平面基本力系
第二章平面基本力系
平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系，是研究一切复杂力系的基础。本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
平面力系中，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，共点力系是汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力系作用，如图2.1a所示。根据力的可传性定理，可将各力沿其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系，如图2.1b所示。
图
为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力F R。用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较繁琐。
用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。任取一点a为起点，先作力三角形求出F1与F2的合力F R1，再作力三角形合成F R1与F3得F R2，最后合成F R2与F4得合力F R，如图2.1c所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。封闭边矢量ae 即表示此汇交力系的合力F R，合力的作用线仍通过原汇交点A，如图2.1b 中的F R。以上求汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。
若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2.1d所示。
结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点。即有
∑==+++=n i i n R F
F F F F 121
（2.1） 2. 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零，即 0
F F n 1i i R ==∑=
（2.2）
从几何角度看，汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力的起点重合，此时力多边形自行封闭。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何条件。
用几何法求解平面汇交力系平衡问题举例如下。
例2.1 支架的横梁AB 与斜杆CD 彼此以铰链联接，并以铰链联接在铅直墙壁上，如图2.2a 所示。已知AD=DB ；杆DC 与水平线成45°角，载荷F =10kN ，作用于B 处。设梁和杆的自重忽略不计，求铰链A 处的约束反力和杆DC 所受的力。
解：选取横梁AB 为研究对象。横梁在B 处受载荷F 作用。结构中DC 为二力杆，它对横梁D 处的约束反力为F D ，其作用线平行于DC 。铰链A 处的约束反力为F A ，其作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两个力的交点E ，如图2.2b 所示。
图
杆AB 处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何条件，作用在AB 上的三个力应构成一个自行封闭的力三角形。先按照一定比例画出力矢ab 代表F ，再由点b 作直线平行于F D ，由点a 作直线平行于F A ，这两直线相交于点c ，如图2.2c 所示。由力三角形abc 即可确定出F D 和F A 。
在力三角形中，线段ac 和bc 的长度分别表示力F A 和F D 的大小，量出它们的长度，按比例换算可得：F A =22.4kN ；F D =28.3kN 。或者通过三角函数关系求得F A 、F D 的大小。
根据作用与反作用关系，作用于杆DC 上的力F'D 与F D 互为反作用力。由此可知，杆DC 受压力作用，压力大小为F D =28.3kN 。
由上例可以看出，用几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题简单明了，对于三力平衡问题还可用三角函数关系求出其精确解。而对于多力平衡问题，用几何法难以求出其精确解，累积误差较大；对空间问题，更是难以作出力多边形。所以，在实际应用中多用解析法求解平面汇交力系的合成与平衡问题。
§2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力的投影及其求法
若已知力F 的大小为F ，它与x 、y 轴的夹角分别为α、β，则F 在x 、y 轴上的投影分别为 ???==ααs i n c o s F F F F y x
(2.3)
由上式可以看出，力在坐标轴上的投影是代数量。当力F 与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的指向与坐标轴正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影为零。力在坐标轴上的投影与力的大小和方向有关，而与力作用点或作用线的位置无关。
若已知力F 在直角坐标轴上的投影F x 、F y ，可以求出力F 的大小和方向为
?????=+=x y y x F F F F F αtg 2
2
（2.4）
式中α为力与x 轴的夹角。
必须指出，投影和分力是两个不同的概念。分力是矢量，投影是代数量；分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关；它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才与在同一坐标轴上投影的绝对值相等。
2. 合力投影定理
设刚体受F 1，F 2两个汇交力的作用，用力的平行四边形法则可求出其合力F R ，如图2.4a 所示。在其作用面内任取直角坐标系O xy ，并将力F 1，F 2及F R 分别向x 轴投影，根据合矢量投影定理可得 ???+=+=y y y R x x x R F F F F F F 2121
若刚体受F 1，F 2，…，F n 构成的汇交力系的作用，由汇交力系的合成结果有
∑=+++=i n 21F F F F F R
