勾股定理知识归纳总结及解析

勾股定理知识归纳总结及解析

一、选择题

1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为（ ）

A ．3

B ．6

C ．10

D ．9

3．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于

,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）

A ．1

B ．

54

C ．

74

D ．254

4．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A 2

B ．2

C 3

D ．4

5．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须

既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

A ．0

B ．1

C ．3

D ．2

6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )

A ．3

B ．

154

C ．5

D ．

152

7．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6

B ．3，5，4

C ．5，12，13

D ．3，2，13 8．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12

B ．2，3，4

C ．1，2，3

D ．5，11，12

9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）

A ．

222221a b h

+= B ．

222111

a b h

+= C ．2h ab = D ．222h a b =+

10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）

A．33

cm B．4cm C．32cm D．6cm

二、填空题

11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．

12．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是

___________________（π的值取3）．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．

14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．

15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．

16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

17．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5． ①线段OA 的取值范围是______________； ②若BD -AC =1，则AC ?BD = _________．

18．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.

19．如图的实线部分是由Rt ABC ?经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ?沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中

90ACB ∠=?，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.

20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是

2

π

，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______

三、解答题

21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=?，连接AE ．

（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．

（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．

23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．

(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；

②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；

(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．

24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在

ABD 内部，90EAP ∠=?，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =

下列结论：

①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5 ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=

=5

32

ABD S ?+③；

④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为

5+232-；

⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得

AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．

其中正确结论的序号是___．

26．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，

①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.

（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积. 27．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线

AB 于点H ．

（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．

28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

29．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，

①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD

的长．

30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．

（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形． （2）如图1，求AF 的长．

（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．

①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案． 【详解】

根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：

当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析： 第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O

∴2

2172AO AB BC ??=-= ???

设OP x = ∴2227AP AO OP x =

+=+

∵4AB AC ==

∴1

32

BO BC =

= ∴3BP BO OP x =+=+

∴27=3x x ++ ∴2x =-，不符合题意；

第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O

设OP x = ∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=- 273x x +=-

∴2x =，点P 存在，即1BP =；

当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；

当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意； ∴符合题意的点P 共有：2个 故选：B ． 【点睛】

本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．

2．C

解析：C 【分析】 做点F 做FH

AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠

的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在

Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ． 【详解】

过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．

∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得， ∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '== ∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE ∴BE=9-AE

∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE ∴()2

2293AE AE -=+ ∴AE=4 ∴DE=5

∴9C F BC BF BF '=-=- ∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=- ∴()22293BF BF -+= ∴BF=5，EH=1

∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选：C ．

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

3．C

解析：C 【分析】

先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴2222228610AC BC AB +=+==, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，

∵DE 垂直平分AB ， ∴AD=BD ，

在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,

∴222

(8)6CD CD -=+,

解得CD=74

， 故选：C.

【点睛】

此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.

4．B

解析：B 【分析】

过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果. 【详解】

解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， 所以OD=OE=OF ， 又BO=BO,

∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得，CE=CF.

又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形. ∴AD=AF.

∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10. ∴AD+BD=6①, AF+FC=8②， BE+CE=BD+CF=10③，

①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14， ∴AD=2. 故选：B.

【点睛】

此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．

5．D

解析：D

【分析】

先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．

【详解】

根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．

乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．

因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，

因为2017÷6=336…1，

所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.

，

故选D．

【点睛】

此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．

6．C

解析：C

【解析】

将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，

所以S2=x+4y=5，

故答案为5．

点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．

7．A

解析：A

【解析】

A. 12+22)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D. 32+222，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

故选A.

8．C

解析：C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】

解：A 、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B 、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C 、因为12= 22，所以三条线段能组成直角三角形；

D 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选C ． 【点睛】

此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．

9．B

解析：B 【分析】

设斜边为c ，根据勾股定理得出 【详解】

解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵

12ab=1

2

ch ，

∴，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2，

∴22222a b a b h =22222a h a b h +22

222b h a b h

， 即

21a +21b ＝21h ． 故选：B ． 【点睛】

本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．

10．A

解析：A 【分析】

先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长. 【详解】

∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ， ∴CD=DE ， 由AD ＝AD ，

所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，

所以，AC=AE.

