福建省百校2021-2022学年度高考临考冲刺数学文科试卷及答案解析
福建省百校下学期临考冲刺高三考试卷
数 学 文 科 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}
2
20A x x x =
--=，则U C A =（）
A ．{}1,2-
B ．{}2,0,1-
C ．{}2,1-
D ．{}1,0,2- 2.已知复数z 满足()23i z i -=+，则z =（ ） A ．
5 B ．5C ．10 D ．10
3.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位
的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位
的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 64
3的运算结果可用算筹表示为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．
16B ．13 C ．56 D ．23
5.若干个连续奇数的和()3+5+7+
+41n -=（）
A ． 22n n +
B ．22n n + C. 242n n +D ．241n -
6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A ．
43π B ．53π C. 76π D ．116
π
3
1 2
7.已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（）
A ． 求被5除余1且被7除余3的最小正整数
B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数 C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数 D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数
8.若()0,απ∈2cos 2αα+=，则tan
2
α
=（）
A ．
2B ．4 C. 3D ．3
9.已知圆()2
2
:21M x y -+=经过椭圆22
:13
x y C m +=的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为,A B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为（）
A ．5
B ．4 C. 11 D ．10 10.若函数()sin 23f x x π??
=-
??
?
与()cos sin g x x x =-都在区间()(),0a b a b π<<<上单调递减，则b a -的最大值为（）
A ．6π
B ．3πC. 2
π
D ．512π
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上一点，且1,3AE BE ==，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱111,A D DD 分别交于,F G 两点，则AFG ?的面积为（） A ．2 B ． C.2 D ．4
12.已知函数()()322
33,2456,2
x x x f x x x x ?-+
=?--+≥??，则函数()()f f x 的零点个数为（） A ．7 B ．7 C. 8 D ．9
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设,x y 满足约束条件4120y x y x y ≤??
+≥??-≤?
，则z x y =+的最大值为．
14.若双曲线()2
2
05
y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =． 15.已知数列
{
}
n a n -是等比数列，且129,36a a ==，则n a =．
16. 在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-，2DE EC =，CF FB =，且7AE AF ?=，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ?中，4,6AB AC ==．
（1）若16cos 1A =，求BC 的长及BC 边上的高h ； （2）若ABC ?为锐角三角形，求ABC ?的周长的取值范围．
18. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，==3PA AB AC =，平面//α平面PAB ，且α与棱,,PC AC BC 分别交于111,,P A B 三点．
（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明；
（2）若α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体111P A B C 的体积更小），D 为线段1B C 的中点，求四棱锥111A PPDB -的体积．
19. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地.
（1）若该超市一天购进A 水果160千克，求当天A 水果获得的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单
位：千克，n N ∈）的函数解析式，并求当765y =时n 的值；
（2）为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量（单位：千克）整理得下表：
平均数.
20. 已知直线l 经过抛物线2
4y x =的焦点且与此抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，8AB <，直线l 与
抛物线2
4y x =-交于,M N 两点，且,M N 两点在y 轴的两侧． （1）证明：12y y 为定值； （2）求直线l 的斜率的取值范围；
（3）若48OM ON ?=-（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 21. 已知函数()1x
f x x ae =-+
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =-
时，设1210,0x
x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：121
24x x e
->-+． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为2cos 1sin x r y r θ
θ
=+??
=+?（θ为参数，0r >），曲线N 的参数方程为
1x y ?=???
?=+??