将上式分别向两个坐标轴上投影，可得
图2.3
图2.4
?????=+++==+++=∑∑iy ny y y Ry ix nx x x Rx F F F F F F F F F F 2121
（2.5）
上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。
既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，应注意坐标轴的选择，尽可能使运算简便。也就是说，选择投影轴时，应使尽可能多的力与投影轴垂直或平行。
3. 平面汇交力系合成的解析法
根据合力投影定理，分别求出合力在x 、y 轴的投影F Rx 和F Ry ，由投影与分力的关系可确定出合力沿x 、y 轴方向的分力分别为F Rx 、F Ry ，由图2.5可知，合力F R 的大小为
∑∑+=+=2
222)()(iy ix Ry Rx R F F F F F
（2.6） 合力的方向可由合力矢与x 轴的夹角α决定 ∑∑==ix
iy
Rx Ry
F F F F αtg （2.7）
4. 平面汇交力系的平衡方程
由上一节可知，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零。由式（2.6）可得 0)()(22=+∑∑iy ix F F
欲使上式成立，必须同时满足
?????==∑∑00iy ix F
F
（2.8）
即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时，
各力在两个坐标轴上投 图2.5
影的代数和同时为零。这就是平面汇交力系平衡的解析条件，式（2.8）称为平面汇交力系的平衡方程。
平面汇交力系有两个独立的平衡方程，能求解而且只能求解两个未知量，它们可以是力的大小，也可以是力的方位，但一般不以力的指向作为未知量，在力的指向不能预先判明时，可先任意假定，根据平衡方程进行计算，若求出的力为正值，则表示所假定的指向与实际方向一致；若求出的力为负值，则表示力的假定方向与实际指向相反。
例2.2 水平托架支承重量为W 小型化工容器，如图2.6a 所示。已知托架AD 长为l ，角度 45=α，又D 、B 、C 各处均为光滑铰链连接。试求托架
D 、B 处的约束反力。
解：（1）取研究对象 为了求托架D 、B 两处的约束反力，将容器与托架一起取作研究对象，如图2.6b 所示。
（2）画出受力图 由于杆BC 为二力杆，它对托架的约束反力F B 沿C 、B 两点的连线方向，与W 的作用线交于O 点，根据三力平衡汇交定理，D 处的约束反力F D 必通过O 点。作出受力图如图2.6b 所示。由几何关系很容易得到
52
c o s ;51s i n ;21c o s s i n ====??αα
（3）列平衡方程 三力作用线汇交于O 点，建立直角坐标系D xy 。根据平衡条件有
???=-+-=∑=+-=∑0sin sin ,00cos cos ,0W F F F F F F B D y B D x α?α?
（4）解方程组 求解以上方程组，并考虑到几何关系可得
图
2.6 ?????==W
F W F D B 522
例2.3 图2.7a 所示的压榨机构中，杆AB 和BC 的长度相等，自重忽略不计。A 、B 、C 处均为光滑铰链连接。已知活塞D 上受到油缸内的总压力为F =3kN ，h =200mm ，l =1500mm 。试求压块C 对工件与地面的压力，以及杆AB 所受的压力。
解：分析 根据作用与反作用关系，压块对工件的压力与工件对压块的约束反力F Cx 等值、反向。已知油缸的总压力作用在活塞上，因此要分别研究活塞杆DB 和压块C ，才能解决问题。
（1）选择活塞杆DB 为研究对象 设二力杆AB 、BC 均受压力。活塞杆的受力如图2.7b 所示。按图示坐标系列出平衡方程如下
???=-+=∑=-=∑0sin sin ,00
cos cos ,0F F F F F F F BC BA y BC BA x αααα
解得： kN 35.11sin 2===αF F F BC BA
（2）再选压块C 为研究对象 其受力如图2.7c 所示。由二力杆BC 的平衡可知BC CB F F =。按图示坐标系列平衡方程如下 ???=+-=∑=+-=∑0sin ,00cos ,0Cy CB y CB Cx x F F F F F F αα
图
解得 ???????=======kN kN ctg 5.12sin 25.1122cos F F F h Fl F F F CB Cy CB Cx ααα
压块C 对工件和地面的压力与F Cx 、F Cy 等值、反向。
所以，压块对工件和地面的压力分别为11.25kN 、1.5kN ，杆AB 所受压力为11.35 kN 。
例2.4 如图2.8a 所示，重为W =20kN 的物体，用钢丝绳挂在支架上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上，杆AB 与BC 铰接，并用铰链A 、C 与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
解：（1）取研究对象 由于忽略各杆的自重，AB 、BC 两杆均为二力杆。假设杆AB 承 受拉力，杆BC 承受压力，如图2.8b 所示。为了求这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来求解。因此，选择滑轮B 为研究对象。
（2）画受力图 滑轮受到钢丝绳的拉力F 1和F 2（F 1=F 2=W ）。此外杆AB 和BC 对滑轮的约束反力为F BA 和F BC 。由于滑轮的大小可以忽略不计，作用于滑轮上的力构成平面汇交力系，如图2.8c 所示。
（3）列平衡方程 选取坐标系B xy 如图2.8c 所示。为避免解联立方程组，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向，这样，一个平衡方程
中只有一个未知量，即 ?????=--=∑=-+-=∑030sin 60sin ,0030cos 60cos ,02121 F F F F F F F F BC y BA x 图
2.8
（4）解方程得 ???==-=-=kN kN 32.27366.1321.7366.0W F W F BC BA
所求结果中，F BC 为正值，表示力的实际方向与假设方向相同，即杆BC 受压。F BA 为负值，表示该力的实际方向与假设方向相反，即杆AB 也受压力作用。
