树人导学案第一章轴对称图形(导学)

第一章轴对称图形

1．1轴对称与轴对称图形

【学习目标】

1、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形、探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念．

2、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴．

3、知道轴对称与轴对称图形的区别和联系．

4、欣赏现实生活中的轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值．

【重点、难点】

重点：1、轴对称和轴对称图形的定义、区别与联系．

2、判断一般图形的轴对称性并找出对称轴．

难点：轴对称和轴对称图形的定义、区别与联系．

【走进课堂】

学习背景

滴一滴墨水在一张纸上，然后将纸对折、压平，再将纸重新展开，你有什么发现？

探究活动一

观察下面的图形，你能发现它们有什么共同的特征吗？

归纳总结

基础概念1：把一个图形沿着某一条直线折叠后，如果能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成__________，这条直线叫做______．两个图形中的对应点叫_________．

探究活动二

观察下列图形，它们有什么共同特征？

北京天坛

归纳总结

基础概念2：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是图形．这条直线就是．

探究活动三

1.观察下面的图形，想一想它们是如何剪出来的？请画出它们的对称轴．

2.填空：如图，△ABC 与 关于 成对称轴． 是对称轴，点A 与点 、点B 与 、点C 与 等都是对称点．

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系． 区别：

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 联系：

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

课堂练习：

1、从镜子中看到一只表的时针和分针的位置如图，此时的实际时刻是_____ _．

2、如果把轴对称图形沿它的对称轴对折后，那么对称轴两旁的部分（ ）．

A ．完全重合

B ．不完全重合

C ．A 、B 都有可能

3、国旗上的一个五角星的对称轴的条数是（ ）．

A ．1条

B ．2条

C ．5条

D ．10条

4、两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ）．

A ．这条直线的两旁

B ．这条直线的同旁

C ．这条直线上

D ．这条直线两旁或这条直线上

5、长方形对称轴的条数是（ ）

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

6、在你熟悉的轴对称图形中，请说出对称轴有1条、2条、3条、4条和无数条的图形各1个． 7练习：请找出下列符号所蕴含的内在规律,然后在横线上设计一个恰当的图形．

A B C D

E

F

M

N

延伸拓展

剪正五角星

节日前夕，常要制作许多五角金星．我们用折纸的方法，可以直接剪出一个五角星．

方法是这样的：拿一张长方形（或圆形）的纸，先对折，参见图（1）一幅都折成五等分，参见图（2）．五等份的折线上，取点A和点C，使OC比三分之一的OA稍微长一点，沿斜线AC把图（2）中的阴影部分剪掉，然后把纸展开，就得到了一个正五角星，参见图（3）．

若取OC比三分之一的OA长得多（如OC为OA的一半），这时剪出的五角星就不一样了，它的五个角的边比较短．见图（4）；而当沿直角方向剪去，展开后则成了一个正五边形，见图（5）．想一想，这种折纸剪正五角星的方法，其中隐含着什么数学道理呢？

1．2轴对称的性质（1）

【学习目标】

1、探索轴对称的基本性质，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线．

2、知道线段的垂直平分线的概念．

3、经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考

和表达能力。

【重点、难点】

重点：理解轴对称的性质．

难点：理解对称点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．

【走进课堂】

学习背景

小明发现如果将４棵树栽于正方形的四个顶点上，如图(1)所示,恰好构成一个轴对称图形，你还能找到其它两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？请在(2)(3)中表示出来．如

果栽５棵树、６棵树、７棵树呢？请分别在图(4)(5)(6)中表示出来．

探究活动一

在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开。连接AA′，两针孔A、A′与折痕l之间有什么关系？线段

AA′与折痕l之间有什么关系呢？为什么？

归纳总结

基础概念：__________________一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

探究活动二

(1)在这张纸上怎样做才能再找到两个点（B与B′），使这两个点也关于这条直线l轴对称．

(2)连接AB、A′B′、BB′，线段BB′与折痕l之间有什么关系？线段AB、A′B′与折痕之间l 有什么关系呢？

（3）在这张纸上再找到两个点（C与C′），使这两个点也关于这条直线l轴对称．

（4）连接AC、A′C′、CC′，线段CC′与折痕l之间有什么关系？

△ABC 、△A ′B ′C ′之间有什么关系呢？为什么？ 归纳总结

如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的_______________． 几个重要结论：

1、成轴对称的两个图形 ．

2、 ，叫做这条线段的垂直平分线．

3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 _______________的垂直平分线． 课堂练习

1．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）. A ．等腰直角三角形 B.有一角为 60的等腰三角形 C ．正方形 D.圆

2.下列说法中，正确的是（ ）

A.关于某直线对称轴的两个三角形是全等三角形；

B.全等三角形是关于某直线对称的；

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧；

D.若A 、B 关于直线MN 对称，则AB 垂直平分MN ；

3. 如图，△ABC 和△DFE 关于直线MN 对称，

则点E 的对称点是________，线段AC 的对应线段是____________

4.如果△ABC ≌△A’B’C’，能否说△ABC 与△A’B’C’一定是轴对称图形 ，理由是 .