（t 为参数，且0t ≠）． （1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为,A B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为4
3
，求r 的值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x a x =---．
（1）当2a =时，求不等式()01f x <≤的解集； （2）若()()2
0,,3x f x a ?∈+∞≤-，求a 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:BCDCD 6-10:BDAAB 11、12：DC
二、填空题
13. 6 14. 120
15. ()2
2n n +
三、解答题
17.解：（1）116cos 1,cos 16
A A =∴=
，7BC ∴==，
1cos ,sin 16A A =∴=，由等面积法可得：11
46sin 722
A h ???=?，
h ∴=
． （2）设()0BC x x =>，
AB AC <，∴角C 必为锐角．
ABC ?为锐角三角形，,A B ∴角均为锐角，
则cos 0,cos 0A B >>，于是222222460
460
x x ?+->??+->??，
解得：25213x <<，
故ABC ?的周长的取值范围是()
1025,10213++．
18.解：（1）作法：取BC 的中点H ，连接AH ，则直线AH 即为要求作的直线l ． 证明如下：
,PA AB PA AC ⊥⊥，且AB AC A =，PA ∴⊥平面ABC ．
平面//α平面PAB ，且α
平面11PAC P A =，平面PAB
平面PAC PA =．
11P A ∴⊥平面ABC ，11P
A AH ∴⊥． 又A
B A
C =，H 为BC 的中点，则AH BC ⊥，从而直线AH 即为要求作的直线l ．
（2）α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分，
∴四面体111P A B C 的体积与三棱锥P ABC -分成体积之比为8:27，
又平面//α平面PAB ，1
1123
AC B C PC AC BC PC ∴
===． 易证//PA 平面111P A B ，则P 到平面111P A B 的距离1d 即为A 到平面111P A B 的距离，
111d AA ∴==
又D 为1B C 的中点，D ∴到平面111P A B 的距离211
12
d AC ==， 故四棱锥111A PPDB -的体积()1211422323
V d d =
?+???=． 19.解：（1）当日需求量160n ≥时，利润()1601510800y =?-=；
当日需求量160n <时，利润()()()15101601087320y n n n =---?-=-． 所以y 关于n 的函数解析式为()800,160
,7320,160n y n N n n ≥?=∈?
-
，
当765y =时，由7320765n -=，得155n =．
（2）这50天中有5天的利润为660元，有10天的利润为730元，由35天的利润为800元， 所这50天该超市A 水果获得的日利润的平均数为
()1
6605730108003577250
?+?+?=． 20.解：（1）证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为()()10y k x k =-≠，
联立()
2
41y x y k x ?=??=-??，得2
440ky y k --=，则1244k y y k -==-为定值；
（2）由（1）知，121212244
,22y y y y x x k k k
++=+=+=+， 则121224
248y y AB x x p k k
+=++=
+=+<，即21k >． 联立()
2
41y x y k x ?=-??=-??得：240x kx k -+-=，
,M N 两点在y 轴的两侧，()22444160k k k k ∴?=--=-+>，40,4k k -<<，
故直线l 的斜率的取值范围为()
(),11,4-∞-．
（3）设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,4x x k x x k +=?=-，
()()()()()()2222
3434343434342
3
22
111143448
OM ON x x y y x x k x x k x x k x x k k
k k
k k k ∴?=?+?=?+--=+?+++=+--+=-+-=-
解得：11
3
k =-
或4k =，又()(),11,4k ∈-∞-，113
k ∴=-
故直线l 的方程为1111
33
y x =-
+．21.解：（1）()1x f x ae '=+， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ??<- ???，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ??
??-∞- ? ????
?， 令()0f x '<，得1ln x a ??>-
???，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ????-+∞ ? ?????
． （2）证明：（法一）设()()231x
g x f x x e x =+=-+-，则()3x
g x e '=-+， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，
()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，
即12124x x e
->-+． （法二）
()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，
12122233x x x x e e x ∴-=+--，
设()3x
g x e x =-，则()3x
g x e '=-，
由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()min ln333ln3g x g ==-．
1210,0x x -<<>，
1121
233ln 33ln 3x x e e
-∴->+-=-，
3ln3ln 274=<，121
24x x e
∴->-+．
22.解：（1
）将5
1x y ?=????=??消去参数t ，得()2200x y x -+=≠（未写0x ≠扣一分），
由220x y y kx -+=??=?得221221x k k y k ?
=
??-??=?-?
（k 为参数，且12k ≠）．
（2）曲线M 的普通方程为()()2
2
221x y r -+-=，
将221221x k k y k ?
=??-??=?-?代入()()22221x y r -+-=并整理得：()()2222164432170r k r k r -+-+-=； 因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为4
3
，所以221741643r r -=-，
解得2
1r =，又0r >，1r ∴=，
将1r =代入()()
2222164432170r k r k r -+-+-=，得：2
1228160,0k k -+=?>，故1r =．
23.解：（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，
由()0f x >，得21x x ->-，则2
2
21x x ->-，即224421x x x x -+>-+，
解得32x <
，故不等式()01f x <≤的解集为3,2?
?-∞ ??
?；
（2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1
121,01
a x f x x a x x a x -≥?=---=?
--<
则()()2
max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以a ≤
． 当[)01,1,a x <<∈+∞时，()2
103f x a a =->>-，故01a <<不合题意， 当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥
综上：a 的取值范围为[),2,?-∞+∞ ??
．