等差数列单元测试题百度文库

一、等差数列选择题

1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．

尺布 B ．

尺布 C ．

尺布 D ．

尺布 2．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72

B ．90

C ．36

D ．45

3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足

122527

n n

a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）

A ．6-

B ．2-

C ．1-

D ．0 4．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（）

A ．a 5＝4

B ．a 6＝4

C ．a 5＝2

D ．a 6＝2

5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8

B ．13

C ．26

D ．162

6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11

B ．12

C ．23

D ．24

7．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4S

B ．5S

C ． 6S

D ． 7S

8．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且

713n n S n T n -=，则5

a b =（） A ．

B ．

2310

C ．

317

D ．

9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11

a =

，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ??

????

的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（）

A ．214

a =-

B ．

648

211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为

712

D ．1121

n n n n n

T T T n n +-=

++ 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

12．已知数列{}n a 的前项和2

21n S n =+，n *∈N ，则5a =（）

A ．20

B ．17

C ．18

D ．19

13．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（） A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

15．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36

B ．48

C ．56

D ．72

16．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15

B ．30

C ．3

D ．64

17．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）

A ．3、8、13、18、23

B ．4、8、12、16、20

C ．5、9、13、17、21

D ．6、10、14、18、22

18．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

23)n C ．

n + D ．

n + 19．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（）

A ．

B ．

92 C ．2 D ．9 20．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意

*n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

二、多选题

21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}

F n ，则(){}

F n 的通项公式为（）

A ．(1)1()2

n n F n -+=

B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==

C ．(

)1122n n

F n ????+-?=- ?????? D ．(

)1122n n F n ?????=+ ??????

22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥

时，)

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是（）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列23．题目文件丢

失！

24．若数列{}n a 满足112,02

121,1

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（） A ．

B ．

C ．

D ．

25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<

B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤

D ．当且仅当0n

S <时，26n ≥

27．（多选题）在数列{}n a 中，若22

1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称

{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}

n a 是等方差数列

B ．

(){}1n

-是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

28．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

29．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-

B ．23n a n =+

C ．2

23n S n n =-

D ．2

4n S n n =+

30．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．D 【分析】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，

由题意可得30130293015015293902

S a d d ?=+=+?=，解得16

29d =.

故选：D. 2．B

由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2

444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】

由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，

∴2

444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，

∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，

∴99(229)

902

S ?+?=

=，

故选：B 【点睛】

思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2

k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()

n n n a a S +=的应用. 3．A 【分析】转化条件为

122527

n n

a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.

【详解】因为122527

n n a a n n +-=--，所以122527n n

a a n n +-

=--，又

1127a =--，所以数列27n a n ??

??-??是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以

()1212327

a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得

3722

n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()

()()3123min

13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.

故选：A. 【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．C

利用等差数列的性质直接计算求解【详解】

因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 5．B 【分析】

先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据

()

11313713132

a a S a +=

=求解出结果.

【详解】

因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，

又()

1131371313131132

a a S a +=

==?=，故选：B. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

6．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C. 7．B 【分析】

根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】

依题意55647560

0000

a a a a a a a d >?>??

?+=+

，所以015n a n >?≤≤，所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .

8．D 【分析】

利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】

由713n n S n T n

-=， ()()1955199195519992791622923927

a a a a a a S

b b b b b b T ++?-======++?.

故选：D 9．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．D 【分析】

当2n ≥且*

n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入1

20n n n a S S -+=可推导出数列1n S ??

????

为等差

数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ??

????

的通项公式，由221a S S =-可判断A

选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】

当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，

由120n n n a S S -+=可得11111

2020n n n n n n

S S S S S S ----+=?-+=，整理得

112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ??

????

为以2为首项，以2为公差的等差数列

()12122n n n S ?=+-?=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111

424

a S S =-=

-=-，A 选项正确； B 中，1n S ??

????

为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()

1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=

+-++， ()()()

1123111

212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，

()()()

1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=

--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 1117

24612

n b b S S S ∴==+-=

+-=，C 选项正确； D 中，

12n n S =，()()2212

n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()111121121

11n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.

故选：D ．【点睛】

关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?来求解，在变形

过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 12．C 【分析】

根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】

因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=．故选：C ． 13．A 【分析】

由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得154

52252

a ?+

?=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ?-=，解得4m =，故选：A 14．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥

，当21m k =-，（*

k N ∈）时，

m m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 15．A

【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】

因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()199998

3622

a a S +?===. 故选：A . 【点睛】

熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 16．A 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，

12111a a d =+，即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174

174d a ?

=????=-??

，

所以12117760

111115444

a a d =+=-+?==，所以12a 的值是15，故选：A 17．C 【分析】

根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】

在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则71251

4716

a a d --=

==-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 18．C 【分析】

由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??

????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ??

????

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+

故选：C 19．A 【分析】

由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】

设公差为d ，则42363

4222a a d --=

==--，所以5433322

a a d =+=-=. 故选：A 20．A 【分析】将11122

n n n a a -=

+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】

因为2n ≥时，11122

n n n

a a -=+，所以1

1221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

2n n

n a +=

. 又因为

n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max

22n n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A

二、多选题

21．BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，

显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，

，

()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；

由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以(

)(

)()11F n n F n n ?+-

=--???

所以数列(

)()1F n n ????

+??????

是以12+

为首项，12+为公比的等比数列，所以(

)(

)1n

F n n +-=??

11515()n F F n n -

+=++，令

n n F b

，则11n n b +=

+，

所以1

n n b b +=

-，所以n

b ??

????

的等比数列，

所以

n n b -

+，所以

()11

15n n n n

F n --?

???

+??=+=- ? ?????????

????

???；即C 满足条件；故选：BC 【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要

求由较高的逻辑思维能力，属于中档题． 22．ABC 【分析】

由)

12n a =

1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥

时，由)

12n a =-，

得)

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC

23．无

24．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC.

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．AD 【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】

①671,1a a >>, 与题设

671

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设

671

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD. 【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1

1n n a a q n N -=∈.

26．AB 【分析】

根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】

因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，

又10a >，

所以12130,0a a ><，

所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()

2502

a a S a +==<，故D 错误，故选：AB 【点睛】

关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到

12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.

27．BCD 【分析】

根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.

对于A 选项，取n a n =，则

()()()4

444221111n n a a n n n n n n +????-=+-=+-?++????

()()221221n n n =+++不是常数，则{}

n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；

对于B 选项，()()2

111110n n

+????---=-=????

为常数，则(){

}

-是等方差数列，B 选项

中的结论正确；

对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得22

1n n a a p +-=，则数列

{}2n

a 为等差数列，所以(

)

21kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方

差数列，C 选项中的结论正确；

对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得

n a dn m =+，

则()()()()2

1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，

由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得22

1n n a a p +-=，

则()222d n m d d p ++=对任意的n *

∈N 恒成立，则()2202d m d d p ?=??+=??

，得0p d ==，

此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】

本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 28．BD 【分析】

由6111160S S S S =?-=，即950a =，进而可得答案．【详解】

解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >

所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 29．AC 【分析】

由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式

由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232

n n n S n n --==-.

故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 30．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项

可得结果. 【详解】

)

11n a =

-得)

11n a +=

，

1=，

即数列

2=，公差为1的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

∴2

2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，

所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.

等差数列单元测试题 百度文库

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