5. 一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把

变成一个真正的等式.”很长时间没有人答

出.小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目.你知道她是怎样做的吗？

延伸拓展

1.(江苏省竞赛题)如图，设1l 和2l 是镜面平行且镜面 相对的两面镜子，把一个小球放在1l 和2l 之间，小球在镜1l 中的像为A ′, A ′在镜2l 中的像为A ″，若1l 和2l 之间的距离为7，则 A A ″=

1．2轴对称的性质（2）

【学习目标】

1、会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段关于已知直线的对称线段，会画已知 三角形关于已知直线的对称三角形．

2、了解画已知图形关于已知直线的对称图形的实质 ．

3、经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理 的思考和表达能力． 【重点、难点】

重点：会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段关于已知直线的对称线段，会画已

知三角形关于已知直线的对称三角形．

难点：会画已知三角形关于已知直线的对称三角形． 【走进课堂】 学习背景

如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形．在方格纸上试一试，并说出你找出点D 的思路．

归纳总结：

1）画轴对称图形，首先应确定对称轴 ，然后找出对称点 。 2）思考问题，要学会分类 ，并且从多角度 ,从简单到复杂 。 探究活动一:

1、画点A 关于直线l 的对称点．（说说你的方法，并说明其道理） 已知：点A 、直线l （如图）

求作：点A′，使点A′与点A 关于直线l 成轴对称．

2、怎样画已知线段关于某直线的对称线段？怎样画已知三角形关于某直线的对称三角形？说说你的想法和根据．

l

归纳总结:

画已知线段关于某直线的对称线段，或画已知三角形关于某直线的对称三角形，关键在于画出 或已知三角形的各顶点关于 ． 探究活动二:

如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称，连接AC 、BD ，设它们相交与点P ． 怎样找出点P 关于l 对称点．

归纳总结:

成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称． 课堂练习：

1、已知△ABC ，直线MN ，求做△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 关于MN 对称

2、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，尽可能把所有的情况画出来

A

B

l

l

A

C

l

A B C

D H

E F

G

A B

C

M

N

3、已知:如图,CDEF 是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A 、B 两点，试问 （1）怎样撞击黑球A ，使A 先碰到台边EF 反弹后再击中白球B ？

（2）如果撞击A ，经过桌面ED ，CD 两次反弹后再碰到球B ，请画出A 的路线

延伸拓展

1.要在邮局M 的两侧街道AB 、CD 设立两个邮筒P 、Q 。邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后，再回到邮局，若要使所走的路程最短，则邮筒设在何处？先画图再用字母表示。

2.（俄罗斯萨温市竞赛题）如图，一个台球桌面是直角三角形，如果从斜边上某点朝着垂直于斜边的方向击出台球，那么球在其他两个直角边上反弹后，又能回到斜边上，请证明：台球滚过的距离长与击球点的位置无关（台球反射时服从入射角等于反射角的规律）。

