指数对数函数章节复习
教学过程：
一．知识回顾：
可由学生自己在课下参照本章的《小结复习》将本章的基本知识点进行梳理； 在课上由学生进行知识总结、回顾，在期间老师可适时引导学生对个别部分的知识形成过程进行大体的回顾，也可以适时进行一些总结、以及一些相关知识的简介；如：碳14测年法、指数与对数的关系等，在关键环节，如指、对、幂函数的性质时，可以特别指定几个函数，由学生（在黑板以及练习本上）在一个直角坐标系中画出函数的图像，目的是不仅要熟练掌握一类函数的图像特征、还要体会几类函数图像之间的区别与联系，进而更透彻的掌握函数的基本性质。 说明：在此环节中要注重学生的主体地位，这样有利于在学生的头脑中形成一个整体的知识网络框架；但在适当的时候老师进行总结、说明也是有必要的。 第一部分：
1．指数式、对数式、幂的相关知识：
b
a N =
(1) 已知a,b ，求N ；
(2) 已知b,N ，求a ；
(3) 已知a,N ，求b ；
对应举例：
（一）．与指数、对数、幂相关的题目：
1．x 643=,则x= ；
25=x ，则x= ； log 216=x ,则x= ；log 64x =13
,则x= ; 2．lg(lg 1010)= ； =+3log 122 ；
3．log ===+n m a a a n m 2,3log ,2则 ;
log 0)](log [log 235=x ,则x= ;
4．已知62()log f x x =，那么f(8)= ；
5．计算(1)2log 4log 633- (2)lg58lg 3
2)2(lg 20lg 5lg 22++?+ 说明：（1）每道题的解决要让学生能说出是运用了什么知识；
（2）要充分发挥学生的主动性，一定要由学生亲自体会解题的每一环节，从中体会基本的解题策略；
（3）教师要善于变换题目，在一题多变中让学生体会解决问题的基本思想和方法；
（二）．指数函数、对数函数、幂函数图像性质的初步应用：
1．函数y=31x +的图像不经过第 象限；
2．已知函数y=(1)12a x -?? ???是定义域上的增函数，则a 的取值范围是
3．设x>0且1,0,0x x a b a b <<>>，则a,b 的大小关系时（ ）
A.b B.a C.1 D.1 4．下列函数是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A.y=||3x - B.12y x = C.y=log 23x D.y=x-x 2 5．函数y=||log 2x 的图象和性质说法正确的是（ ） A.函数图象关于x 轴对称 B.定义域与值域均为一切实数 C.函数图象关于y 轴对称 D.函数在（0，+)∞上单调递增 说明：以上是关于指、对、幂函数的基本问题的考查，如函数的单调性、奇偶性、函数值分布、基本的图像变换等，而所有这些都离不开对三类函数的图像的熟练掌握；无论是单纯的一个函数还是几个函数，他们的各自特征以及相互之间的联系与区别都要比较熟练的掌握。 6．（1）求函数; （2）求函数f(x)=222x -的值域； （3）求函数g(x)=log 2 1)32(2++-x x 的值域； 7．函数y=log )2(ax a -在[0，1]上是关于x 的减函数，求a 的取值范围. 说明：（1）以上是关于复合函数的有关问题，要引导学生逐步学会处理上述问题的解决办法，最为重要的是转化和数形结合思想的运用，要使学生体会到：处理复合函数问题最根本的是将问题转化为我们最熟悉的基本函数的问题；而基本初等函数（一次、二次、幂指对等）问题借助数形结合便很容易解决； （2）在学生处理完所给题目后，可随时变换模式，使学生把握不同条件下的具体解决的形式有所不同，但其基本的解决策略、基本的解题思想是不变的。 课后小结：由学生说说一节课后的收获和体会，老师也要给学生提出明确的要求，比如，对于课上一些问题的进一步的总结与反思，可以包括：哪些知识环节上还存在问题？哪些重点知识的掌握还不够灵活？哪些基本的解题策略和方法还有待提高？哪种类型题的处理上还需加强等等……这些课后反思如学生能长期坚持做，对于数学的学习一定会很有好处。 (二) 本节主要是关于指数、对数、幂函数的较简单的综合问题的解决. 1．已知a>1,b<-1，则函数y=b a x +的图象必不过第 象限； 函数21(0,x y a a -=+>且1)a ≠的图像必经过点 ； 2．若0 A.f(2)>f(1/3)>f(1/4) B.f(1/4)>f(2)>f(1/3) C.f(1/3)>f(2)>f(1/4) D.f(1/4)>f(1/3)>f(2) 3．已知函数f(x)=lg(x x b a -)(a,b 为常数,a>1>b>0)，若x ),1(+∞∈时，f(x)>0恒成立，则（ ） A.a-b 1≥ B.a-b>1 C.a-b 1≤ D.a=b+1 4．对于函数f(x)定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论： ①)()()(2121x f x f x x f ?=+；②)()()(2121x f x f x x f +=?； ③0)()(2121>--x x x f x f ；④2)()(22121x f x f x x f + ? ??+. 当f(x)=lgx 时，上述结论正确结论的序号是 .(05年高考) 当f(x)=2x -时，上述结论正确结论的序号是 ； 当f(x)=12 x 时，上述结论正确结论的序号是 . 引申： 6．函数f(x)=a )1(log ++x a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a 值为 7．求函数y=4x +2x 2?+1的值域 . 以下为选作题： 8．(1)已知y=log 22(43)kx x ++的定义域为R ，求k 的取值范围； (2)已知y=lg(ax 2+2x+1)的值域为R ，求a 的取值范围。 9．设函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意的x>0,y>0，都有()()x f f x f y y ??=- ??? 恒 成立，且当x>1时，f(x)>0. (1) 求f(1)的值； (2) 探究f(x)在区间(0,+∞)上是否具有单调性； (3) 你能找出符合本题条件的一个函数吗？请将你找出得函数写出来，并由此发表看法. 10．一片森林的面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用的时间是t 年.为保护生态环境，森林面积至少 要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为2a . （1） 问到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （2） 问今后最多还能砍伐多少年？ 说明：《新教材新学案》综合复习（1）（2）中的其他题目可做参考。 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1 >d 1 >1>a 1 >b 1 ,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 （2 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）：①，②，③，④。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：； ②。 （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b m n b a n a m log log =。 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 高一数学指数对数幂函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数 指数函数 名称 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：②减法： ③数乘：④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 定义域 值域 指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固 撰稿：刘杨审稿：严春梅责编：丁会敏 一、知识框图 二、目标认知 学习目标 1.指数函数 (1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景； (2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点； (4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅 读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； (2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函 数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数 的单调性与特殊点； 3.反函数 知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1). 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念； (2)结合函数的图象，了解它们的变化情况. 重点 指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 难点 指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质. 三、知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 指数对数幂函数知识点总 结 篇一：指数、对数、幂函数知识点 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果 ； 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子 叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. ； ，那么叫做的次方根，其中 2.n次方根的性质：(1)当为奇数时， ； (2)当为偶数时， 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3) 知点二：指数函数及其性质1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为 . 叫做指数函数，其中是自 1.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1 2.（2013·上海高考文科·T8）方程 3.