小学奥数之牛吃草问题含答案
“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”
英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
解题关键：
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量
4、最后求出可吃天数
想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：
（10×22-16×1O）÷(22-1O）
=（220-160）÷12
=60÷12
=5（头）
这片草供25头牛吃的天数：
（10-5）×22÷（25-5）
=5×22÷20
=5.5（天）
答：供25头牛可以吃5.5天。
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“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新
长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
例1 小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天？
草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4
老草（路程差）：根据：路程差=速度差×追及时间
（10－4）×20=120 或（12－4）×15=120
追及时间=路程差÷速度差： 120÷（24－4）=6（天）
例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？
草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22
老草（路程差）： (50－22）×9=252 或 (58－22）×7=252
求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速 252÷6＋22=64(头)
例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块
草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
（20＋10）×5＝150（份）。
由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。
例4 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析：
虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”
进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所
放进的水量，所以每分钟的进水量是
(16-15)/3=1/3(份)
假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)
解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)
进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)
答：出水管比进水管晚开40分钟。
例5 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：
4a-b=6a-3b，即a=b.
这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得
（xa-a）×2＝（2a-a）×15，
化简，得 2ax-2a=15a，
即 2xa=17a.（a≠0）
所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.
以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.
把进水管看成"牛",排水管看成"草",满池水就是“老草”
排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1
满池水（路程差）： (2－1）×15=15 或 (4－1）×5=15
几个进水管：15÷2＋1=8.5（个)
我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程问题的解法来做呢？之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！
当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1个排水管的效率就是1/5。
当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。
两者之间差了（4－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是：
（1/5－1/15）÷（4－2）=1/15
1个排水管的效率是：
4×1/15－1/5=1/15 或者 2×1/15－1/15=1/15
现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
（1/2＋1/15）÷1/15=8.5（个)
例6 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例7 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，
5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
例8 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。
因为 5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。
因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10
＝840（份）。可供285头牛吃
840÷（285—180）＝8（天）。
所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
例9 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？
分析：这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加．但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来．我们可以先画线段图（如图5—1）．
从上面图对比可以看出，18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相当于4周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量．有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了．
解：设1头牛吃一周的草量的为一份．
（1）24头牛吃6周的草量
24×6=144（份）
（2）18头牛吃10周的草量
18×10=180（份）
（3）（10-6）周新长的草量
180-144=36（份）
（4）每周新长的草量
36÷（10-6）=9（份）
（5）原有草量
24×6-9×6=90（份）
或18×10-9×10=90（份）
（6）全部牧草吃完所用时间
不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有
90÷（19-9）=9（周）
答：供19头牛吃9周．
例10 20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？
分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．
设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决．
解：（1）每公顷每天新长的草量
（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）
=0.5（份）
（2）每公顷原有草量
20×72÷32-0.5×72=9（份）
或16×54÷24-0.5×54=9（份）
（3）40公顷原有草量
9×40=360（份）
（4）40公顷36天新长的草量
0.5×36×40=720（份）
（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数
（360+720）÷36=30（匹）
答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草．
例11 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米，中车速每小时39．6千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？
分析根据题意先画出线段图，如图5—2．
从图5—2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be．ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟
的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd，路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度．be表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了．
解：快车速度54千米／小时=900米／分钟
中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟
（1）骑车人的速度
（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟）
（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离
900×3-300×3=1800（米）
（3）慢车8分钟行的路程
1800+300×8=4200（米）
（4）慢车的车速
4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时
答：慢车的车速为每小时31.5千米．
练习1：有一片牧场，已知饲牛27头，6天把草吃尽。饲牛23头，则9天吃尽。如果饲牛
21头，问几天吃尽？
解：假设1头牛1天吃的草为1.
⑴每天新长的草：（23×9-27×6）÷（9-6）=15
⑵牧场原有的牧草：27×6-15×6=72
⑵21头牛几天把草吃尽：72÷（21-15）=12
计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不
断地生长，计算时要把这一点考虑进去。（江苏人民出版社《小学数学袖珍手册》）
牛顿问题是牛顿在1707年提出的著名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。
没看吧主的解，试做了一下：
设原有草X，每天长草Y，每天每牛吃草Z，
得方程组：1、X+6Y=Z*27*6
2、X+9Y=Z*23*9
3、X+?Y=Z*21*?
