方程、函数与不等式(含答案)

不等式、方程与函数

1．若不等式组1+x a

2x 40

>??

-≤?

有解，则a 的取值范围是（）

A ．a≤3

B ．a ＜3

C ．a ＜2

D ．a≤2

2．若关于x 的分式方程2m x 2

1x 3x

+-=-无解，则m 的值为（）

A ．一l.5

B ．1

C ．一l.5或 2

D ．一0.5或一l.5

3．已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）

A ．图象关于直线x=1对称

B ．函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4

C ．﹣1和3是方程ax 2

+bx+c （a≠0）的两个根

D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 4．函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c －3＝0的根的情况是（）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个异号的实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．没有实数根

5．函数()a

y 1x <0x =-的图象如图，那么关于x 的分式方程a 12x -=-的解是（）

A ．x=-1

B ．x=-2

C ．x=-3

D ．x=-4 6．如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的函数关系式； (2)求△AOB 的面积； (3)则方程0=-+x m b kx 的解是；（请直接写出答案） (4)则不等式0<-

m b kx 的解集

是 .（请直接写出答案）

7．已知二次函数2

y a x b x c

=++图象的顶点横坐标

是4，与x轴交于A（x

1，0）、B（x

，0），x

﹤0﹤x

，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan tan

CA BO2

O C

∠-∠=。

（1）求证：b8a0

+=；

（2）求a、b的值；

（3）若二次函数图象与直线y2x3

=+仅有一个交点时，求二次函数的最值。

8．已知：y关于x的函数()

y kx2k1x k3

=-+++的图象与x轴有交点。

（1）求k的取值范围；

（2）若x

1，x

是函数图象与x轴两个交点的

横坐标，且满足()21

212

2k 1x k 34x x ++++=．

①求k 的值；②当k 1x k 3+≤≤+时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。

参考答案

1．B 。

【解析】先求出不等式的解集，再不等式组有解根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”即可得到关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可：由1+x a >得，x ＞a ﹣1；由2x 40-≤得，x≤2。 ∵此不等式组有解，∴a ﹣1＜2，解得a ＜3。故选B 。 2．D 。

【解析】方程两边都乘以x （x －3）得：（2m ＋x ）x －x （x －3）=2（x －3），即（2m ＋1）x=－6，①

①∵当2m ＋1=0时，此方程无解，∴此时m=－0.5，

②∵关于x 的分式方程2m x 21x 3x

+-=-无解，∴x=0或x －3=0，即x=0，x=3。

当x=0时，代入①得：（2m ＋1）×0=－6，此方程无解；

当x=3时，代入①得：（2m+1）×3=－6，解得：m=－1.5。

∴若关于x 的分式方程2m x 2

1x 3x

+-=-无解，m 的值是－0.5或－1.5。故选D 。 3．D ．【解析】

试题分析：A 、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；

B 、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，-4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的最小值是-4，正确，故本选项不符合题意；

C 、由图象可知抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x 轴的另外一个交点为（3，0），则-1和3是方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；

D 、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D ．

考点：二次函数的性质． 4．C 【解析】

试题分析：根据图象可知：抛物线的的最大值是3，所以当y=3时，x=

2b a

-，所以方程ax 2

＋bx ＋

c=3有两个相等的实数根，即方程ax 2＋bx ＋c －3＝0有两个相等的实数根，故选：C. 考点：二次函数图象与一元二次方程的关系. 5．A 【解析】

试题分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的

关系，关于x 的分式方程a 12x -=-的解就是函数a

y 1x

-中，纵坐标y=-2时的横坐标x 的值。

根据图象可以得到：当y=-2时，x=-1。故选A 。

考点：反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系，数形结合思想的应用。

6．（1）

-----------1分，

y=2--x -----------1分（2）6

=?AOB

------2分

（3）-4或2------2分(缺一全扣) （4）204><<-x x 或------2分(缺一全扣)