（2013·湖南高考理科·Ｔ16）设函数 f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0. 9x 的实数解为. ?1?3x 3?1 且a=b?，（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长， 则(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____. （2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是. （写出所有正确结论的序号） ①?x????,1?,f?x??0; ②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长；③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0. 知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若叫做底数， 叫做真数. ，则叫做以为底 的对数，记作 ， (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式： ， ， . . 3.常用对数与自然对数： 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 (其中 …). 4.对数的运算性质如果 ①加法： 精品文档 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 指数函数 0 精品文档 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则 y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数 的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且。 ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。 ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。 ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1 之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 基本初等函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数名 称 指数函数 定义函数且叫做指数函数图象 1 2 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当时， . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做底数， 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化： . 2.几个重要的对数恒等式 ， ， . 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数： ，即 (其中…). 3 4.对数的运算性质 如果 ，那么①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数 叫做对数函数， 其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数名 对数函数 称 定义 函数 且 叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在上是减函数 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 指数函数、对数函数、幂函数 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数指数函数 名称 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象 的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看 图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中 叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：②减法： ③数乘：④ ⑤⑥换底公式 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点 总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶 数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②log 1a a =，③log N a a N =， ④log N a a N =。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于； ②1 log log b a a b = 。 （3）对数的运算法则： 如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根 式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 指数函数 0 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 2233 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、2x - 4、 =则实数a 的取值范围是………………………………( ) 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：...()n n a a a a n N =∈ 零指数幂：0 1(0)a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：0,,,1) m a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是：10,,,1) m n m n a a m n N n a -= = >∈>且 2、幂函数的定义 一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数 的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当1 2,1,2a =--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 精心整理 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0, ) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： 1234如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+．log log log a a a M M N N =-． log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）b m n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1） 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1)(2)(3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数 名称 、 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 : 定义域 值域 过定点 * 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 ~ 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： ~ 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ^ 定义域 值域$ 过定点图象过定点，即当时，. 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： : ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 < 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； ！ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ` ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 . b 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： 。 ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 一、 ？ 二、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂：0 1(0)a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： 0,,,1)m n a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是：10,,,1) m n m n a a m n N n a - = = >∈>且 2、幂函数的定义 一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数 的情况)． : 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当 12,1,2a =--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． [ (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ？ ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数.指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
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