F

B A

E D F

B

A

E D

C

B

A

1．3 设计轴对称图案

【学习目标】

1、欣赏生活中的轴对称图案，感受数学丰富的文化价值．

2、经历“操作——猜想——验证”的实践过程，积累数学活动的经验．

3、能利用轴对称设计简单的图案．

【重点、难点】

重点：能利用轴对称设计简单的图案．

难点：能根据不同要求（如有2条对称轴、3条对称轴）设计轴对称图案．

【走进课堂】

学习背景

1.观察生活中的轴对称图案

2.你能利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案吗？

3.你能利用一个比较简单的轴对称图形（正方形或菱形）设计一个比较复杂的轴对称图案吗？

探究活动

活动一：

请你利用四张全等的平行四边形纸片，用4种不同的方法把它们拼在一起，使得它们成为轴对称图案．

活动二：

（1）考虑颜色的“对称”，请画出图（1）、(2)的对称轴．

（2）不考虑颜色的“对称”，图（1）、(2)各有几条对称轴？

（3）考虑颜色的“对称”，要将图（1）、(2)改为4条对称轴，最少还要给哪几个小正方形着什么颜色？

（1）（2）

活动三：

（1）制作4张如图所示的正方形纸片．

（2）将制作好的四张纸片拼合在一起，能得到不同的图案．如果考虑色彩因素，你所拼出的图形都

有几条对称轴？所得图案最多有几条对称轴？

（3）请你试一试，还能拼出其他图案吗？所得图案最多有几条对称轴？

课堂练习

1．正方形、菱形、三角形等网格纸为轴对称图案的设计提供方便，例如下图中利用菱形网格纸，画出了“盆花”的图案

2. 在方格纸上画一架以简单几何图形为“元件”组成的天平图案．

3. 在如图的网格中，将8个小正方形分别涂成红、黄、蓝三色，使它成为有2条对称轴的美术图案．（颜色也成“对称”）

延伸拓展

1、四个单位正方形以边对边相接而成，可以拼成如图所示的五种不同的形状，用一片“L”形（图中

的第一个）分别与其余四个中的一片拼成轴对称图形，请绘出所有可能的组合．

2

、剪纸也常常利用轴对称来进行图案创作

请你利用折纸、画线，设计并剪出一只奖杯图案．

3.（安徽）如图，四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,则称点P

是四边形ABCD的一个半等角点。

（1）在图③正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足α≠β。

（2）在图④四边形ABCD中画一个半等角点P,保留画图痕迹（不需写画法）。

（3）若四边形ABCD有两个半等角点

1,2

p p（如图②），证明线段

12

p p上任一点也是它的半等角点。

P

图1

图④

图③

图②

D

C

C

B

B

A

A

C

B

A

D

1．4 线段、角的轴对称性（1）

【学习目标】

1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．

2、探索并掌握线段的垂直平分线的性质．

3、了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合．

4、在“操作、探究、归纳、说理”的过程中学会有条理的思考和表达，提高演绎推理能力． 【重点、难点】

重点：理解线段的轴对称性并掌握线段的垂直平分线的性质． 难点：了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 【走进课堂】 学习背景

1. 在一张纸上任意画一条线段AB ，线段AB 是轴对称图形吗？若是，你能画出它的对称轴吗？

A

2.射线、直线是轴对称图形吗？若是，它们各有几条对称轴？ 探究活动

活动一：. 在线段垂直平分线上任意取一点P ，连接PA 、PB ，你能发现什么？ 归纳总结

线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 。 符号语言 ∵ P 是线段AB 垂直平分线上的点 ∴ PA=PB

思考：除了线段垂直平分线上的点，你还能找到其他到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 活动二：线段的垂直平分线外的点,到线段两端的距离相等吗?为什么?(画图,并改写成符号语言)

活动三： 如图，你能利用圆规找出一点Q,使AQ=BQ 吗？符合这样条件的点你能找出多少个？它们与直线PO 有什么关系？

A

归纳总结 到线段两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 。

B

A B

活动四：:用直尺和圆规作线段的垂直平分线

例题学习

例1如图，∠MON内有一点P ，

1

PP、

2

PP分别被OM、ON垂直平分，

12

P P与OM、ON分别交

点A、B．若

12

P P=10厘米，求△PAB的周长

例⒉用尺规作△ABC中AB、AC边的垂直平分线l1、l2，记l1、l2的交点为O，点O的位置有何特征？

C

课堂练习、

⒈(1)利用网格线作出△ABC任意两边的垂直平分线，交于点O，观察点O是否在第三边的垂直平分线上？

(2) 利用网格线作出四边形ABCD任意两边的垂直平分线，交于点O，观察点O是否在另外两边的垂直平分线上？

A

B

O

M

N

P1

P2

P

2如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，已知BC=15cm,求△AEG 的周长.

3.如图，现有一条公路a 与一条河流b, 公路线上有两个村庄A 、B ，要在河道上修一个供水站，问：

⑴水站修在何处时，到A 、B 两村的距离相等？

⑵水站修在何处时，可使所用的水管最短?

延伸拓展

1 如图，P 、Q 为△ABC 的边AB 、AC 上的两点，在BC 上求作一点R ，使得△PQR 的周长最短．

2．如图，P 、Q 为△ABC 内的两点，在AB 、AC 上求作两点E 、F ，使得四边形PEFQ 的周长最短．

3.（俄罗斯萨温市竞赛题）如图，在∠POQ 内部有M 点和N 点，同时能使∠MOP=∠NOQ ，这是在直线OP 上再取点A,使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线OQ 上也取B 点，使从B 点到M 点和N

点的距离和也最小，试说明AM+AN=BM+BN 。

b a

B A

Q P C B A

Q P

C

Q

P

N

M

B

A

O

1．4 线段、角的轴对称性（2）

【学习目标】

1、经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．

2、探索并掌握角平分线的性质．

3、了解角平分线是具有特殊性质的点的集合．

4、在“操作——探究——归纳——说理”的过程中学会有条理的思考和表达，提高演绎推理能力． 【重点、难点】

重点：理解角的轴对称性及掌握角平分线的性质． 难点：了解角平分线是具有特殊性质的点的集合． 【走进课堂】 探究活动 （1）在一张纸上任意画一个角∠AOB ，沿角的两边将角剪下．将这个角对折，使角的两边重合；折痕与∠AOB 有何关系？

