4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______
一、填空题(每小题6分，共30分)
1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.
解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，
∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412
＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.
答案：4 2
2.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．
解析：
如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，
∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．
∴AE ＝BO ＝12
BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.
又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .
∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12
. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，
∴AF ＝233
. 答案：233
3．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.
解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得
△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD .
即4x ＋10＝x 4＋x
?x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，
由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.
在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3. 答案：6 3
4．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.
解析：由切割线性质得：PE 2
＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE ， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.
答案：75°
5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD
＝a ，CD ＝a 2
，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.
分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝
3
2a，BC＝
DE＝
3
2a，∴BD＝?
?
?
?
?a
2
2＋
?
?
?
?
?
3
2a
2＝a，∴EF＝
1
2BD＝
a
2.
答案：a 2
二、解答题(每小题10分，共70分)
6．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)求证：B，D，H，E四点共圆；
(2)求证：CE平分∠DEF.
证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，
所以∠CED＝∠HBD＝30°.
又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF＝30°，
所以CE平分∠DEF.
7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.
(1)求证：∠EDF＝∠CDF；
(2)求证：AB2＝AF·AD.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，
∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，
∴∠EDF＝∠CDF.
(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ADB∽△ABF，∴AB
AF＝
AD
AB，∴AB
2＝AF·AD.
8．(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，
故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，
从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，
所以∠AFG＋∠GBA＝180°，
故A，B，G，F四点共圆．
9．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝GE·GF.
证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠
GDF，∴△GCE∽△GFD，故GC
GF＝
GE
GD，即GC·GD＝GE·GF.∵GH
为圆的切线，GCD为割线，
∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.
10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，
即AD AC ＝AE AB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .
因此∠ADE ＝∠ACB .
所以C ，B ，D ，E 四点共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12
(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.
11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.
(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；
(2)求证：QT＝TS.
证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，
∴Q、H、K、P四点共圆．
(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①
∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③
由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，
又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.
12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠EAC.
∴∠EAD＝∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC＝∠FBC.
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC.
(2)证明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，∴FB
FD＝
FA
FB，
∴FB2＝FA·FD.
(3)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝1
2∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.
∴∠D＝30°.
∵BC＝6 cm，∴AC＝23cm，∴AD＝2AC＝43cm.