【解析】（1）把(24)B -，代入中，得8-=m ，故反

所以A 点坐标为（-4,2），把A 点、B 点坐标代入一次函数，解得2,1-=-=b k ，故一次函数解析式为y=2--x 。

（2）C 点坐标为（-2,0），所以OC=2，△AOB 的

面积

（3

数交点的横坐标，故为-4或2 （4

值小于反比例函数的值，观察图像可知204><<-x x 或 7．（1）∵2

y a x b x c =++图象的顶点横坐标是4，

∴抛物线的对称轴为x=4，即b

42a

-=，化简得：b 8a 0

+=。

（2）∵二次函数2

y a x

b x c

=++与x 轴交于A （x 1，0）、

B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，

∴OA=－x 1，OB=x 2；1

b c x x x x a

+=-?=，。令x=0，得y=c ，∴C（0，c ），∴OC=|c|。由

三

角

函

数

定义

得

：

112

c c c

OC OC tan CAO tan CBO OA x x OB x ∠=

==-∠==-，。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=2，即1

c c

=2x x -- ，

化简得：

1212x x 1

x x c

+=-?。

将1212

b c

x x x a a

+=-?=，代入得：

2a c c a

-=-，化简得：c

b 2c

==±。由（1）知b 8a 0+=，

∴当b 2=时，1a 4=-；当b 2=-时，1

a 4

=。 ∴a 、b 的值为：1a 4= ，b 2=-或1a 4

=- ，b 2=。（3）①由（2）知，当1a 4

= ，b 2=-时，抛物线解析式为：2

y x 2x c

=-+。

联立抛物线2

1y x 2x c

4=-+与直线y 2x 3=+解析式得到：

1x 2x c 2x 34

-+=+，

化简得：2

16x 4c 120

-+-=。

∵二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0，即()25644c 120

?=--=，解得c =19。

∴抛物线解析式为：()2

y x 2x 19x 415

=-+=-+。

当x=4时，二次函数有最小值，最小值为15。

②由（2）知，当1a 4

=- ，b 2=时，抛物线解析式为：21

y x 2x c

=-++。

联立抛物线2

1y x 2x c

4=-++与直线y 2x 3=+解析式得到：

x 2x c 2x 34

-++=+，

化简得：2

124c 0

+-=。

∵二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0，即()204124c 0

?=--=，解得c =3。

∴抛物线解析式为：()2

y x 2x 3=x 47

=-++--+。

当x=4时，二次函数有最大值，最大值为7。

综上所述，若1a 4= ，b 2=-，c =19，二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时，二次函数的最小值为15；若1a 4=- ，b 2=，c =3，二次函数图象与直线y 2x 3=+仅有一个交点时，二次函数的最大值为7。【解析】

试题分析：（1）由题意可知抛物线的对称轴为

x=4，利用对称轴公式b

42a

-=，化简即得b 8a 0+=。（2）利用三角函数定义和抛物线与x 轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求a 、b 的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解：根据（2）分两种情况将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出c 的值，从而确定了抛物线的解析式，由抛物线的解析式确定其最值。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。

8．（1）当k=0时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点。

当k≠0时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，令y=0得()2

kx 2k 1x k 30-+++=．

()()22k 14k k 30k 0

??=?-+?-??+≥????≠??，解得k 1

k 0

≤??

≠?

。综上所述，k 的取值范围是k≤1。

（2）①∵x 1≠x 2，由（1）知k ＜1且k≠0。由题意得()21

1kx

2k 1x k 30

-+++=，即()21

k 32k 1x ++=+（*），

将（*）代入()21

kx 2k 1x k 34x x ++++=中得：()()1

2k 1x x 4x x ++=。

又∵x 1+x 2=()2k 1k +，x 1x 2=k 3k +，∴()()2k 1k 3

2k 14k k +++?=?，解得：k 1=﹣2，k 2=1（不合题意，舍去）。∴所求k 值为﹣2。 ②如图，∵k=﹣2，2

13y 2x 2x 12x 22?

