传递函数矩阵的状态空间小实现

传递函数矩阵的状态空间最小实现

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传递函数矩阵最小实现方法

——降阶法

人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：

（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。

（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子

11,,A T AT B T B C CT --===成立。

（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。

为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种：

1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。

2、直接求取约当型最小实现的方法。若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。

3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。

下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。

先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函

数矩阵，有

j ()G s =1[()....()]T

j qj g s g s =11()()[

]()

()

j qj T j qj p s p s q s q s L

记()j d s 为1()j q s ,L ()qj q s 的最小公倍式，则

j ()G s =

[()()]()

T j qj j n s n s d s L 设()j d s =1

,1,1,0j

j j n

n j n j j s a s

a s a --++++L

则1

,1,2,1,0()j j j j n n ij ij n ij n ij ij n s s

s ββββ----=++++L ，1,...i q =

在此()j d s 是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范Ⅰ型的j A 、j b 实现()j d s ，由()ij n s 的诸系数确定j C ，这时

j ()G s 的实现为

,0,10j j j j

n j j j j n n n I A a a a --???

?---????L

001j j n b ???

????=??????M

1,01,11,1,0,1

,1j j q n j

j j j n j qj qj qj n C ββββββ?--??

?=????

??L M M

M L 令1,,j p =L ，便可得j ()G s 的实现为

n n

P A A A A ???????=?????

12n p

P b b B b ???

???

?=??????

O []12q n P C C C C ?=L

当p ＜q 时，显见A 、B 、C 的维数均较小，且有1

j j n n ==∑。上述实现一定能

控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C ）的能观测行。

若（A,C ）能观测，则（A,B,C ）为最小实现；若001n C CA rankQ rank n CA -????

?==??????

M ＜n 则从0Q 中选出0n 个线性无关行，记为S ；在附加（0n n -）个任意行（通常为单位矩阵n I 的任意行），记为1S ，即

01T

T n v S v ????

=??????

M , 011T n T n v S v +????

=??????

M 构造n n ?的非奇异变换阵T ，1S T S ??

=????

引入变换x Tx =，由能观测性的结构分解可知

2100A A TAT

A A -??

==?????? 00B B TB B ??==??????

100C CT C -??==??

其中能观测子系统000(,,)A B C 即为所求的最小实现。

000(,,)A B C 有如下简化求法：记1T -为

001

()0()01

1n n n n n n n n n n S T U U S -?-?-?-?????

==??????????

由[]0

011

1111100n n n I S SU

SU TT

U U S S U

S U I --??

????===??????????????

，有0n SU I = 由[][]1110

0CT C U U CU CU C -??===??，有0C CU =

由[]0

1111121

00A S SAU

SAU TAT

A U U S S AU

S AU A A -??

????===?

?????????????

，有0A SAU = 由0110B S SB TB B S S B B ??

????===??????????????

，有0B SB = 于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为： 1.构造S 阵（从0Q 中选出0n 个线性无关行）；

2.由0n SU I =，求出U 阵；

3.计算最小实现。0A SAU =， 0B SB = ， 0C CU =。

由于S 选择的任意性及求解U 的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。下面举例说明该法。例1、已知传递函数矩阵()G s ，求最小实现。

2113()11

2s s s G s s s s s +??

++=?

?+????++??

解: 化()G s 为严格真传递函数矩阵?()G

s 1

11013?

()()11111

2s s G s G s D s s ??

????++=+=+?

???--??????++??

求?()G

s 的最小实现。 11111()1111s g s s s ??????+==????--+??????+?? 2121

3()13(2)(3)2s s g s s s s s ??

??+??+==????---++????

??+??

令212()1,()56d s s d s s s =+=++，其能控规范Ⅰ型实现为

11A =- 11b = 111C ??=??-??

20165A ??=??--?? 201b ??=???? 22131C ??

=??

--??

?()G

s 的能控型实现为 1

210000010

065A A A -??????==?

???????--?? 1210000001b b b ??????==??????????

