高等数学（下册）试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =)0()(log 2
2>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分
??
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示
为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()
(βαψ?≤≤??
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=++??
∑
ds y x )122
（ 。
6、微分方程x
y
x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)
4(=-y y
的通解为 。
8、级数
∑∞
=+1)
1(1
n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=?+??'-?'-?→?→?y x y
y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y
u
y x u x ??+??等于（ ）
（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分???Ω
=
zdV I 等于（ ）
（A ）4
?
??20
20
1
3cos sin π
π
???θdr r d d ；
（B ）
???20
1
2sin π
π??θdr r d d ；
（C ）?
??ππ
???θ20
20
1
3cos sin dr r d d ；
（D ）
?
??ππ???θ200
1
3cos sin dr r d d 。
4、球面2
2
2
2
4a z y x =++与柱面ax y x 22
2
=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）?
?-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a d ；
（B ）?
?-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a r d ；
（C ）?
?
-20
cos 20
2248
π
θθa dr r a r d ；
（D ）
?
?
-
-2
2
cos 20
224π
πθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(； （C ）
????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D
dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx
dy
x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(2
2
2
3
2
=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程
x
y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x
2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x
-； （C ）)2sin 2(cos x x e x
-； （D ）x e x
2sin 。
8、设0lim =∞
→n n nu , 则
∑∞
=1
n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，求
y
u x u ????,。 2、（8分）设?
+-=
t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u
x u ????,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y dy e dx 。
（7分）
2、计算???
Ω
+=
dV y x I )(2
2，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。
五、（13分）计算?
+
+-=
L y
x ydx
xdy I 2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求
)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。
高等数学（下册）试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则
=??+??y
z x z 。 2、=+-→→xy
xy
y x 93lim
0 。
3、设?
?
=
20
2),(x x
dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则??
≤+→=++
2
22)(1
lim 223
t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周42
2
=+y x ，则曲线积分
?
=-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(2
2
2
，则=div 。 7、通解为x
x
e c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设??
?<<<≤--=π
πx x x f 0,
10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数??
???=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y
x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u
及 +??22x u 022=??y
u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。 3、设平面区域D ：1)1()2(2
2
≤-+-y x ，若??+=
D
d y x I σ21)(，??+=D
d y x I σ3
2)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
???Ω
dxdydz z xy
32
=（ ） （A ）
3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）364
1
。 5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为??
?==)
()
(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，
其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2
≠'+'t t ψ?， 则曲线积分
?
=L
ds y x f ),(（ ）
(A) ?β
α
ψ?dt t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22 ；
(C)
?'+'β
αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22； (D)?αβ
ψ?dt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面12
2
2
=++z y x ， 则曲面积分
??∑
++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数
∑∞
=1
n n
a
为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++
=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2
y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭
区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算???Ω
+++=
3)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义???Ω++=
dv y x f z
t F )]([)(222
，
其中{
}2
2
2,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt
dF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求?
-+-=
L
x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经
2x ax y -=到O （0，0）的弧。
2、（7分）计算??
∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x I 2
22，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?。
高等数学（下册）试卷（三） 一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设?
=
yz xz
t dt e u 2
， 则
=??z
u
。 2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f ??= 。
3、设Ω为曲面0,12
2
=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分
???Ω
=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=I ??=+
→D
t d y x f t σπ),(1lim 2
，其中
222:t y x D ≤+。
5、
?
=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962
+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*
y 。
8、若级数∑∞
=--1
1
)1(n p
n n 发散，则p 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim 0--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）2
1
),(b a f x '。 2、设2
y x
z =，结论正确的是（ ）
（A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）022=???-???x y z y x z ；
（C ）022
y z y x z 。
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，)
,(y x f
在D 上连续，则??=D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2
??1
),(D d y x f σ；
（C ）4??1
),(D d y x f σ； (D)2??2
),(D d y x f σ。 4、设Ω：2
2
2
2
R z y x ≤++，则
???Ω
+dxdydz y x
)(22
=（ ）
（A ）5
3
8
R π； （B ）5
3
4R π； （C ）
5158R π； （D ）515
16
R π。 5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线
弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ） （Ａ）x =
?L
ds y x x M
),(1ρ； （B ）x =
?L dx y x x M ),(1
ρ； （C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =?L
xds M 1
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
６、设∑为柱面12
2
=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则
曲面积分
??∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ） （A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4
π
。 ７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x
Ae ，若x
e x
f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++2
34，若x x x f 2)(2
-=；
（D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。
８、设???≤<<≤--=π
πx x x f 01
0,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）
（A ）
])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）π
n 1； （D ）
πn 4
。 三、（１２分）设t t x f y ),
,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy
。
四、（８分）在椭圆442
2=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
五、（８分）求圆柱面y y x 22
2
=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算??∑
=
xyzdxdy I ，其中∑为球面 12
22=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧。
七、（10分）设x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos +=，求)(x f 。
八、（10分）将函数)1ln()(3
2
x x x x f +++=展开成x 的幂级数。
高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程2222=+++
z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处
的全微分=dz 。
2、椭球面6322
2
2
=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D 是由曲线2,2
+==x y x y 所围成，则二重积分??=+=
D
dxdy x I )1(2
。 4、设Ω是由4,0,42
2
===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分
???Ω
+=dv y x I )(22= 。
5、设∑是曲面22y x z +=
介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分
??∑
=+=ds y x I )(22 。
6、
??
