
13. （2018泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）
A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9
14. （2019潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）．
A．51
B．
5+1
C . 3 D．2
15. （2016河池）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN
BM的值为（）
A．2 B．4 C．25D．26
16. （2018河北）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）
A．70° B．40° C．30° D．20°
17. （2018西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手
指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过
折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
二、填空题
1. （2019上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．
2. （2016丽水）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．
3. （2017绍兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF 沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
4. （2017台州）如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=度．
5. （2018宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=°.
6. （2017盐城）如图,在△A BC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°o.现将△ADE沿
DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为°.
7. （2015扬州）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB2
BC3
，那么tan∠DCF的值是．
8. （2018荆州）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为
9. （2016岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= ．
10. （2019达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD
上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .
11. （2018黔西南）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为 cm 2。
12. （2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC
交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为
13. （2018包头）如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：
① ∠AED ＝∠C ；
②
A D A E
DB EC
''=； ③ BC= 2DE ； ④ BD A E A C AD A E
S S S ?'?''=+四形边。
其中正确结论的个数是 个。
14. （2016绥化）长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a 的值为 .
15. （2018黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西）如图所示，沿DE 折叠长方形ABCD 的一边，使点C 落在AB 边上的点F 处，若AD=8，且△AFD 的面积为60，则△DEC 的 面积为
三、解答题
1. （2015天津）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300
时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．
2. （2017海南）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，
折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.
3. （2018广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；
E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
4. （2018深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.
(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
5. （2018珠海）AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
6. （2016龙岩）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为．
7. （2019龙岩）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对
应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的
条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
8. （2015恩施）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，
再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，
在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
9. （2016天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
10. （2018宜昌）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ．
（1）点E 可以是AD 的中点吗？为什么？ （2）求证：△ABG∽△BFE； （3）设AD=a ，AB=b ，BC=c
①当四边形EFCD 为平行四边形时，求a ，b ，c 应满足的关系； ②在①的条件下，当b=2时，a 的值是唯一的，求∠C 的度数．
11. （2015株洲）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O ．
（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度．
12. （2018益阳）已知：如图，抛物线y=a （x ﹣1）2
+c 与x 轴交于点A
()
130
-
，和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶
点P 落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x 轴的平行线交抛物线于C 、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，
寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD ）的比非常接近黄金分割比
51
-（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
5 2.236
6 2.449≈≈ ，，结果可保留根号）
13. （2015德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
14. （2017菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的
正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O
落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
15. （2015威海）（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、
BC于点E、F 。求证：AE=CF。
（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。
设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。求证：EI=FG。
16. （2017南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
17.
18. （2015南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的?AB
所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的?AB
经过圆心为O时，求
?
AOB的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的?AB
与
?CD
所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的?AB
与
?CD
所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，
试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
19. （2018白银）已知，在Rt△OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内．将Rt△OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处． （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线2y
ax bx(a 0)=+≠经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一动点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
20. （2016长春）如图，在平面直角坐标系中，
Y OABC 的顶点A, C 的坐标分别为A(2,0),C(-1,2),反比例函数()
k y=k 0x
≠的图像经过点B. （1）求k 的值．
（2）将
Y OABC 沿着x 轴翻折，点C 落在点C′处．判断点C′是否在反比例函数()k y=k 0x
≠的图像上，请通过计算说明
理由．
21. （2017吉林）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，
点O 恰好落在 ?
AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．
22. （2019绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
23、
25、
类型三 ——角度问题
例三：如图，抛物线2
32y x x =-+-与x 交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，∠ACB=∠BCP ，求点P 的坐标
变式一
如图，抛物线
243y x x =-+与x 交于M,N 两点，与y 轴交于点D ，点E 在第一象限的抛物
线，且DM 平分∠OME,求点E 的坐标。
y x
N
M
D
O
E
变式二 ： 抛物线
2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C,点P 在抛物线上，且位于x 轴的下方。
（1）如图1，若点P （1,3-），B （4,0），①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上的一点，满足∠DPO=∠POB ，求点D 的坐标
（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA 、PB 与
y 轴分别交于E 、F 两点，点
P 运动时，OE+OF 是否为定值？若是，试求出改定值；若不是，请说明理由。
中考数学中的折叠问题
D ' C ' B ' D A B C M E F B E ' D ' A C D E F 中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。 例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。 由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ， ''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合， 则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11 ()18022 BMC CMC ∠+∠=?°= 90°，故选B 。 例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、 'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ） A 、31° B 、28° C 、24° D 、22° 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。 例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若OB=5，1 tan 2 BOC ∠=，则点' A 的坐标为 。 分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。 x A ' B O y C A G E F
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
中考数学专题复习 题型(九)折叠、旋转问题解析版
题型（九）折叠、旋转问题 1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为． 【答案】9 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm， 则CF= 2cm． 4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2 DE=，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形''' +=( ) CE CG CE，则'' DE F G，此时点' G在AC上，连接'
1 【答案】AA 5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30?和45?角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1） ，点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0?到60?的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号） 【答案】12．1－18． 6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 . . 7.（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，10AB AD ==，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ .
初中数学中的折叠问题电子教案
初中数学中的折叠问题 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕， 折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处， 再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长． 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角 形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（） 注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积． 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形3 2 1 F E D C B A G A' C A B D
6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形． 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般 情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之 间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）． （1）求图②中∠BCB′的大小； （2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由． 理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中 ①②③④四个三角形的周长之和为 折叠前后对应边相等 9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B 落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN交于P． (1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式； (3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNC’B’面积最小？并验证你的猜想． 5 4 1 32 G D‘ F C‘ D B C A E
2020上海中考数学压轴题专项训练
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5
2019年中考数学专题矩形的折叠问题(答案版)
专题复习课：矩形中的折叠问题 一． 知识与方法 1考察知识与方法 图形的变换：平移、轴对称、旋转 ?? ???、求角度、求面积、求线段问题321矩形的折叠 2【方法指导】 方法一：勾股定理法 步骤1、假设未知数 2、折叠前后对应边、对应角相等； 3、再把条件集中到一个直角三角形中，利用勾股定理列方程 结论：等腰三角形平行线矩形角平分线折叠? ??→→ 方法二：等面积法 【总结归纳】折叠问题，题型多变，关键是利用轴对称的性质，抓住背景图的性质，运用方程的思想，函数的思想，转换的方法从而解题.折线是对称轴，对应点的连线段被对称抽垂直平分，折叠前后的图形全等. 二【课堂例题】 1、在矩形ABCD 中，点B 沿CE 折叠落在对角线AC 边上的点F 处，AB=6，BC=8， 求BE 以及折痕CE (你还能求什么？) 2、在矩形ABCD 中，点B 沿CE 折叠落在AD 边上的点F 处，AB=8，BC=10，求BE (你还能求什么) 3、在矩形ABCD 中，点B 沿AC 折叠落在点E 处，交AD 边于点F ，AB=6，BC=8， （1）求AF （2）求AFC S ?（你还能发现什么结论）
4、在矩形ABCD 中，四边形ABFE 沿EF 折叠，点A 落在点A ' 处，点B 落在点D 处，AB=6，BC=8， （1）求ED （2）求EDF S ?（3）求四边形'A EFD 的面积（4）求折痕EF （5）四边形BEDF 是什么四边形？（你还可以提什么问题） 三【课堂练习】 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一动点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ，AB =3， AD =4. 图1 图2 图3 （1）如图1，当∠DAG =30o 时，求BE 的长；（2）如图2，当点E 是BC 的中点时，求线段GC 的长； （3）如图3，点E 在运动过程中，当△CFE 的周长最小时，求出BE 的长. 四课堂小结： 1. 你学习了什么知识。2你学习了什么数学思想方法。3.你还有什么疑问？ 五【课后作业】 1、在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =8． （1）将矩形纸片沿BD 折叠，使点A 落在点E 处如图①．设DE 与BC 相交于点F ，求BF 的长； （2）将矩形纸片折叠，使点B 与D 重合如图②，求折痕GH 的长
常考压轴08 折叠问题-2020年中考数学特训营(解析版)
【十大常考压轴题特训】 特训08——折叠问题 题量﹕25题；分值﹕共计100分；推荐时间﹕60分钟 问题1．(2019 甘肃省兰州市) 如图，ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = ) A B C D E F M O A ． 1 2 B C ．1- D 1 【分析】根据正方形的性质得到AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ，求得BD ＝2AB ＝2，得到OD ＝BO ＝OC ＝1，根据折叠的性质得到DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ，求得OE ＝ 2 －1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解析】四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ， ∴BD ＝2AB ＝2， ∴OD ＝BO ＝OC ＝1， ∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， ∴DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ， ∴OE ＝ 2 －1，∠EDF ＋∠FED ＝∠ECO ＋∠OEC ＝90°， ∴∠ODM ＝∠ECO ， 在△OEC 与△OMD 中，? ????∠EOC ＝∠DOC ＝90 ° OD ＝OC ∠OCE ＝∠ODM ， ∴△OEC ≌ △OMD ， ∴OM ＝OE ＝ 2 －1，
故选：D ． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 问题2．(2019 广西桂林市) 将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点 B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则 AD AB 的值为( ) A B C D E F G O A ． 65 B C ． 32 D 【分析】由折叠可得，E ，G 分别为AD ，CD 的中点，设CD ＝2a ，AD ＝2b ，根据Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2，可得即a 2＋(2b )2＝(3a )2，进而得出AD AB 的值． 【解析】由折叠可得，AE ＝OE ＝DE ，CE ＝OG ＝DG ， ∴，G 分别为AD ，CD 的中点， 设CD ＝2a ，AD ＝2b ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝2b ， ∵∠C ＝90°， ∴Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2， 即a 2＋(2b )2＝(3a )2， ∴b 2＝2a 2， 即b ＝2a ， ∴b a ＝2， ∴AD AB 的值为 2 ， 故选：B ． 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
中考数学折叠问题