∵E为AB中点，∴AC=AE=1

2

AB，所以，∠B=30° .

∵DE为AB中线且DE⊥AB，

∴AD=BD=3cm ，

∴DE=1

2

BD=

3

2

,

∴BE=

2

2

3

3

2

??

-=

?

??

33

cm.

故选A.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.

二、填空题

11．8

【解析】

如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值

作交于，则为所求；

设,,

由，，

h+5=8，即BM+MN的最小值是8.

点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形

的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．15厘米

【分析】

要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．

【详解】

解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，

∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39

π=厘米，矩形的宽BC=12厘米．

∴蚂蚁需要爬行最短路程2222

12915

AC BC AB

=+=+=厘米．

故答案为：15厘米

【点睛】

求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．

13．75或6或9 4

【分析】

当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

【详解】

在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，

∴BC＝6（cm）；

①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.5

2

＝3.75（秒）；

②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；

③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，

所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，

解得：t＝9

4

，

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝9

4

．

故答案为：3.75或6

或

9

4

．

【点睛】

此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.

14．2

【分析】

连接AD、CD，由勾股定理得：22

435

AB DE

==+=，22

4225

BD=+=，22

125

CD AD

==+=，得出AB＝DE＝BC，222

BD AD AB

+=，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明

△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解.

【详解】

连接AD、CD，如图所示：

由勾股定理可得，

22

435

AB DE

==+=，22

4225

BD=+=22

125

CD AD

==+，

∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC ，222

BD AD AB

+=，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，

∴225

AC AD BD

===，

在△ABC和△DEB中，

AB DE

BC EB

AC BD

=

?

?

?

?=

?

＝，∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠BAC＝∠EDB，

∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，

∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，

∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，

∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.

15．4

【分析】

根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可

【详解】

∵AC的垂直平分线FG，

∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=1

2

（180°-∠BAC）=30°，

∴∠B=∠G，

∴BF=FG，

∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，

∴AG=2AE，

即（2AE）2=AE2+32，

∴

即

同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，

（2EF）2=EF2+2，

∴EF=1（负值舍去），

∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，

故答案为4．

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

16．①②③

【解析】

【详解】

解：∵△ABC是等边三角形，

60

ABC

∴∠=，

∵△BQC ≌△BPA ，

∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，

60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，

∴△BPQ 是等边三角形，①正确. ∴PQ =BP =4，

2222224325,525PQ QC PC +=+===， 222PQ QC PC ∴+=，

90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.

∵△BPQ 是等边三角形，

60PBQ BQP ∴∠=∠=，

∵△BQC ≌△BPA ， ∴∠APB =∠B QC ，

6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.

36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，， 45QPC ∴∠≠，

即135APC ∠≠，④错误. 故答案为①②③. 17．①1＜OA ＜4． ②67

2

． 【解析】

(1)由三角形边的性质 5-3<2OA <5+3, 1＜OA ＜4.

(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE , 由题意知，22BD DE =+()2

BC CE +=2DE +()2

4CE +，

()()22

2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-， 2AC ∴+ 2BD

=2DE +()()2

2

245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC ?BD =1，

∴AC ?BD =

672

.

18．169 【解析】

解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°； ∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即

∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．

点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强． 19．3 【分析】

根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解. 【详解】

解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ??, ∵15cm BC =，20cm AC =，

∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=， ∵90ACB ∠=?， ∴'A M

AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），

∴25,AB cm =

利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有2

2

2

(257)5m m +-=， 解得3m =， 所以MB '的长为3. 【点睛】

本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.

205【分析】

先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 【详解】

圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