由1、2得Y=15Z，X=72Z，代入3，
得到:72Z+15?Z=21?Z
得到:?=12.
练习2:小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？
试解：根据题意，设李速度为X，小明速度为Y，得到：
16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的7倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7次，其中“追上”3次，————————————————————————————————
习题
1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？
解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。
假设一头牛一周吃草一份
则23头牛9周吃的总草量：1×23×9=207份
27头牛6周吃的总草量：1×27×6=162份
所以每周新生长的草量：（207-162）÷（9-6）=15份
牧场上原有草量：1×27×6-15×6=72份，（或1×23×9-15×9=72份）
牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草.
假设有15头牛专吃新生长的草，另一部分21-15=6头牛专去吃原有的草
则牧场上原有的的草够吃72÷6=12周
即这个牧场上的草够21头牛吃12周.
2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天。那么它可供多少头牛吃10天？
假设一头牛一天吃草一份
则20头牛5天吃的总草量：1×20×5=100份
15头牛6天吃的总草量：1×15×6=90份
所以每天枯草量：（100-90）÷（6-5）=10份
牧场上原有草量：1×20×5+10×5=150份
牧场上的草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头牛
3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。
所以问题可转化为：这片牧草可供16头牛吃20天，或者供20头牛吃12天.那么（10+15）=25头牛可以吃多少天
设一牛一天吃草一份
则每天长草（1×16×20-1×20×12）÷（20-12）=10份
原有草1×16×20-10×20=120份
假设25头牛中，10头牛专吃每天新长的10份草，另外的25-10=15头牛专吃原有草
则120÷15=8天
即这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。
4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果12人淘水，3小时淘完；如5人淘水，10小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
设1人1小时的淘水量为“1份”
则12人3小时淘水：1×12×3=36份
5人10小时淘水：1×5×10=50份
所以每小时漏进水：（50-36）÷（10-3）=2份
淘水时已漏进的水：36-2×3=30份
所以如果要求2小时淘完，要安排（30+2×2）÷2=17人淘水
5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
设1台抽水机连1天抽水1份
则5台抽水机连续20天抽水5×20=100份
6台抽水机连续15天抽水6×15=90份
每天进水（100-90）÷（20-15）=2份
原有的水100-2×20=60份
所以若6天抽完，共需抽水机（60+2×6）÷6=12台
6.有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
将三块草地的面积统一起来：
即[5，6，8]=120
第一块草地可供11头牛吃10天，120/5=24，变为120公顷草地可供11×24=264头牛吃10天
第二块草地可供12头牛吃14天，120/6=20，变为120公顷草地可供12×20=240头牛吃14天
120/8=15，问题变为120公顷草地可供19×15=285头牛吃多少天
于是，假设一头牛一天吃草一份
所以120公顷草地每天新生长的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180份
120公顷草地原有草：264×10-180×10=840份
所以可供285头牛吃840÷（285-180）=8天
即第三块草地可供19头牛吃8天
7.经测算，地球上资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生资源速度一定，那么为满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？
设1亿人1年消费资源1份
则100亿人生活100年消费资源100*100=10000份
80亿人生活300年消费资源80*300=24000份
所以每年新生资源（24000-10000）÷（300-100）=70份
为满足人类不断发展需要，应使每年消费的总资源不超过每年新生资源
所以地球最多能养活70÷1=70亿人
8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟，如果同时开7个检票口，那么需多少分钟？
假设1个检票口1分钟检票1组
则4个检票口30分钟检票4*30=120组
5个检票口20分钟检票5*20=100组
所以每分钟来的旅客：（120-100）÷（30-20）=2组
开始检票前已来旅客：120-2×30=60组
所以如果同时开7个检票口，那么需60÷（7-2）=12分钟
9.画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？
假设1个入口1分钟进入人数为1组
则3个入口9分钟进入人数3*9=27组
5个入口5分钟进入人数5*5=25组
所以每分钟来的观众人数：（27-25）÷（9-5）=0.5组
开门前已来的观众：25-0.5*5=22.5组
所以第一个观众到达时间是9点-（22.5÷0.5）分=8点15分
10.牧场上有一片匀速生长的草地，可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？
设1头牛1天吃草1份
则17头牛30天吃草：1×17×30=510份
19头牛24天吃草：1×19×24=456份
所以每天新生草：（510-456）÷（30-24）=9份
牧场上原有草：510-9×30=240份
假设那4头牛不卖掉，必须另备两天的草1×4×2=8份
所以这群牛原来有：[240+9×（6+2）+8]÷（6+2）=40头
11.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
男孩5分钟走了20×5=100级
女孩6分钟走了15×6=90级
女孩比男孩少走了100-90=10级，多用了6-5=1分钟，说明扶梯1分钟走10级
因为男孩用了5分钟到达楼上
该扶梯共有20×5+10×5=150级台阶
12. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)。
解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头。
六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义
第八讲牛吃草问题 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 五大基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝草量差÷时间差； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 求天数 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100份或 15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：150-10×5=100份 100÷（25-5）=5天 答：这片牧草可供25头牛吃5天？