[]12121131C C C ??

==??

---??

(A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==

01211313163162n m C C rankQ rank rank rank n CA CA -????

---?????

?=====??????---????

????

即(A,C)能观测。（A,B,C ）能控且能观测，即为?()G

s 的最小实现。()G s 的最小实现为（A,B,C,D ）。

例2、求下列()G s 的最小实现维数及最小实现

23(1)(2)(1)(3)()21(1)(2)(1)(2)s s s s s s G s s s s s ++????

++++?

?=--?

???++++?

解（1）确定最小实现维数n δ：所有()G s 的一阶子式的最小公分母为(1)(2)s s ++；二阶子式只有一个0，其分母为任意常数。故所有子式的最小公分母仍为

(1)(2)s s ++，有n δ=2。

（2） 1461()2(1)(2)s g s s s +??=

??-++?? 2231

()1(1)(2)s g s s s +??=??-++??

令12()()(1)(2)d s d s s s ==++，其能控规范Ⅰ型实现为

120123A A ??==??--??, 1201b b ??

==??

?? 16420C ??=??-?? 23210C ??

=??-?? 1

200

A A ??=???? 1200b b b ??

=????

[]12C C C = (A,C)的能观测性判别：由于2rankC m ==

02643220108643202011210654623n m C C CA rankQ rank rank CA rank CA CA -????

--??????????

----????====??????--????????????

????

M <4 (A,C)不完全可观测。从0Q 中选出二行构成S 阵 ,64322010S ??

=??

--?? 由2SU I =求U 阵：

1112212231

324142643210201001u u u u u u u u ???

???????=??????--????

????

四个方程含8个未知数，设任意规定313241420u u u u ====，可解得

1021344000

0U ??

-?????

=??????????

故最小实现为

132

2A SAU ??

--??

==?

???--

????

04200B SB ??==???? 01001C CU ??==????

传递函数矩阵的状态空间最小实现

传递函数矩阵最小实现方法降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵G(s)，为寻找一个维数最小的(A,B,C),使C(sl - A)」B二G(s)，则称该(A,B,C )是G(s)的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论： (1)( A,B,C )为严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B) 能控且(A,C)能观测。 (2)严格真传递函数矩阵G(s)的任意两个最小实现(A,B,C)与(A,B,C5之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T使得式子 A =T」AT, B =T J B, C =CT 成立。 (3)传递函数矩阵G(s)的最小实现的维数为G(s)的次数n.，或G(s)的极点多项式的最高次数。为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵G(s)，第一步先写出满足G(s)的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足G(s)的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若G(s)诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。下面主要研究降阶法(先求能控型再求能观测子系统的方法)并举例说明。先求能控型再求能观测子系统的方法设(px q)传递函数矩阵G(s)，且p v q时，

自动控制复习题

第一章绪论 1.自动控制理论的三个发展阶段是（经典控制理论、现代控制理论、智能控制理论） 2.偏差量指的是（给定量）与反馈量相减后的输出量 3.负反馈是指将系统的（输出量）直接或经变换后引入输入端，与（输入量）相减，利用所得的（偏差量）去控制被控对象，达到减少偏差或消除偏差的目的。 4.对控制系统的基本要求有（稳定性、快速性、准确性） 5.稳定性是系统正常工作的必要条件，，要求系统稳态误差（要小） 6.快速性要求系统快速平稳地完成暂态过程，超调量（要小），调节时间（要短） 7.自动控制理论的发展进程是（经典控制理论、现代控制理论、智能控制理论） 8.经典控制理论主要是以（传递函数）为基础，研究单输入单输出系统的分析和设计问题第二章自动控制系统的数学模型 1.数学模型是描述系统输出量，输入量及系统各变量之间关系的（数学表达式） 2.传递函数的分母多项式即为系统的特征多项式，令多项式为零，即为系统的特征方程式，特征方程式的根为传递函数的（极点），分子的形式的根是传递函数的（零点）

