基础物理学上册习题解答和分析-第一章习题解答和分析

基础物理学上册习题解答和分析-第一章习题解答和分析

习题一

1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++r r r r

其中a ，b ，ω均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t r 对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。 解：

/sin()cos()==-++r r r r r

v dr dt a t i a t j bk

ωωωω

2

/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω??==-+??

r r r r

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2

/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 0

Kx v v e -= 。 其中0

v 是发动机关闭时的速度。

分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dx

dv

v dt dv a ==，积分即可求得。

证： 2

d d d d d d d d v x

v v t x x v t v K -==?= d Kdx v =-v

??-=x x K 0d d 1

0v v v

v , Kx

-=0

ln v v

Kx

v v e -=

1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2

2,48x t y t ==-。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲

线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程

)(t r ρ表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得

()

v t r

和

()

a t r ，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、

加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2x t =代入2

48y t =- 可得：2

8y x =-，即轨道曲线。

画图略

（2）质点的位置可表示为：2

2(48)r ti t j =+-r r r

由/v dr dt =r r

则速度：28v i tj =+r r r

由/a dv dt

=r r

则加速度：8a j =r r 则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v

i j a j =-=+=r r r r r r r

r 当t=2s 时，有48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r r

r r

1-4．一质点的运动学方程为2

2

(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

解：（1）由题意可知：x ≥0，y ≥0，由2

x t =，，可得t x =,代入2

(1)y t =-

1y x ，即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为：2

2

(1)r t i t j =+-r r r

则：/22(1)v dr dt ti t j ==+-r r r r

/22a dv dt i j

==+r r r r

因此, 当2t s =时，有2

42(/),22(/)v i j m s a i j m s =+=+r r r r r r

1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2

12

s v t bt =-，其中v 0，b 都是常量。（1）求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b ； （3）到加速度大小等于b 时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dt

ds v =，因而，dt

dv

a

=

τ

，

2

n v a ρ

=

，00

n a a a n τ

τ=+r r r ，2

2n

a a a +=

τ，当b a =时，可求出t ，

代入运动学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路

程，R

s

π2即为质点运动的圈数。 解：（1）速率：0

ds v v bt dt ==-，且dv b dt =-

加速度：2

2

()v bt dv v a

n b n dt R

ττρ-=+=-+r r r r r 则大小：

2

2222

0()n

v bt a a a b R τ??-=+=+??

??

方向：()bR

bt v 2

0tan --=θ

（2）当a=b 时，由①可得：0

v t b =

（3）当a=b 时，

v t b

=，代入

201

,

2s v t bt =-可得：

202v s b

=

则运行的圈数

2024==

v s

N R bR

ππ

1-6．一枚从地面发射的火箭以2

20m s -?的加速度竖直

上升0.5min 后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

分析：分段求解：s t 300≤≤时，2

20s m a =，求出v 、a ；t ＞30s 时，g a -=。求出2

()v t 、2

()x t 。当02

=v 时，求出t 、x ，根据题意取舍。再根据0x =，求出总时间。 解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s ，且0.5min=30s 则：当0≤t ≤30s ，由x

x

dv a dt

=, 得2

,20(/)x

t

v x

x x

a dt dv a m s ==??， 20(/),30()x

v t m s t s ==时，1

600(/)v m s =

由x

dx v dt

=，得1

30

=??x x

v dt dx ，则：1

9000()x m = 当火箭未落地, 且t ＞30s,又有：

2

1

2

2

2

2

30

,9.8(/)x t

v x x x v a dt dv a m s ==-??，

则：2

8949.8(/)

x v t m s =-

且：1

2

30t

x x x v dt dx =?

?，则：2

4.989413410()x t t m =-+-…①

当2

0x v =，即91.2()t s =时，由①得，max

27.4x km ≈ （2）由（1）式，可知，当0x =时，166()t s ≈，t ≈16(s)＜30(s)（舍去）

1-7. 物体以初速度1

20m s -?被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s 末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s 末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是