2016年中考专题：折叠问题 折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。 图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称； 3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形； 4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系； 5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。 折叠问题数学思想： (1)思考问题的逆向(反方向)， (2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路； (3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想； (4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)； (5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。 折叠问题主要有以下题型： 题型1：动手问题 此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起． 题型2：证明问题 动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题 此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。 典型例题 一．折叠后求度数 例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950 练习 1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（） A．50°B．55°C．60°D．65°
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
2020年九年级数学中考压轴专题：折叠问题与动点问题(含答案)
2020年九年级数学中考压轴专题： 折叠问题与动点问题1.如图①，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF .如图②，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N .若AD =2，则MN =_____ . 第1 题图 2.边长为4的菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________． 3.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF 、DC 相交于点G ，若DG ＝16，BC ＝ 24，则BH ＝_______． 第2题图
第3题图 75 8 4.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折 叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为________． 第4题图第4题解图 26 5.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝75°，BD ＝4，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为E，连接BE与OA交于点F，则OF的长度为______． 第5题图
6.如图①，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C. (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)如图②，M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM. ①若N为AB中点，BN＝2，求CN的长； ②若CM＝3，CN＝4，求BC的长． 第题图 (1)证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． (2)解：如解图①中，延长CM、BA交于点E.
中考数学中的折叠问题
专题：漫谈折叠问题（二） 、折叠问题小技巧 A 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造; B 通常要设求知数； C 利用勾股定理构造方程。 、折叠问题常见考察点 （一）求角的度数 1. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △KBC 纸片，点D E 分 别是边AB AC 上，将△KBC 沿着DE 折叠压平，A 与A 重合，若ZA=75°则△+￡=【 】 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 AB= AC, △BAO 50° △BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 D. 75 ABCC 中，虫=70°,将平行四边形折叠，使点 D C 分别落在点F 、E C. 105 2.如图，在平行四边形 ，折痕为MN 则△KMF 等于【 D . 20° 3.如图，在等腰 △XBC 中,
C沿EF折叠后与点Q重合，则?EF的度数是 【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。
4.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A处，连接A'C,则 5.如图，在△KBC中，D,、E分别是边AB AC的中点，ZB=5O°o现将△KDE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A i,则的度数为____________________________ ° 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。 （二）求线段长度 1. 如图，正方形纸片ABCD勺边长为3，点E、F分别在边BC CD上,将AB AD分别和AE、 AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1,贝U EF的长为【 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 2. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC的点F处?若AE= 5, BF= 3，则CD的长是【 A. 7 B . 8 C . 9 D . 10 【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
中考数学压轴题专项培优训练：一次函数综合题(附解析)
中考数学压轴题专项培优训练：一次函数综合题 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣6，0），点C 在y轴正半轴上，且cos B＝，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q． （1）求点D坐标； （2）求△OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）在直线l移动过程中，是否存在t值，使S＝？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由．
2．如图，平面直角坐标系中直线l1：y＝x与直线l2：y＝﹣x+8相交于点A，直线l2与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点D（﹣6，0），点F（0，6），连接DF．（1）如图1，求点A的坐标； （2）如图1，若将△ODF向x轴的正方向平移a个单位，得到△O′D′F′，点D与点B 重合时停止移动，设△O′D′F′与△OAB重叠部分的面积为S，请求出S与a的关系式，并写出a的取值范围； （3）如图2，现将△ODF向x轴的正方向平移12个单位得到△O1D1F1，直线O1F1与直线l2交于点G，再将△O1GB绕点G旋转，旋转角度为α（0°≤α≤360°），记旋转后的三角形为△O1′GB′，直线O1′G与直线l1的交点为M，直线GB′与直线l1的交点为N，是否存在△GMN为等腰三角形？若存在请直接写出MN的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，△OAB的面积是2． （1）求线段OB的中点C的坐标． （2）连结AC，过点O作OE⊥AC于E，交AB于点D． ①直接写出点E的坐标． ②连结CD，求证：∠ECO＝∠DCB； （3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标． 4．如图，已知?ABCD边BC在x轴上，顶点A在y轴上，对角线AC所在的直线为y＝+6，且AC＝AB，若点P从点A出发以1cm/s的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发以2cm/s 的速度沿射线CB运动，当点P到达终点O时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）直接写出顶点D的坐标（，），对角线的交点E的坐标（，）； （2）求对角线BD的长； （3）是否存在t，使S△POQ＝S?ABCD，若存在，请求出的t值；不存在说明理由． （4）在整个运动过程中，PQ的中点到原点O的最短距离是cm，（直接写出答案）
中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)
中考数学专题复习16——矩形折叠问 来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日