3. 惯性环节的传递函数为（ 1 1 +Ts ） 4. 惯性环节的微分方程为（T ) () (t d t dc +c （t ）=r(t) 5. 振荡环节的传递函数为（G （s ）=n n s s 222 2ωζωω++） 6. 系统的开环传递函数为前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的（乘积） 7. 信号流图主要由（节点和支路）两部分组成 8. 前向通道为从输入节点开始到输出节点终止，且每个节点通过（一次）的通道 9. 前向通道增益等于前向通道中各个支路增益的（乘积） 10. 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称作系统的（传递函数） 11. 传递函数表示系统传递，变换输入信号的能力，只与（结构和参数）有关，与（输入输出信号形式）无关 12. 信号流图主要由两部分组成：节点和支路，下面有关信号流图的术语中，正确的是（B ） A ．节点表示系统中的变量或信号 B ．支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示传递的方向，传递函数标在支路上 C ．只有输出支路的节点称为输入节点，只有输入支路的节点为输出节点，既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点 D ．前向通道为从输入节点开始到输出节点终止，且每个节点通过

传递函数矩阵的状态空间小实现

传递函数矩阵的状态空间最小实现

传递函数矩阵最小实现方法 ——降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子 11,,A T AT B T B C CT --===成立。（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函

8 传递函数矩阵的零极点

第七章：矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。采用矩阵分式描述（MFD ）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成 2、矩阵分式描述的真性和严真性 3、矩阵分式描述的不可简约性 7-1 矩阵分式描述的基本概念矩阵分式描述（MFD ）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。 MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广右MFD ：对p 输入，q 输出线性时不变系统。有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵p q s N ?)(和多项式矩阵p p s D ?)(使下式成立：称p p p q s D s N ?-?)()(1为G(s)的一个右MFD 。左MFD ：p q L q q L p q s N s D s G ??-?=)()()(1 称p q L q q L s N s D ??-)()(1 为G(s)的一个左MFD 。例：8.1 构造G(s)的一个右MFD ，=)(s G ?? ???++++?????210 210 1 1 2s s s s s s 方法：先确定各列的最小公分母，)2(1+=s s d c 22s d c = )2(3+=s d c 1 2 22)2(10)1(012210 ) 2() 1(01 ) 2(2)(-???? ? ?????++?? ???+++???? ? =?????++++++????? =s s s s s s s s s s s s s s s s s s s G p p p q p q s D s N s G ?-??=)()()(1

自动控制原理典型习题含答案

自动控制原理习题一、(20分) 试用结构图等效化简求下图所示系统的传递函数 ) ()(s R s C 。解：所以： 3 2132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= 二．（10分）已知系统特征方程为06363234=++++s s s s ，判断该系统的稳定性，若闭环系统不稳定，指出在s 平面右半部的极点个数。(要有劳斯计算表) 解：劳斯计算表首列系数变号2次，S 平面右半部有2个闭环极点，系统不稳定。三．（20分）如图所示的单位反馈随动系统，K=16s -1,T=0.25s,试求：（1）特征参数n ωξ，；（2）计算σ%和t s ; （3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值解：（1）求出系统的闭环传递函数为：因此有：（2） %44%100e %2 -1-=?=ζζπ σ （3）为了使σ%=16%，由式

可得5.0=ζ，当T 不变时，有：四．（15分）已知系统如下图所示， 1．画出系统根轨迹（关键点要标明）。 2．求使系统稳定的K 值范围，及临界状态下的振荡频率。解 ① 3n =，1,2,30P =，1,22,1m Z j ==-±，1n m -= ②渐进线1条π ③入射角同理 2?2135sr α=-? ④与虚轴交点，特方 32220s Ks Ks +++=，ωj s =代入 222K K -0=1K ?= ，s = 所以当1K > 时系统稳定，临界状态下的震荡频率为ω 五．（20分）某最小相角系统的开环对数幅频特性如下图所示。要求（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相角裕度判断系统的稳定性；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。

传递函数矩阵的状态空间最小实现

自动控制原理习题及其解答-第三章

第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。解首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。解因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为