§2.3 平面力对点之矩
力对刚体的效应除移动效应外还有转动效应。力对刚体的移动效应可用力在坐标轴上的投影来度量。那么，力对刚体的转动效应与那些因素有关，又如何度量呢？
1. 力对点之矩
如图2.9所示，当用扳手拧紧螺母时，力F 使螺母绕O 点的转动效应不仅与力F 的大小有关，而且还与转动中心O 到力F 作用线的距离h （力臂）有关。实践表明，转动效应随F 或h 的增大而增强，可用F ·h 来度量。此外，转动方向不同效应也不同。为了表示不同的转动方向，还应在乘积前冠以适当的正负号。
在平面问题中，为了度量力使刚体绕某点（矩心O ）的转动效应，将F ·h 冠以适当正负号所得的物理量称为力F 对O 点之矩，记作M O （F ），即
()h F M M O ?±==F
（2.9）
力对点之矩是一个代数量，其正负规定为：力使物体绕矩心逆时针转向时为正；反之为负。在国际单位制中，力矩的常用单位为牛顿·米（N ·m ）、牛顿·毫米（N ·mm ）或千牛顿·米（kN ·m ）。
必须指出，求力矩时，矩心的位置可以任意选定。但对绕支点转动的物图2.9
体，一般选择支点为矩心。
由力对点之矩的定义可知，力矩具有以下性质：
① 力矩的大小和转向与矩心的位置有关，同一力对不同矩心的矩不同。 ② 力作用点沿其作用线滑移时，力对点之矩不变。因为此时力的大小、方向未变，力臂长度也未变。
③ 当力的作用线通过矩心时，力臂长度为零，力矩亦为零。
2. 合力矩定理
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和。即
()()()()()
∑==+++=n i O O O O O M M M M M 1i n 21R F F F F F
该定理不仅适用于平面汇交力系，而且对任何有合力的力系均成立。 按合力的概念，合力矩定理不难理解。
3. 力对点之矩的求法
1）直接根据定义式（2.9）求力矩。这种方法的关键是求力臂h 的长度，需要特别注意的是：力臂是矩心到力作用线之间的垂直距离。
2）应用合力矩定理求力矩。用定义计算力矩时，有时力臂长度的计算比较繁琐，此时可将力分解为两个相互垂直的分力，分别求分力对矩心之矩，然后利用合力矩定理求原力对矩心之矩。采用这种方法时，应选择力臂长度容易确定的方向对原力进行分解，只有这样才能简化计算过程。
例 2.5 如图 2.10a 所示，直齿圆柱齿轮的压力角α=20°，法向压力F n =1400N ，齿轮节圆（啮合圆）直径D =60mm ，试求力F n 对轴心O 之矩。
图
解法一：用力对点之矩的定义求解 由图2.10a 可得 m 33
102.2820cos 21060cos 2cos --?=???==?=ααD r h
所以力F 对O 点之矩为
()m Ν48.39102.281400F 3?=??=?=-h F M n O 解法二：根据合力矩定理求解 先将力F n 分解为圆周力τF 和径向力F r ，如图2.10b 所示。由于径向力F r 通过矩心O ，所以径向力对O 之矩为零
()()()()m N ?=??==+=48.392cos F F F F τr τn D F M M M M O O O O α
由此可见，以上两种方法所得计算结果相同。
§2.4 平面力偶理论
1. 力偶与力偶矩
所谓力偶就是作用在同一物体上大小相等、方向相反、不共线的两个力组成的特殊力系，记作（F ，F '）。力偶中两个力作用线之间的垂直距离h 称为力偶臂。构成力偶的两个力所在的平面称为力偶作用面。
工程实际和日常生活中，司机用双手转动方向盘、钳工用双手转动丝锥攻螺纹时，双手所施加的都是力偶。如图2.11所示。
由于构成力偶的两个力不共线，所以不满足二力平衡条件。又构成力偶的两个力在任意轴上投影的代数和为零，所以力偶也不能对物体产生移动效应，只能对物体产生转动效应。而且力偶对物体的转动效应随力F 的大小和力偶臂的增大而增强，因此，可用二者的乘积h F ?冠以适当的正负号所得的物理量来度量力偶对物体的转动效应，称之为力偶矩，记作()F F ',M 或M ，
图
即
()h F M M ?±='=F F,
（2.10）
在平面力系中，力偶矩与力矩一样，也是代数量，用正负号表示力偶的转向，其正负规定与力对点之矩的正负规定相同，即使物体逆时针转动规定为正，顺时针转动规定为负。力偶矩单位与力矩单位相同，亦为牛顿·米（N ·m ）、牛顿·毫米（N ·mm ）或千牛顿·米（kN ·m ）。
力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和转向，而与力偶作用位置无关。
2. 力偶的性质
根据力偶的概念可以证明力偶具有如下性质：
1）构成力偶的两个力在任意轴上投影的代数和为零，即力偶无合力。
也就是说：力偶既不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。力和力偶是组成力系的两个基本要素。
2）力偶对作用面内任意一点之矩恒等于该力偶的力偶矩，而与矩心的
位置无关。
证明：如图2.12所示。（F ，F'）是一个力偶，其力偶臂为h ，在其作用面内任意取一点O 为矩心，设O 与F 作用线之间的距离为x 。显然，力偶使物体绕O 点的转动效应，可以用力偶中的两个力使物体绕O 点转动效应之和来度量，即
()()()()M h F h F h x F x F M M M O O O =?=?'=+'+?-='+='F F F F ,
这表明，力偶对其作用面内任意一点之矩均等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。
3）力偶对刚体的效应完全取决于力偶矩的大小和转向。
所以力偶在其作
图图
2.13
用面内可以任意搬移、旋转，不会改变它对刚体的效应。
4）在保持力偶矩大小和转向不变的情况下，可同时改变力偶中力的大小
和力偶臂的长短，不会改变它对刚体的效应。
以上力偶的性质仅适用于刚体，而不适用于变形体。
在平面力系中，由于力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和转向，所以，只有力偶矩才是力偶作用效应的唯一度量。因此，在表示力偶时，没有必要表明力偶的具体位置以及组成力偶的力的大小、方向和力偶臂的值，仅用一个带箭头的弧线来表示转向，并标出力偶矩的数值即可，如图
2.13所示。
3. 平面力偶系的合成与平衡条件
