七上实数经典例题及习题
七上实数经典例题及习题
2 知识点总结及题型
考点一、实数的概念及分类 （3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π
+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）
1、平方根
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ”。 2、算术平方根
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: a n
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，
3π，，，其中，无理数的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、4
=±1 D 、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1
B、1.4C 、D 、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A 表示数为，故选C．
【变式3】
【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴
5
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
解析：（估算）因为，所以选B
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）
___________，___________，___________.
【答案】1）；.2）-3. 3），，
【变式2】求下列各式中的
（1）（2）（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A 在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B 两点，
举一反三：
6
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A ．－1 B．1－C．2－D ．－2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) |-1.4|(2) |π-3.142|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜1.4
7
∴|-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵＜, ∴|-|=-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
举一反三：
【变式1】化简：
【答案】=+-
=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有
8
＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的
和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组
从而求出a, b的值。
解：由题意得
由(2)得a2=49 ∴a=±7
由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三：
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
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【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数：，
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，
根据题意得x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：
【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）
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（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
多24cm2，求中间小正方形的边长.
解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
大正方形的面积=，
一个长方形的面积=。
所以，
答：中间的小正方形的面积，
发现的规律是：（或）
(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：
，即，
又大正方形的面积比小正方形的面积
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多24 cm2
所以有，
化简得：
将代入，得：
cm
答：中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是.
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分12
数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：①
②③
（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
解：由得
的整数部分a=5, 的小数部分，∴
（2）解：(1) 设x=①
则②
②-①得
9x=6
∴.
(2) 设①
13
则②
②-①，得
99x=23
∴.
(3) 设①
则②
②-①，得
999x=107，
∴.
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学习成果测评：
A组（基础）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（）
A ． B. C. D.
2. 的平方根是( )
A．4 B. C. 2 D.
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3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）
A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数 B.有理数 C. 无理数D. 实数
5．对于来说（）
A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数
的个数有（）
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）
A ． B. C. D.
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8．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与
D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（）
A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）
A ． B. C. D.
二、耐心填一填
11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：
17
___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B 分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
21．计算
⑴⑵
⑶
⑷∣∣+∣∣⑸×+
×
⑹4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
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参考答案：
一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
二：11、，π-3 12、3，
13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5
17、18、-15 19、2 20、1，9
三：
21、⑴⑵-17⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9
22、
B组（提高）
一、选择题：
1．的算术平方根是（）
A．0.14 B．0.014C ．
19
D ．
2．的平方根是（）
．±
A．－6 B．36C．±6 D
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在下列各式中，正确的是（）
A ．;
B ．;
C ．;
D ．
5．下列说法正确的是（）
A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D ．是分数
6．下列说法错误的是（）
A ．
B ．C．2的平方根是
20