21-17定积分的简单应用

1.7.1定积分在几何中的应用

教材分析

这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高

等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规

律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能

够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究.

课时分配

本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题

教学目标

重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值.

难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数

知识点：应用定积分解决平面图形的面积.

能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法.

教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值

自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法.

考试点：应用定积分解决平面图形的面积.

易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数

拓展点：链接咼考.

教具准备实物投影机和粉笔.

课堂模式基于问题驱动的诱思探究.

一、创设情境

1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近）

2、定积分的几何意义是什么？

o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积

sin xdx = -cosx

=f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数

3、微积分基本定理是什么？

【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时加深理解

二、探究新知

㈠利用定积分求平面图形的面积

例1 ?计算由两条抛物线 y

2

= x 和y = X 2所围成的图形的面积.

分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到

解：由y =

x =0及x =1，得两曲线的交点为（0,0） >（1,1）,

y =x 2

面积 S = ° xdx - o x

2

dx ,

所以

S

= 01（

匚/*知2

<0已

总结：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1. 作图象；

2.求交点；

3.用定积分表示所求的面积; 练习：计算由曲线 y =x

3

-6x 和y =x 2所围成的图形的面积

例2 ?计算由直线y =x -4，曲线

莎 以及x 轴所围图形的面积 S .

分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题?与例 1不同的

是，还需把所求图形的面积分成两部分

S ,和?为了确定出被积函数和积分的上下限，需要求出直线 y =x -4与曲线

y 二2x 的交点的横坐标，直线 y =x -4与x 轴的交点.

解法一：作出直线 y = x-4，曲线y 「.丟 的草图，所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组

y = 2x,

得直线y=x-4与曲线y 「2x 的交点的坐标为 y = x _4

(8,4)

4.微积分基本定理求定积分

若对称则面积为

直线y =x _4与x 轴的交点为（4,0）.

4

--- 8

---- 8

因此，所求图形的面积为 S =3 ? S 2 2xdx ? [ 4.2xdx - 4 (x -4)dx]

272 号 8 64。40 —8 = — — 8 =—

0 3 3

【设计意图】 动手实践 注意强调用步骤方法，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草 图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上下限

三、理解新知

1、定积分的几何意义是:

在区间［a , b ］上的曲线y = f （x ）与直线x =a 、x 二b 以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即

b

f （x ）dx 二S x 轴上方一S x 轴下方.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本

a

定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数 y = sin x x 壬［0,2i ］的图像与x 轴围成的图

形的面积为4,而其定积分为0.

2、 求曲边梯形面积的方法与步骤：

⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限； ⑶确定被积函数；

⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和

3、 几种常见的曲边梯形面积的计算方法：

x 型区域：①由一条曲线 y 二f （x ）（其中f （x ） -0）与直线x =a,x = b （a ：：： b ）以及x 轴所围成的

曲边梯

b

形的面积：S = ［ f （x ） dx （如图（1））；②由一条曲线 y=f （x ）（其中f （x ）＜ C ）与直线x = a , x

= b （acb ）以

a

与直线x=a , x = b （a ：：： b ）所围成的曲边梯形的面积：

S = | f (x )— g (x ) |dx (如图(3))

a

及x 轴所围成的曲边梯形的面积：

s = b f f (x )dx = —

b

a

b f (x )dx

a

（如图（2 ））；③由两条曲线

图（1）

图

（2）

图（3）

辽

3

3

I 4

|4扣一4） ,8 40

7

解法

y =f (x ), y =g (x )(其中f (x ) _ g (x ))

4、改变积分变量求曲边梯形面积的计算技巧

【设计意图】分层要求，应用整合，强化新知，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心

四、应用新知

2辽2辽

x [0,]与直线x =0, x , x轴所围成的图形面积

3 3

2兀空3

S= °3 sin xdx = — cos x |o3

例4.计算由曲线寸=2x和直线y = x-4所围成的图形的面积

解法一：I

y =2x

(2, -2), (8,4). x^[0,2] ,

xJ2,8]

2 8i 2 t8 i

S S2 =2 0、、2xdx 2(、‘ 2x —x 4)dx 2 2xdx 2 (、. 2x - x 4)dx

-丄x2 4x)|2$宜公七

2 3 3 3

解法二:

-2 小

y =

2x

二

y =x-4

(2, -2), (8,4). y [ -

2,4]

4 1 2 1 2 1 3

S「(y 4-尹*(尹"6y)—18

例5.求曲线y= log2 x与曲线y = log 2(4 - x)以及x轴所围成的图形面积.

y =log2 x,

解：由彳解得交点坐标为(2,1)，所以yf0,1]

』=log2(4 - x)

又反解得：x =2y, X =4 -2y,即g(y) P y, f (y) =4 -2y

例3.求曲线y = sin x

解:

.Xo

=1，所以切点坐标与切线方程分别为 y = 2x - 1.

【设计意图】 通过具体的例子，让学生体会定积分与其它知识的结合考查，若时间允许，还可补充抛物线 焦点弦围城封闭图形的面积最值问题

.

五、 课堂小结

求阴影图形面积的方法与步骤：

⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； ⑶确定被积函数；

⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和 有时需要注意改变积分变量的求积技巧 .

六、 布置作业

1、 必做题:P 60习题

2、 选做题:

1?如右图，阴影部分面积为( B )

b

c

b

A . ][f(x) —g(x)]dx ;

B . [[g(x) — f (x)]dx+[ [f (x) —

g(x)]dx

b

b b

C . .a [f(x)-g(x)]dx c

[g(x)-f(x)]dx ； D.」g(x) f(x)]dx.

2、求直线y =2x - 3与抛物线y =x 2

所围成的图形面积

于是所求图形的面积为：

1

1

y

S=.0[g(y)-f(y)]dy= 0(4一2 2y

)dy = (4y _2 2y

log 2e )|0=4_2log 2 e 【设计意图】 通过具体的例子，进一步让学生求面积的方法以及积分变量的调整, 灵活掌握积分法求面积,

尤其是积分变量的问题，有的可以自由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用 y 如对数的例5.

=x 2

(x _ 0)上的某点 切点A 的坐标以及切线方程? 2

解：如图由题可设切点坐标为 (x 0, x 0 )

X o

切线与x 轴的交点坐标为(二0

,0),

2

.试求:

X o

则由题可知有S 叮x

2

di

x

o 2

2

X o (

X - 2x °x X o )dx 二 12 12 X o 3

1

3

2

2

解：S = (2x +3— x )dx = (x 3x-

M (0, -3)和N (3,0)处的两条切线所围成的图形的面积

则所求图形的面积为

七、 反思提升

1. 本节课的亮点是课件制作精良，易于学生接受，课堂容量大，题型全面，尤其是积分变量的问题， 有的可以自

由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用y 如对数的例5,学习效果好?

2. 本节课的不足之处是由于使用课件学生动手机会少，实践的少，课下需要补充训练，尤其是改变积 分变量的题

目，而且还可以渗透字母系数的题目结合导数求最值等

八、 板书设计

1.7.1定积分在几何中的应用

二、例题讲解 例5 一?新课讲授

例3

例6

问题

例1 例4

三、课堂小结

例2

3、求由抛物线y = -x 2

? 4x — 3及其在点 解：：y 、_2x ?4，切线方程分别为

y =4x _ 3、 y = _2x 6，

3

S = J[(4X _3) _(_x 2

3

2

9

4x -3)]dx 亠 |3[( -2x 6) -x 4x -3)] dx=— ?

4