（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点P ；分别作PC ⊥OA 于C ， PD ⊥OB 于D ，再沿原折痕折纸，此时有什么发现？

B

O

A

P

（3）PD=PC

归纳总结：

（1）角是____________，对称轴是________________． （2）角平分线上的点_______________ _距离相等 ． 思考：角的对称轴与角平分线有区别吗？

归纳总结（2）的符号语言∵OC 平分∠AOB ，P 在OC 上， PC ⊥OA, PD ⊥OB ∴PC = PD

B

O

A

P

D

C （

D ）

B O A P

C D

C

活动二

我们已经知道：

线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上． 现在我们又得到：

角平分线上的点到角两边的距离相等． 类似的你能提出什么猜想？

——————————————————————————————————————． 验 证 如图，先度量点Q 到∠AOB 两边的距离，看它们是否相等;再用直尺和圆规作∠AOB 的平分线OT ，看点Q 是否在OT 上．

归纳总结：角平分线是到__________________ 点的集合． 例题学习

例 1任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂线，两条垂线相交于点Q ． ⑴点O 在∠AQB 的平分线上吗？为什么？ ⑵点Q 在∠AOB 的平分线上吗？为什么？

例 2.△ABC 中,AD 平分∠ BAC ，DF ⊥BA 于F ，DE ⊥ AC 于E ，线段AD 与EF 有何关系？并说明理由。

课堂练习

⒈（1）在一张纸上画出△ABC 及其两外角，用折纸的方法分别折出∠BAD 和∠ABE 的平分线，设交点为O ．

（2）用直尺和圆规作∠C 的平分线CF ，试问点O 在射线CF 上吗？为什么？

⒉利用网格线作图：

（1）在BC 上找一点P ，使得点P 到AB 、AC 的距离相等． （2）在射线AP 上找一点Q ，使QB=QC ．

B

F E

D

C B A

A B C D

E

3、如图，直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？

4、已知:如图,在ΔABC 中，O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？

延伸拓展

1.如图，BD=DC,ED ⊥BC,AE 平分∠BAC,EM ⊥AB,EN ⊥AC ．探求BM 与CN 的大小关系，并说明理由．

2.在正方形ABCD 所在的平面内求作一点P,使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都为等腰三角形，这样的点P 有多少个？

3．如图， △ ABC 为等边三角形，点P 是△ ABC 所在平面内任意一点，且△PAB 、△PBC 、△PAC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有几个？若△ABC 为等腰三角形呢？

A D C M

B N E c b a A

B

C O

D C

B

1.5 等腰三角形的轴对称性（1）

【学习目标】

1．知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质．

2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展空间观念和抽象、概括能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学活动的经验．

3．会用“因为…所以…理由是”或“根据…因为…所以”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 【重点、难点】

重点：等腰三角形的轴对称性及其相关性质．

难点：运用等腰三角形的轴对称性及其相关性质进行分析、计算、推理并解决有关等腰三角形的问题。

【走进课堂】 探究活动

1．等腰三角形是轴对称图形吗？你能用折纸的方法进行验证吗？ ２．在折纸的过程中，你还能得到什么结论？ 归纳总结：

（1）等腰三角形是 图形

它的对称轴是 所在的直线；

或 所在的直线； 或 所在的直线．

（2）等腰三角形的两个底角相等．（简称“ ”）

符号语言：在△ABC 中∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C 。 （3）等腰三角形的 、 、 互相重合．（简称“ ”）

符号语言：在△ABC 中， AB=AC ，点D 在BC 上

（1）∵ ∠BAD=∠CAD

∴ , ⊥ . （2）∵ BD=CD ∴ , ∠ = ∠ （3）∵ AD ⊥BC

∴ , ∠ = ∠ .

例题学习

例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=BD ，找出图中相等的角并说明理由．

例2 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上的中点，∠BAC=130°．求∠B 、∠1、∠ADC 的度数．

D C

例3 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE=DF 的道理．

课堂练习：

1．等腰三角形中一个为角70°其余两个角的度数分别是 ． 2等腰三角形一个外角为100°，则三个内角的度数分别是 ． 3．等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_____ ____． 4．等腰三角形的两边长分别为3cm 和6cm,则它的周长为___ ___．

5．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm 和21cm 两部分,则其底边长

为_______ cm ．

6．如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF 等于 ( ) ．

A ．90°

B ．75°

C ．700

D ．600

7．如图,在△ABC 中, AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A 的度数．

B C D

1

A B C D

E F A

A

E

B

D

延伸拓展

1.如图,在ABC 中,AB=AC,AD=AE ，请你用不同的方法说明:BE=CD ．

2．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，D 、E 为AB 上的点，且AD=AC ，BE=BC ，求∠ECD 的度数．

3. 如图， △ ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，试说明：AB+BD=CD

A E D C

B

D

C

B A