简单的线性规划常见题型总结

简单的线性规划常见题型

第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型)

例1.设x,y 满足约束条件??

???≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值

解：可行域是如图所示中ABC ?的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5

22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =. 当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7

小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?-+???

，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为

2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??+≥??-≤?则目标函数4z x y =+的最大值

3、设变量x 、y 满足约束条件??

???-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为

4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤?

则z x y =+的最值为________

第Ⅱ类 求可行域的面积

关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形

例2.不等式组??

???≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2

解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4

小试牛刀:1、不等式组236,

-0,

0x y x y y +≤??≥??≥? .表示的平面区域的面积为 。

2、若不等式组03434x x y x y ≥??+≥??+≤?所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是

3、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥?

（α为常数）所表示的平面区域内 的面积等于2，

则a 的值为

第Ⅲ类 距离型目标函数

目标函数形式为“22z x y =+，22z x y =+，22()()z x a y b =-+-”。

例3.已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤??≥??≥?

点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________,

最大值等于________.

小试牛刀:1、设x 、y 满足条件3

10x y y x y +??-???

≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组2102304

1

x y x y x y +≤??+≥??≤≤??≥?表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_.

3、若,M N 是1110

6

x y x y x y ≥??≥??-+≥??+≤?表示的区域内的不同．．两点，则||MN 的最大值是 。 4、如果点P 在平面区域??

???≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为

5、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22x y +的最小值是 .

第Ⅳ类 斜率型目标函数:

目标函数为11

,y y y x x x --型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，