小学奥数教程：牛吃草问题(一)全国通用(含答案)
1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周 【答案】19头牛 【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长 的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天． 【答案】14头牛 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-10.牛吃草问题（一）
小学奥数专题一_牛吃草问题
小学奥数专题一牛吃草问题 牛吃草概念及公式： 设定一头牛一天吃草量为“1” （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度 一、奥数导引 例1．一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么（1）可供25头牛吃多少天？（2）可供多少头牛吃4天？
例1.解析：假设一头牛一天吃1份草，10天长出草10×20-15×10=50份，每天长出草50÷（20-10）=5份，原有草10×20-20×5=100份，25头牛吃的草，减去每天长的草，一天消耗草25-5=20份，够吃100÷（25-5）=5天。可供25头牛吃5天。 解法二： （1）（10-x）×20=（15-x）×10=（25-x）×？ （2）（10-x）×20=（15-x）×10=（？-x）×4 例2．如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃完，17头牛吃28公亩牧场的草，84天后可以吃完，那么要在24天内吃完40公亩牧场的草，需要多少头牛？( ) A.50 B.46 C.38 D.35 例2解法1：牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 设每头牛每天的吃草量为1份，则每亩54天的总草量为：22×54÷33=36份；每亩84天的总草量为：17×84÷28=51份，那么每亩每天的新生长草量为（51-36）÷（84-54）=0.5份，每亩原有草量为36-0.5×54=9份，那么40亩原有草量为9×40=360份,40亩24天新生长草量为24×0.5×40=480份，40亩24天共有草量360+480=840，可供牛数为840÷24=35头。 解法2：利用列方程解问题。
六年级下册奥数试题——牛吃草问题(含答案)人教版.
1 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 板块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他方； 若养二十一，可作几周粮？ （注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） 【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162?=份；23头牛吃9周共吃了 239207?=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草 963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-?=． 供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周． 例题精讲 知识精讲 教学目标 牛吃草
小学奥数牛吃草习题 有答案
小学奥数牛吃草习题 5、牧场上一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那 么它可供21头牛？ 6、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入一些水，如果用 12个人舀水，3小时可以舀完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在要2小时舀完，需要多少人？ 7、一水井原有水量一定，河水每天均匀入库，5台抽水机连续20天可以抽干，6台同 样的抽水机连续15天可以抽干，若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 8一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断往池里放水，平均每分钟进水量相等，如果开放三根排水管，45分钟可把池中水放完。如果开放5根排水管，25分钟可把池中水放完。如果开放8根排水管，几分钟排完水池中的水？ 9、有一酒槽，每天泄漏等量的酒，如让6人饮，则4天喝完；如让4人饮，则5天喝完， 若每人的饮酒量相同，问每天的漏酒量为多少？ 10、某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10 人前来排队检票。一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队。如果两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？ 11、某游乐场在开门前400人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入 口每分钟可以进10个游客。如果开放4个入口，20分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？ 12、一个大水坑，每分钟从四周流掉（四壁渗透）一定数量的水。如果用5台水泵，5 小时就能抽干水坑的水；如果用10台水泵，3小时就能抽干水坑的水。现在要1小时抽干水坑的水，问要用多少台水泵？ 13、画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众 人数一样多，如果开了3个入场口，9点9分就不再有人排队。如果开5个入场口，9点5分就没人排队，问第一个观众到达的时间是几点几分？
小学思维数学讲义：牛吃草问题(一)-含答案解析
牛吃草问题（一） 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周 【答案】19头牛 【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长 的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天． 【答案】14头牛 【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头例题精讲 知识精讲 教学目标
2019小学六年级奥数系列讲座：牛吃草问题(含答案解析)
牛吃草问题 牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度． 牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题． 1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．) 【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草； 23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草； 所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周． 评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了． 一般方法： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)； 再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙． 或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数． 2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?