?=-++=--+

?，且﹣

1≤x≤1，

由图象知：当x=﹣1时，y 最小=﹣3；当x=12

时，y 最大

=32

。 ∴y 的最大值为32，最小值为﹣3。【解析】

试题分析：（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x 轴有交点，则△≥0。（2）①根据()2

212

2k 1x k 34x x ++++=及根与系数的关系，

建立关于k 的方程，求出k 的值。

②充分利用图象，直接得出y 的最大值和最小值。

考点：抛物线与x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。

方程不等式与一次函数专题(实际应用)

方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用）题型一：方程、不等式的直接应用典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元．（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元．（1）求a ，b 的值；（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本）题型二：方案设计典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

一次函数与一次方程一次不等式

13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函数解读式为4． 1 / 7 ②当k

一次函数与方程和不等式的关系

一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2y2时，x的取值范围是（）． A．x>5 B．x<1 2 C．x<-6 D．x>-6 4．函数y=1 2 x-3与x轴交点的横坐标为（）． A．-3 B．6 C．3 D．-6 5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（）． A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 6.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（） A、x＜1 B、x＞1 C、x＜3 D、x＞3 7.直线l1：y=k1x+b与直线l1：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（） A、x＞﹣1 B、x＜﹣1 C、x＜﹣2 D、无法确定

8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4

一次函数与方程,不等式基础知识

一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。知识点睛

一、一次函数与一元一次方程综合【例1】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例4】已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3 2 x = 时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（） A ．5x > B ．1 2 x < C ．6x <- D ．6x >- 【例7】已知一次函数23y x =-+ 例题精讲

函数、方程、不等式之间的关系

很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。 ★函数与方程之间的关系。先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3 (,0)2 ，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数：例如函数2 252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程2 2520x x -+=的解。如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。有时候只需要作出大致图像即可。既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2 252y x x =-+对应的方程是2 2520x x -+=，先求出这个方程的两个解。很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为 1 2 和2。这样，根据函数

八年级数学一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义

一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。一、一次函数与一元一次方程综合【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 知识点睛中考要求例题精讲

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3 2 x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例4】当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．

函数方程不等式综合应用专题

2011年中考复习二轮材料函数、方程、不等式综合应用专题一、专题诠释函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。二、解题策略和解法精讲函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系 1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值． 2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax2－x－a，对称轴为x＝1 2a ． ①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝1 2a ＜0，

一次函数与方程(或不等式)结合的问题

一次函数与方程（或不等式）结合的问题一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所用的时间分别是_________；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），所以，解得所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。（3）由题意得，解得。；所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制

一次函数与方程不等式专项练习60题(有答案)

一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（）

A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________．

函数方程不等式之间的关系

? a及函数的图像图像与x 轴相交的情况对应方程的实数根对应不等式的解集图像上的最高（低）点单调区间及单调性极（最）值 0 >? > a 与x 轴有两个交点有两个不相等的实数根 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 2< + +c bx ax的解集是). , ( 2 1 x x x∈ 顶点是函数图像上的最低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）小值 a b ac 4 42 -0 < a 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( 2 1 x x x∈0 2< + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 顶点是函数图像上的最高点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为增函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为减函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）大值 a b ac 4 42 - 0 =? > a 与x 轴有一个交点有两个相等的实数根 2> + +c bx ax的解集是 . , 2 1 x x x x≠ ≠ 顶点是函数图像上的最低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）小值0

0a 与x 轴没有交点没有实数根 02>++c bx ax 的解集是 .R x ∈02<++c bx ax 的解集是空集. 顶点是函数图像上的最低点 )2,(a b x - -∞∈时为减函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为增函数 a b x 2- =时，函数有极（最）小值a b a c 442 - 0 ++c bx ax 的解集是空集. 02<++c bx ax 的解集是.R x ∈ 顶点是函数图像上的最高点 )2,(a b x - -∞∈时为增函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为减函数 a b x 2- =时，函数有极（最）大值a b a c 442 -