??=++=++=022
222z y x a z y x ds x 。
7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 。 8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、函数xy x
y
z +=arcsin
的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}
0,|),(≠≥x y x y x ； （C ）{}
0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y 。
2、已知曲面2
2
4y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。 3、若积分域D 是由曲线2
x y =及2
2x y -=所围成，则??D
d y x f σ),(=（ ）
（A ）
?
?
--22
211
),(x x dy y x f dx ； （B ）
?
?
--22
211
),(x x dy y x f dx ；
（C ）
?
?
-y y
dx y x f dy 210
),(； （D ）??
--1
12),(22
dx y x f dy x x 。
4、设;0,:2
2
22
1≥≤++Ωz R z y x 0,0,0,:2
2
2
2
2≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）??????ΩΩ=1
24xdv xdv ；
（B ）
??????ΩΩ=1
2
4ydv ydv ；
（C ）
??????ΩΩ=1
2
4xyzdv xyzdv ； （D ）??????ΩΩ=1
2
4zdv zdv 。
5、设∑为由曲面22y x z +=
及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分
??∑
+ds y x
)(22
=（ ）
（A ）
π221+； （B ）2
π
； （C ）π22； （D ）0 。 ６、设∑是球面2
2
2
2
a z y x =++表面外侧，则曲面积分
??∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33＝（ ） （A ）
3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）55
12
a π-。 ７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率x
y x x
x k ln ln +-
=，则
此曲线方程为（ ）
（A ）)ln(ln x x e x y +=； （B ）x x e
x
y ln +=； （C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e
x
y +=。
８、幂级数
∑∞
=+1
)1(n n
x
n 的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。
三、（１０分）已知函数)()(x
y xg y x
yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求
y x u
y x
u x ???+??222的值。
四、（１０分）证明：曲面)0(3
>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的
体积为一定值。
五、（１４分）求抛物面2
2
4y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面
1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。
六、（１０分）计算?
-++=
L
x x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为2
4x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。
七、（８分）求解微分方程212
y y
y '-+''=0 。
八、（８分）求幂级数∑∞
=1n n
n
x 的和函数)(x S 。
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设),(y x f z =是由方程0=+----x
y z xe
x y z 所确定的二元函数，则
=dz 。
２、曲线?
??=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 。
３、设Ω是由12
2
2
≤++z y x ，则三重积分
???Ω
dv e z
＝ 。
４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分
?
??-a y
x a m dx x f e dy 0
)()(
化为定积分为 。 ５、曲线积分
?
+)
(AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 。
６、设∑为222y x a z --=
，则??∑
=++ds z y x )(222 。
７、方程x
e
y y 23=+'的通解为 。
８、设级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，
∑∞
=1
n n
b
发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
１、设??
???=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）0)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微。
２、设函数),(y x f z =有22
2=??y
f
，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ） （Ａ）2
1y xy +-； （Ｂ）2
1y xy ++； （Ｃ）2
2
1y y x +-； （Ｄ）2
2
1y y x ++。
３、设Ｄ：4122
≤+≤y x ，f 在D 上连续，则
??
+D
d y x f σ)(22在极坐标系中等
于（ ） （Ａ）dr r rf ?
2
1
)(2π
； （Ｂ）dr r rf ?2
1
2)(2π；
（Ｃ）??
-10
220
2])()([
2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）??-1
220
2])()([2dr r rf dr r rf π。
４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分
???Ω
=)(
),,(dv z y x xf
（Ａ） ?
?
?
---y x y dy z y x xf dz dx 210
210
10
),,(；
（Ｂ）
?
??
--y
x dz z y x xf dy dx 210
10
10),,(；
（Ｃ）
?
?
?
---y x x dz z y x xf dy dx 210
210
10
),,(；
（Ｄ）
???