设在同一个平面内有两个力偶（F 1，F'1）和（F 2，F'2），它们的力偶臂分别为h 1和h 2，如图2.14所示。这两个力偶的矩分别为M 1和2M ，现将它们进行合成。为此，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变两个力偶中力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长h ，并将它们在其作用面内转动、移动，使力的作用线重合，如图2.14b 所示。于是得到与原力偶等效的两个新力偶（F 3，F'3）和（F 4，F'4）。F 3和F 4的大小为： h M F h M F 2
413,-==
分别将作用在A 、B 两点的力合成得：43F F F -=，43F F F '-'='。于是F ，F'构成了一个与原力偶系等效的合力偶（F ，F'），如图2.14c 所示。合力偶的矩为
()214343M M h F h F h F F h F M +=?-?=?-=?=
即合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
对于由两个以上的力偶构成的力偶系，同样可以按照上述方法合成。结论：同平面内任意多个力偶构成的力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 ∑==+++=n
i i
n M M M M M 121 （2.11）
图2.14
由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶之矩必为零。因此平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和为零，即 ∑==n i i M
10 （2.12） 例2.6 某多头钻床工作时，作用在工件上的三个力偶如图2.15所示。已知三个力偶的力偶矩分别为：M 1=M 2=10N ·m ，M 3=20N ·m ；固定螺柱A 和B 之间的距离为l =200mm ，求两个光滑螺柱所受的水平力。
解：选择工件为研究对象。工件在水平面内受三个力偶和两个螺柱的水平反力作用。根据力偶系的合成结果，三个力偶合成后仍为一力偶，如果工件平衡，必有一相应力偶与其平衡。因此，螺柱A 和B 的水平反力F A 和F B 必构成一力偶，假设力的方向如图所示，则F A =F B ，由力偶系的平衡条件可知
∑=?-++=0,0321l F M M M M A
代入已知数值后可解得 N 200321=++=l M M M F A
因为F A 是正值，故所假设的方向是正确的，而螺柱A 、B 所受的力与F A 、F B 互为反作用力。
例2.7 图2.16a 所示机构的自重不计。圆轮上的销子A 可在摇杆BC 上的光滑导槽内滑动。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M 1=2kN ·m ；销子A 到轮心的距离为OA=r =0.5m ，图示位置时OA 与OB 垂直，α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC 上的平衡力偶矩M 2及铰链O 、B 处的约束反力。
图
2.15
解：（1）以圆轮为研究对象 其上受矩为M 1的力偶及光滑导槽对销子A 的作用力F A 和铰链O 处的约束反力F O 的作用。由于力偶必须用力偶来平衡，因而F A 与 F O 必构成一力偶，力偶矩转向与M 1相反，由此即可确定出F A 指向如图2.16b 所示。而F A 与 F O 等值且反向，由力偶系的平衡方程
0sin ,01=-=∑αr F M M A (a )
（2）以摇杆BC 为研究对象 其上作用有矩为M 2的力偶及力A
F '与F B ，如图2.16c 所示。
同理A
F '与F B 必组成力偶，由力偶系的平衡条件有 0,02='+-=∑αr F M M A
(b )
其中A
A F F '=。由式（a ）和（b ）可得 m kN ?==8412M M kN 830sin 1==== r M F F F A
B O
各力方向如图2.16b 、c 所示。
小 结
1. 平面汇交力系的简化与平衡
1）平面汇交力系的简化结果：平面汇交力系的简化结果为一合力，合力作用线通过汇交点。平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和。 ∑==+++=n
i R 1i
n 21F F F F F
图
2.16
2）合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。
3）平面汇交力系合成的解析法
???∑=+++=∑=+++=iy ny y y Ry ix nx x x Rx F F F F F F F F F F 2121 ()()2
222iy ix Ry Rx R F F F F F ∑+∑=+= ix iy Rx Ry
F F F F tg ∑∑==α
4）平面汇交力系的平衡方程
?????==∑
∑00y x F F
2. 平面力对点之矩
1）力对点之矩的概念 力的大小与力臂的乘积冠以适当的正负号称为力对点之矩，它是力使物体绕矩心转动效应的度量，其值与矩心的位置及力的大小有关。
2）力对点之矩的求法
a) 由定义式求
()h F M O ?±=F
b) 用合力矩定理求
()()∑=i R F F O O M M
3. 平面力偶系的简化与平衡
1）力偶的概念：作用在同一物体上大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力组成的特殊力系称为力偶。它对物体只有转动效应而无移动效应。其三要素是力偶矩的大小、转向和力偶作用面的方位。
2）力偶矩：力偶中力的大小与力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，它是力偶对物体转动效应的度量，其大小与矩心的位置无关。
3）力偶的性质：
a) 力偶在任意轴上的投影恒等于零，力偶无合力，不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。
b) 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于其力偶矩，而与矩心的位
置无关。
c) 三要素相同的力偶彼此等效，因此力偶可以在其作用面内任意移动或转动，在不改变力偶矩的大小和转向的前提下，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度。