【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草． 对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷． 所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 ×(10÷2)÷20=9周． 于是50头牛需要9周吃10公顷的草． 3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草 地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃 草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果 一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？ 【分析与解】一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8 天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即1 6 群牛，1天，吃了1块1天新长的. 又因为，1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 2 3 的牛放在④号草地吃草，它们同时 吃完.所以， ③=2?阴影部分面积.于是，整个为 19 4 22 +=块地.那么需要 193 624 ?=群牛吃新长的草， 于是 19 12 62 -?? （）=现在 3 1 4 ?- （）.所以需要吃： 193 12130 624 -??÷- （）（）=天. 所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天. 4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间? 【分析与解】我们注意到： 牛、马45天吃了原有+45天新长的草① →牛、马90天吃了 2原有+90天新长的草⑤马、羊60天吃了原有+60天新长的草②
小学奥数 牛吃草及盈亏问题
盈亏问题和牛吃草问题 一，牛吃草问题属于应用题模块，是经典的奥数题型之一，也是考试中经常会涉及到的考点。下边是牛吃草的五大经典类型，大家可以来学习一下。 “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ①草的每天生长量不变； ②每头牛每天的食草量不变； ③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④新生的草量＝每天生长量×天数 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度＝(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)； ⑶原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； ⑷吃的天数＝原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)； ⑸牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
六年级牛吃草问题一
六年级奥数——牛吃草问题 四个基本公式 ①草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数） ②原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 ③吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度） ④牛头数=原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 典型例题 例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（23×9-27×6）÷ (9-6)=15份，原来的草量是（27-15）×6=72份。可供21头牛吃72÷（21-15）=12天 【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？ 例 2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天? 【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量 设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（33×5-24×6）÷（6-5）=21份，原来的草量：（33+21）× 5=270份，10天减少的草=10×21=210份 【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 知识衍变 牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法
小学奥数牛吃草问题试题
小学奥数牛吃草问题试题Prepared on 21 November 2021
1、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 3、牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天．问多少头牛4天把草地的草吃完? 4、某火车站检票口，在检票开始前已有－些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，－个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有－个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队? 5、－只船发现漏水时，已进了－些水，现在水匀速进入船内．如果lO人舀水，3小时可舀完：5人舀水8小时可舀完．如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水? 6、－水库水量－定，河水均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干．若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机? 7、某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的．－个入口每分钟可以进入10个游客．如果开放4个入口20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队? 8、由于天气渐凉，草场上的草每天都以相同的数量减少。为此某草场上的草可供33头牛吃5天；或可供24头牛吃6天。问为此某草场上的草可供多少头牛吃10天？ 9、一块草地可供58头羊吃7天，或供50头羊吃9天，如果这片草地的生长量每天相等，这片草地最多能养活多少头羊？
小学奥数牛吃草问题
“牛吃草”问题 1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周. 那么它可供21头牛吃几周？ 2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3 小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 3 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30 公亩牧场上全部牧草. 多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 4 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者 供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天 5 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干； 6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
6、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上 的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 7.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？ 8、有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？ 9..有三片草场,每亩原有草量相同,草的生长速度也相同.三片草场的分别为10/3亩.10,和24亩.第一片草场可供12头牛吃4周.第二片草场可供21头牛吃9周,问;第三片草场可供多少头牛吃18周？ 练习题 1．一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问：可供25头牛吃多少天？ 2．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完，17头牛吃28亩同样的草地上的草，84天可以吃完，问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天
完整版小学奥数之牛吃草问题含答案
英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 解题关键： 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量；J 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量 4、最后求出可吃天数 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与 16头牛10天吃的总量相比较，得到的10X22- 16X 10=60,是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10 ）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出 25头牛吃的天数。 解：新长出的草供几头牛吃1天： （10X 22- 16X 1O 十（22 -1O） =（220-160 ）- 12 =60- 12 =5 （头） 这片草供25头牛吃的天数： （10-5 ）X 22-（25-5 ） =5X 22-20 =5.5 （天） 答：供25头牛可以吃5.5天。 “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出： 3X 10十6 = 5 （天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15 头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当 中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的 草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数 量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150