1 1.01 )()()(+== s s R s C s φ 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为 22 223)(n n n s s s ω ξωωφ++= 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ξ、n ω。 %333 3 4)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ） 1+Ts K bs 4 3 0 0.1 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应 h (t )

自动控制理论复习题

1.根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点和无穷远处 2.系统开环传递函数有3个极点，2个零点，则有3条根轨迹 3.根轨迹是连续的且关于实轴对称 4.已知系统的开环传递函数为G(S)=K/S+3,则(-2,j0)点不在更轨迹上 5.已知(-2,j0)点在开环传递函数为G(S)=K/（S+4）（S+1）的系统的更轨迹上，则改点对应的k值为2 6.开环传递函数为G(S)=K/S+1,则实轴上的更轨迹为（-∞，-1] 7.已知系统的开环传递函数为G(S)=K/(S+(S+,则该闭环系统的稳定状况为稳定 8.开环传递函数为G(S)=K/(S+1)(S+2)(S+3),当K增大时，该闭环系统由稳定到不稳定 9.系统开环传递函数为G(S)=K/(S+1)(S+3),则实轴上的根轨迹为[-3,-1] 10.设开环传递函数为为G(S)=K/S(S+2),在根轨迹的分离处，其对应的k值为1 11.单位反馈系统开环传递函数为两个“S”多项式之比G(S)=M(s)/N(s),则闭环特征方程为M(S)+N(S)=0 1.适合于应用传递函数描述的系统是线性定常系统 2.某0型单位反馈系统的开环增益K,则在r(t)=1t2/2输入下的稳态误差为∞ 3.动态系统0初始条件是指t

自动控制原理习题

第二章 1、（本题共15分）建立图示系统的数学模型，并以传递函数形式表示。 .解： )()]()([)()()]()([)()]()([)()()]()([)()(022 020*********s F s X s X k s X Ms t f t x t x k t x M s X s X k s X k s DsX t x t x k t x k t x D i a a i a a a a =-+?=-+-=+?-=+ ()()2 122 2132 k k Ds k s k k m mDs k s G ++++= 2、（本题共15分）系统方框图如下，求其传递函数 ()) (s R s C 。解: 2 431324321543211)() (H G G H G G G G G G G G G G G s R s C +++= 3、（本题共15分）建立图示系统的数学模型，并以传递函数形式表示。 F i (t )

.解: 2 12 1)()()(k k k k k t F t y k t y m i +?= '='+ ()2 12 2121)() ()(k k ms k k k k s F s Y s G i ?+++== 4. (本题20分) .建立图示系统的数学模型，并以传递函数形式表示。解： ) ()()()()()()()(0212 02100s F s Y k k Ds ms t F t y k k t y D t y m i i =+++=+++ 2 121 )(k k Ds ms s G +++= 5. (本题20分) 解: y 0(t )

传递函数的求取

一、实验内容及目的本次实验要求如下： ○1用足够多的方法求得以下电路系统的传递函数。 ○2当在Ui上加入一个1V的输入电压时仿真出系统的输出曲线其中Ui是输入，Uo是输出。本次实验共用了4种方法求得传递函数，分别是利用微分方程求解、利用阻抗法求解、利用方框图化简求解、利用流图与梅森公式求解。之后用了两种方法求得输出曲线，分别是matlab程序仿真和simulink图形仿真。实验目的是通过实践分析不同求传递函数方法的需求条件，加深对各种工具的熟练程度。一、实验方案及内容 1、利用微分方程直接求传递函数根据电路理论可列得下列等式： -----------------------------------------○1 -----------------------------------------○2 -----------------------------------------○3 -----------------------------------------○4 -----------------------------------------○5 利用拉布拉斯变换将其转化为频域下的方程： ------------------------------------------○6 ------------------------------------------○7 ------------------------------------------○8 ------------------------------------------○9 ------------------------------------------○10解得：，即为传递函数。 2、利用阻抗法求传递函数