4) 平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶之矩等于各分力偶矩的代数和。
i n M M M M M ∑=+++= 21
5) 平面力偶系的平衡条件为各分力偶之矩的代数和为零，即
0=∑i M
思 考 题
2.1 图中所示两个力三角形中三个力的关系是否相同？
2.2 三个不为零的力汇交于一点，但不共面，这三个力有可能构成平衡力系吗？
2.3 输电线跨度l 相同，电线下垂量h 越小，电线越易于拉断，为什么？
2.4 “因为力偶在任意轴上投影恒等于零，所以力偶的合力为零。”这种说法对吗？
2.5 刚体上A 、B 、C 、D 四点恰好为一平行四边形的四个顶点，如在这四
点上各有一个作用力，此四力沿平行四边形的四个边，恰好组成封闭的力多边形，如图所示。问此刚体能否平衡？若使F 1与1F '均反向，此刚体能否平衡？
2.6 由力偶理论可知，“力偶不能用力来平衡”。如图所示，在轮子上作用有
力偶M 和重力W ，轮子处于平衡状态，此时能否说“M 和W 相平衡”呢？
思思
2.5
2.7 如图所示的四连杆机构，不计杆的自重，M 1与M 2等值。此机构能否平
衡？
2.8 起吊重物时，若悬挂点不在物体重心的正上方会出现什么结果？为什
么？ 习 题
2.1 五个力作用于同一点，如图所示。图中方格的边长为10mm ，求此力系的合力。
2.2 重为W =2kN 的球搁在光滑的斜面上，用一绳拉住。已知绳子与铅直墙壁的夹角为30°，斜面与水平面的夹角为15°，求绳子的拉力和斜面对球的约束反力。
2.3 工件放在V 形铁内，如图所示。若已知压板的压紧力F =400N ，不 题
2.1 题2.2
思
思2.6
计工件自重，求工件对V 形铁的压力。
2.4 AC 和BC 两杆用铰链C 连接，两杆的另一端分别铰支在墙上，如图所示。在C 点悬挂一重W ＝10kN 的物体。已知AB=AC=2m ，BC=1m 。如杆重不计，求两杆所受的力。
2.5 图示简支梁受F =20kN 的集中载荷作用，求a ）、b ）两种情况下A 、B 两处的约束反力。
2.6 在图示刚架的点B 作用一水平力F ，刚架重量略去不计，求支座A 、D 的反力F A 和F D 。
2.7 电动机重W =5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。梁的A 端以铰链连接，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30°。如果忽略梁和撑杆的重量，求撑杆BC 的内力及铰支座A 处的约束反力。
题
2.5
题2.3
题
2.4
2.8 重为W 的均质圆球放置在板AB 与墙壁之间，D 、E 两处均为光滑接触，尺寸如图所示。设板AB 的重量不计，求A 处的约束反力及绳BC 的拉力。
2.9 图为一夹紧机构的示意图。已知压力缸直径d =120mm ，压强p =6MPa 。设各杆的重量及各处的摩擦忽略不计，试求在α=30°位置时所能产生的压紧力F 。
2.10 试计算下列各图中力F 对O 点的矩。
2.11 已知梁AB 上作用一力偶，力偶矩为M ，梁的跨度为a ，梁的自重 题
2.10
题题
2.9
题题 2.7
第二章平面力系习题解答
习 题 2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。 图2-55 (a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F (e) βsin )(2 2b l F M O +=F (f) )()(r l F M O +=F 2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。 图2-56 m N 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50?=?=???=? ??-???=R R M O m N 075.17825.1025.630cos 50?=+=??+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50?=+=??+=R M M O B 2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。(1)当?=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。 图2-57 (1)当?=75θ时，（用两次简化方法） m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80?=?=+=???+???=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理 )13.53sin(250 sin 30θθ-?= 08955.03 /2513.53cos 13.53sin tan =+??=θ ?=117.5θ (3) ?=?+?=117.95117.590θ 2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。 图2-58 kN 64.1615 110345cos kN 64.4375210145cos 321R 321R -=+-?-=∑='-=--?-=∑='F F F F F F F F F F y y x x
平面任意力系
第三章平面任意力系 一、目的要求 1?掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2?深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3?能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 4?正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 二、基本内容 1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 2?平面力系的简化 步骤如下： ①选取简化中心0:题目指定点或自选点(一般选在多个力交点上) ②建立直角坐标系Oxy ③主矢：平面力系各力的矢量和，即 n n n F R’ 八F j = \ Xj \ Y j i =1i# i 二 其中 F Rx=^[ 大小：F R = J/)2 +0丫)2 , 丿 F Ry = 工丫丿方向:tan。=竺 - 也x| 其中：为F R与x轴所夹锐角，所在象限由工X、工丫符号确定，并画在简化中 心0上。 主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即 n n M。》M o(F i)? (xY -y i X i) i =1i =1
