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函数的单调性及典型习题

一、函数的单调性

1、定义：

（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1

时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）

注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：

1、定义的另一种表示方法

如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x

1

)

f (x2 )0 即

x1x2

y

，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )

0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。

x1x2

x x 判断题：

①已知 f (x)1

1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数．

因为 f (

x

②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．

③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．

④ 因为函数

1

在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)

1 f ( x)在

x x

( ,0)(0, ) 上是减函数.

通过判断题，强调几点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域

( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个

区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在

A B 上

是增（或减）函数．

熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．

1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反．

1

2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数

y ＝ f ( x)

与 y ＝ f （ x ）的单调性相反．

3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等

3．判断函数单调性的方法

（ 1）定义法．

（ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单

调性均可直接说出．

（ 3）图象法．

例 1、证明函数 f ( x)

1 ）是减函数．

在（ 0， + x

练习 1：证明函数

f ( x) x 在 0,

上是增函数．

1

1 x

例 2、设函数 f （x ）＝ x

2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明．

例 3、求下列函数的增区间与减区间

(1)y ＝ |x 2

＋ 2x － 3| x 2

2x (2)y ＝

1|

1 |x

(3)y ＝

x 2

2x 3

例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2

在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，求实数 a 的取值范围．

例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比

较大小：

(1)f(6) 与 f(4)

(2)f(2) 与 f( 15)

例 6、 函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递增区间依次是

( )

A. (

, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )

例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)

ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)

x 有等根 .

(1) 求 f (x ) 的解析式 ;

(2) 是否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为

[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?

同步训练：

一、选择题

1．下列函数中，在区间（

0，1）上为增函数的是

2

A ． y ＝ |x 2－ 1|

B ． y ＝ x

C ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1

D ． y ＝ |x|＋ 1

2．如果奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为

5，那么 f （ x ）在区间

［－ 7，－ 3］上是

A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5

D ．减函数且最大值为－

5

3．若函数解析式为 y ＝ f （x ），则下列判断正确的是

A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）

上也是增函数

B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则

f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋

∞）上也是减函数

C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函

数

D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题

4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间 ［－ 3，a ］上是增函数， 则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单调递减区间是

______________

b

6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数， 则函

数（填单调性）．

三、解答题 已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且满足 f （－ x ）＝c

（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单调递减函数，判断并证明 性．

f

( x)

＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋

g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减

课后巩固：

1、利用函数单调性定义证明函数

f(x) ＝－ x 3

＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．

2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 对 m 、 n R 恒有

f (m

n)

f ( m) f (n) ，且当 x

0 时，

0 f ( x) 1。

（1）求证： f (0) 1；

（ 2）证明： x R 时恒有 f ( x) 0 ；

（3）求证： f (x) 在 R 上是减函数； （ 4）若 f ( x) f (2

x) 1 ，求 x 的范围。

y ＝ ax 2＋ bx 在（ 0,＋∞）上是 ________

1