思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出 其他线段长度） 例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如 图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求 思路分析： 在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得 到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。 （1）说明 DE=DF
（2）求 （3）求EF 的长度 思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路： ①可说明全等； ② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰 所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰 例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)， 使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP． (1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化? 请说明理由． 思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称， 即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关 系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长． 三.能力训练 1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后 得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.
中考专题一-折叠问题题型方法归纳
（第18题图） A C B 折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ． 48° C ．52° D ．58° 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 3、（2009年日照市） 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥． 8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和 C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合） ，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示ADE △的面积； （2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ A 图3 B M C B C N M A 第2题图 A ' B D A C E C B A D
(精心整理)2017年中考数学复习专题图形折叠问题及答案
2017年中考数学一轮复习专题 图形折叠问题综合复习 一选择题： 1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（） A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（） A．12 B．24 C．12 D．16 4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
A．1 B．2 C. D. 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6 7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（） A.7 B.8 C．9 D． 10 8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78° B．75° C．60° D．45° 9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（） A． 10 B． 13 C． 15 D． 12 10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
数学数学中考数学压轴题的专项培优易错试卷练习题及解析
一、中考数学压轴题 1．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝ 4 3 AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ． （1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示) （2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形． （3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案） 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴 于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2020届中考数学复习基础测试卷专练 特殊四边形的折叠问题【含答案】
2020届中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题 一、选择题 1. 如图，将?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ） A ．66° B ．104° C ．114° D ．124° 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ） A. 53 B. 35 C. 43 D.3 4 3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ） A.3 B. 4 C. 5 D.6 二、填空题 4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________． 5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 ________ cm 2．
6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为 _______. 三、解答题 7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O. 求证：OA=OE 8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE （1）求证：四边形'BCED 是平行四边形 （2）若BE 平分∠ABC ，求证：2 22BE AE AB += 9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。 （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。 10．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ， （1）求证：四边形AECF 为菱形； （2）若AB=4，BC=8， ①求菱形的边长； A B C D E O
15题压轴题练习--图形折叠及动点问题的相关计算
图形折叠及动点问题的相关计算 考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长． 【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特 殊位置的探究． 1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分； 2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解； 3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等． 1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 2 1 或1 ． 【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°， 推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM= MB′，列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图1， 当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点， ∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC ， ∴∠C=45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形，