一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选
取有关。 ④ 简化结果讨论 I a. 若F R =0, M o :平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力 偶，其力偶矩用主矩M 。度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 I b. 若F R =0, M 。=° :平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力 F R ， 且有F R =F R 。 I c. 若F R =°，M 。:平面力系简化结果为一合力F R ,其大小、方向与主 矢相同，作用线在距简化中心0为 丨F R I 处。 I d. F R M 。=0，则该力系为平衡力系。 3 ?平面力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主 矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。 1) 基本形式 ZX =0 * 龙丫 =0 |!M o (F )=0 2) 二矩式 3) 三矩式 饷 A (F )=0 ZM B (F )=0 I M C ( F )=0 特殊力系的平衡方程 1)共线力系：丐=0 fix =0 QY =0 ZM A (F )=0 ZM B (F )=0 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线 2)平面汇交力系:
第四章平面一般力系
第4章平面一般力系 1、图示平面机构，正方形平板与直角弯杆ABC 在C 处铰接。平板在 板面内受矩为M=8N ·m 的力偶作用，若不计平板与弯杆的重量，则当系统平衡时，直角弯杆对板的约束反力大小为( C )。 2 2 2、悬臂梁承受均匀分布载荷，支座A 处的反力有四种结果，正确的是( B )。 =ql, M A =0 =ql, M A =21 q l 2 =ql, M A =q l 2 =ql, M A =31 q l 2 3、图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座 A 对系统的约束反力为（ C ）。 ，方向水平向右
B.2F ，方向铅垂向上 22 ，方向由A 点指向C 点 22 ，方向由A 点背离C 点 4、图示平面直角弯杆ABC ，AB=3m ，BC=4m ，受两个力偶作用，其力偶矩分别为M 1=300N ·m 、M 2=600N ·m ，转向如图所示。若不计杆重及各接触处摩擦，则A 、C 支座的约束反力的大小为（ D ）。 =300N ，F C =100N =300N ，F C =300N =100N ，F C =300N =100N ，F C =100N 5、力系向某点平移的结果，可以得到( D )。 A.一个主矢量 B.一个主矩 C.一个合力 D.一个主矢量和一个主矩 6、平面一般力系向一点O 简化结果，得到一个主矢量R ′和一个主
矩m0，下列四种情况，属于平衡的应是( B )。 ′≠0 m0=0 ′=0 m0=0 ′≠0 m0≠0 ′=0 m0≠0 7、以下有关刚体的四种说法，正确的是( D )。 A.处于平衡的物体都可视为刚体 B.变形小的物体都可视为刚体 C.自由飞行的物体都可视为刚体 D.在外力作用下，大小和形状看作不变的物体是刚体 8、力的作用线都相互平行的平面力系称（D ）力系。 A.空间平行B：空间一般 C：平面一般D：平面平行 9、力的作用线既不汇交于一点，又不相互平行的力系称（B ）力系。A：空间汇交B：空间一般C：平面汇交 D：平面一般 10、平面力偶系合成的结果是一个（B ）。 A：合力B：合力偶C：主矩D：主矢和主矩 11、平面汇交力系合成的结果是一个（A ）。 A：合力B：合力偶C：主矩D：主矢和主矩12、平面平行力系合成的结果是（D ）。
平面任意力系习题
第3章 平面任意力系习题 一.是非题（对画√，错画×） 1.平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时，则力系一定简化一个力偶。（ ） 2.平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =，力系总可以简化为一个力。（ ） 3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。（ ） 4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。（ ） 5.作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。（ ） 6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭，则该力系一定平衡。（ ） 7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。（ ） 8.求平面任意力系的平衡时，每选一次研究对象，平衡方程的数目不受限制。（ ） 9.桁架中的杆是二力杆。（ ） 10.静滑动摩擦力F 应是一个范围值。（ ） 二.填空题（把正确的答案写在横线上） 11.平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M ， 其限制条件 。 12.题3-12图平面力系，已知：F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ，a 为三角形边长，如以A 为简化中心，则最后的结果其大小 ，方向 。 13.平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外，力系向 简化其主矩不变。 14.平面任意力系三种形式的平衡方程： 、 、 。 15.判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 三.简答题 16.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何？（可能是一个力？可能是一个力偶？或者是一个力和一个力偶？） 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