六年级奥数_第6讲——牛吃草问题
一对一个性化学案 学生姓名上课时间 课题名称第六讲牛吃草问题 学习目标 1.掌握利润和浓度问题的基本关系，及基本变化。 2.能熟练运用基本关系和基本变化，正确列出方程。 3.理解和掌握设而不求的思想，培养运用所学知识解决实际问题的能力，并形成用数学的意识。 重点分析能熟练运用基本关系和基本变化，正确列出方程。 难点分析能熟练运用基本关系和基本变化，正确列出方程。 学法指导 附： 课堂练习 有这样的问题.如例1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长， 草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个 时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图） 从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27 ×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周 吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6） =15头牛一周的吃草量。 需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。 所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。 牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的 吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头 牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12 （周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。
小学奥数 牛吃草问题
专题一：牛吃草问题 ※. 这里我们把草场草量称为“原有量”把每天长出的草量称为“日产量” 那么牛吃草问题的核心公式为： 原有量 =（牛数－日产量）×天数 ※.解题思路： A.对于简单的牛吃草问题，一般可以根据已知条件，分步骤解答。 首先：求出日产量（每天长出的草量） 然后：求出原有量（草场草量） 最后：求出题目。 B.对于较为复杂的牛吃草问题，我们将在下面例题中，具体分析。 ----------------------------------------------------------------- 例1.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析：这是一道基本的牛吃草问题，我们可以按照思路A解答。 解：设1头牛1天吃的草为1份。 每天长出的草量为：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5（份） 草场原有的草量为：10×20－5×20 = 100（份） 25头牛可以吃的天数：100÷（25－5）= 5（天） 答：这片草地可供25头牛吃5天。
课堂练兵： 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20 天，或者可供15头牛吃10天。问：可供几头牛吃5天？ 例2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。 照此计算，可供多少头牛吃10天？ 分析：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。 但我们可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 解：设1头牛1天吃的草为1份。 每天减少的草量为：（20×5－15×6）÷（6－5）= 10（份） 草场原有的草量为：20×5＋10×5 = 150（份） 设：可供x头牛吃10天？ 150 = （x＋10）×10 x = 5 答：可供5头牛吃10天。
小学数学牛吃草问题综合讲解
小学数学牛吃草问题 综合讲解 Revised on November 25, 2020
小学数学牛吃草问题 吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数
三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法：
小学奥数之牛吃草问题含答案
“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。” 英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 解题关键：？ 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：？ 1、求出每天长草量；？ 2、求出牧场原有草量；？ 3、求出每天实际消耗原有草量 4、最后求出可吃天数？ 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。？ 解：新长出的草供几头牛吃1天：？ （10×22-16×1O）÷(22-1O）？ =（220-160）÷12？ =60÷12？ =5（头）？ 这片草供25头牛吃的天数：？
（10-5）×22÷（25-5）？ =5×22÷20？ =（天）？ 答：供25头牛可以吃天。？ ----------------------------------------------------------------？ “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。？ ？ 例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。？ 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。？ 200－150＝50（份），20—10＝10（天），？ 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的
小学六年级奥数 牛吃草问题精讲
牛吃草问题精讲 【例1】（★★） 加油站 解“牛吃草”问题的主要依据：1．草的每天生长量不变；有一片牧场，草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完。请问： ⑴要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？ ⑵如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．每头牛每天的食草量不变； 3．草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量， 4．新生的草量＝每天生长量×天数。 【例2】（★★） 【例3】（★★★） 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在 开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30 只羊，把草吃完需要30天，如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草 长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天 吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问： 若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
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【例5】（★★★★★） 【例4】（★★★★） 第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完.在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和 羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和 羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 【例6】（★★★★） 如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放 在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始2 3 就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？ 3 ① ④【例7】（★★★★） 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米， 小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才 能把它装满？(假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变) ② ③ 2
小学奥数牛吃草问题教案课程一
奥数十二讲 牛吃草问题（一） 牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 解题关键 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)； 4、最后求出可吃天数 想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。 设一头牛1天吃的草为一份。 那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份 （220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。 220-5×22=110份，说明原有老草110份。 综合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。 牛顿曾提出的问题 牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题："12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草？" （由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。 牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。