10
1
10
),,(dz z y x xf dy dx 。
５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分
??∑
=++)(
zdxdy ydzdx xdydz
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
???≤++=++2
2225
22234)(a z y x a dv z y x π； （Ｂ）
()
;44222
2
222a ds z y x
a z y x π=++??=++
（Ｃ）
??
=++=++外侧
222
2
42224)(a z y x a dxdy z y x π；
（Ｄ） 以上三结论均错误。
７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g 。并设曲线积分
?
-L
dy x g xdx x yg )(tan )(
与积分路径无关，则
?
=-)
4,4()
0,0()()(tan )(π
πdy x g xdx x yg
（Ａ）
π22； （Ｂ）π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π8
2-。 ８、级数∑∞
=---1
1
1
2)1(n n n 的和等于（ ） （Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设,z
y x u =求y u x u ????,z
u ??。
２、（７分）设),(z
y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du 。
四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算??++=D
d y f x f y bf x af I σ)()()
()(，其中222:R y x D ≤+。
２、（７分）计算???Ω
+++=
dv z y x I )1(，其中2222
:R z y x
≤++Ω。
五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，
?
+-+L
dy y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u 。
六、（８分）将函数3
)1(1)(x x
x f -+=展开为x 的幂级数。
七、（７分）求解方程096=+'-''y y y 。
高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ． 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2．若x
y
z ln =，则dz 等于（ ）．
ln ln ln ln .x x y y y y
A x y +
ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x
y y C y
ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x
D dx dy x y
+
3．设Ω是圆柱面2
2
2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=???Ω
dxdydz z y x f ）
． 21
2
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz
π
θ
θθθ?
?
?
21
2
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ?
?
?
21
2
02
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz
π
θ
πθθθ-??
?
21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz πθθθ??
?
4． 4．若
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线22
2
x y z z x y
-+=??
=+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.
A. （-1，3，4）
B.（3，-1，4）
C. （-1，0，3）
D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1
．
设
220x y xyz +-=，则
'(1,1)x z = .
2．交 换ln 1
(,)e x
I dx f x y dy =
??
的积分次序后，I =_____________________．
3．设2
2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知
0!
n
x
n x e n ∞
==∑，则
x xe -= .
5. 函数3
3
2
2
33z x y x y =+--的极小值点是 .
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1.（本小题满分6分）设arctan y z y x
=, 求z x ??,z y ??.
2.（本小题满分6分）求椭球面222
239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程
3. （本小题满分7分）求函数2
2
z x y =+在点(1,2)
处沿向量122
l i j =+r
r r
方向的方向导数。
4. （本小题满分7分）将x
x f 1
)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程088222
2
2
=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数
),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分1
,1,1,)(222
=-=--=+??y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算?
-L
x y x y xy d d 22，
其中L 是圆周2
22a y x =+（按逆时针方向）.
8.（本小题满分7分）计算
???
Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数1
1
,n n
n n u v
∞
∞
==∑∑都收敛，证明级数
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2f
x x
?=?， 证明曲线积分
2(,)L
xydx f x y dy +?
与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,) (0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+?
?
，求),(y x f 的表达式．
高等数学（下册）试卷（一）参考答案
一、1、当10<2
≤+a 时，12
2
≥+y x ；
2、负号；
3、
2
3;
110
???
?
-+=D
y e e
y
dx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψ?'+'；
5、180π；
6、Cx x
y
=sin
； 7、x
x
e C e
C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、
21f y f x
u
'+'=??；)(xy x g x y u +'=??； 2、)()(t x f t x f x u --+=??；)()(t x f t x f t u
-++=??； 四、1、)1(2
14
20200220222-----===?????e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；
2、?
?
??
??=
+=
πππθθ20
20
21
20
2
21322
33
14
2r
dz r dr d dz r dr d I
柱面坐标
； 五、令2
222
,y x x
Q y x y P +=+-=则x
Q
y x x y y P ??=+-=??2
2222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x
Q
y P ????,在D 内连续。所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x
Q y P ????,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(2
22<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为
+L 及-l 所围成区域，则
πε2)(
2
22*
=+??-??+=+-=?????
???
=+++-
++++
y x D l
l L l
l
L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得： 0)0()
0(1)
0(2)0(2
=?-=
f f f f 又x x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()()(1)
()(lim 0
x
f x f x f x f x f x ?-???-+=→?)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2
x f f +'=
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<大一高数试题及答案.doc
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>高等数学上复旦第三版 课后习题答案
283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??
284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
高数试题及答案
课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分）
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解
习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;
解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
高等数学考试题库(含答案解析)
范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x.
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高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2