第2章平面简单力系习题
第2章 平面简单力系习题 1.是非题（对画√，错画×） 2-1.汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。（ ） 2-2.两个力F 1、F 2在同一轴上的投影相等，则这两个力大小一定相等。（ ） 2-3.力F 在某一轴上的投影等于零，则该力一定为零。（ ） 2-4.合力总是大于分力。（ ） 2-5.平面汇交力系求合力时，作图的力序可以不同，其合力不变。（ ） 2-6.力偶使刚体只能转动，而不能移动。（ ） 2-7.任意两个力都可以合成为一个合力。（ ） 2-8.力偶中的两个力在其作用面内任意直线段上的投影的代数和恒为零。（ ） 2-9.平面力偶矩的大小与矩心点的位置有关。（ ） 2-10.力沿其作用线任意滑动不改变它对同一点的矩。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 2-11.作用在刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，其中两个力汇交于一点，则第三个力的作用线 。 2-12.力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的 。 2-13.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-14.不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接如图所示，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小 ，方向 。 2-15.用解析法求汇交力系合力时，若采用的坐标系不同，则所求的合力 。（ ） 2-16.力偶是由 、 、 的两个力组成。 2-17.同平面的两个力偶，只要 相同，则这两个力偶等效。 2-18.平面系统受力偶矩M =10kN.m 的作用，如图所示，杆AC 、B C 自重不计，A 支座约 题2-13图 题2-14图
平面任意力系习题
第3章 平面任意力系习题 1、就是非题(对画√,错画×) 3-1、平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时,则力系一定简化一个力偶。( ) 3-2、平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =,力系总可以简化为一个力。( ) 3-3、平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。( ) 3-4、平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。( ) 3-5、作用在刚体上的力可以任意移动,不需要附加任何条件。( ) 3-6、作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭,则该力系一定平衡。( ) 3-7、平面任意力系向任意点简化的结果相同,则该力系一定平衡。( ) 3-8、求平面任意力系的平衡时,每选一次研究对象,平衡方程的数目不受限制。( ) 3-9、桁架中的杆就是二力杆。( ) 3-10、静滑动摩擦力F 应就是一个范围值。( ) 2、填空题(把正确的答案写在横线上) 3-11、平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M , 其限制条件 。 3-12、题3-12图平面力系,已知:F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ,a 为三角形边长,如以A 为简化中心,则最后的结果其大小 ,方向 。 3-13、平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外,力系向 简化其主矩不变。 3-14、平面任意力系三种形式的平衡方程: 、 、 。 3-15、判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 3、简答题 3-16、平面汇交力系向汇交点以外一点简化,其结果如何？(可能就是一个力？可能就是一个力偶？或者就是一个力与一个力偶？) ,则此力系的最终结果就是什么？ 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
第四章平面一般力系
第4章平面一般力系 1、图示平面机构,正方形平板与直角弯杆ABC在C处铰接。平板在板面内受矩为M=8N·m得力偶作用,若不计平板与弯杆得重量,则当系统平衡时,直角弯杆对板得约束反力大小为( C )。 A、2N B、4N C、2N D、4N 2、悬臂梁承受均匀分布载荷,支座A处得反力有四种结果,正确得就是( B )。 A、R A=ql, M A=0 B、R A=ql, M A=q l2 C、R A=ql, M A=q l2 D、R A=ql, M A=q l2 3、图示平面结构,由两根自重不计得直角弯杆组成,C为铰链。不计各接触处摩擦,若在D处作用有水平向左得主动力,则支座A对系统得约束反力为( C )。 A、F,方向水平向右 B、,方向铅垂向上 C、F,方向由A点指向C点 D、F,方向由A点背离C点 4、图示平面直角弯杆ABC,AB=3m,BC=4m,受两个力偶作用,其力偶矩分别为M1=300N·m、M2=600N·m,转向如图所示。若不计杆重及各接触处摩擦,则A、C支座得约束反力得大小为( D )。 A、F A=300N,F C=100N B、F A=300N,F C=300N
C、F A=100N,F C=300N D、F A=100N,F C=100N 5、力系向某点平移得结果,可以得到( D )。 A、一个主矢量 B、一个主矩 C、一个合力 D、一个主矢量与一个主矩 6、平面一般力系向一点O简化结果,得到一个主矢量R′与一个主矩m0,下列四种情况,属于平衡得应就是( B )。 A、R′≠0 m0=0 B、R′=0 m0=0 C、R′≠0 m0≠0 D、R′=0 m0≠0 7、以下有关刚体得四种说法,正确得就是( D )。 A、处于平衡得物体都可视为刚体 B、变形小得物体都可视为刚 体 C、自由飞行得物体都可视为刚体 D、在外力作用下,大小与形状瞧作不变得物体就是刚体 8、力得作用线都相互平行得平面力系称(D )力系。 A、空间平行 B:空间一般 C:平面一般 D:平面平行 9、力得作用线既不汇交于一点,又不相互平行得力系称(B )力系。A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交 D:平面一般 10、平面力偶系合成得结果就是一个(B )。 A:合力 B:合力偶 C:主矩 D:主矢与主矩
平面任意力系习题
第三章 习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是：
取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A点的主矩是：
向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题3－3．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核：
结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题3－4．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
平面一般力系(1)
平面一般力系（1）班级 姓名 学号 一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、力系的主矢量是力系的合力。 （ ） 2、若一平面力系向A ，B 两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。 （ ） 3、首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。 （ ） 4、力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。 （ ） 5、当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关。 （ ） 二、选择题（将答案的序号填入划线内。） 1、将平面力系向平面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则该力系简化的最后结果为-----------。 ①一个力； ②一个力偶； ③平衡。 三、计算题 1、图示平面任意力系中2401=F N ，N 802=F ，N 403=F ， N 1104=F ，mm N 2000?=M 。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单 位为mm 。求：（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力并在图中标出作用 位置。 2、某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力kN 19401=F ，kN 8002=F ，水平力 kN 1933=F ，桥墩重量kN 5280=P ，风力的合力kN 140=F 。各力作用线 位置如图所示。求力系向基底截面中心O 的简化结果；如能简化为一合力，求合力作用 线位置并在图中标出。
（平衡问题求解步骤：①取研究对象画受力图；②列平衡方程；③解方程得力的大小，说明力的方向） 3、起重机的铅直支柱AB 由止推轴承B 和径向轴承A 支持。起重机上有载荷1P 和2P 作用,它们与支柱的距离分别为a 和b 。如A 、B 两点间的距离为c ，求轴承A 和B 的约束力。 4、在图示刚架中，已知kN/m 3=m q ，26=F kN ，m kN 10?=M ，不计刚架自重。求固定端A 处的约束力。
土木工程力学教案——平面一般力系的简化
平面一般力系的简化 平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，图4－1所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力X A、Y A、Y B，这些力组成平面一般力系。 在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。例如，图4－2（a）所示的重力坝，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m 的堤段来考虑，它所受到的重力、水压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如图4－2（b）所示。 第一节力的平移定理 上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。 设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为 m= Fd = ) M (O F 这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶
力学平面力系习题培训资料
第一、二章力和受力图、平面力系的合成与平衡测试卷 一、单项选择题(每题2分，共14分) 1. 对于力偶，下列说法正确的是() A. 由于力偶没有合力，因此，该力偶作用于物体上，可使物体平衡 B. 力偶能用一个力来平衡 C. 力偶只能用力偶来平衡 D. 力偶对物体的作用效果与力矩是一样的 2. “力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零”是平面汇交力系平衡的() A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关系 3. 只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称________支座。() A. 固定铰 B. 可动铰 C. 固定端 D. 光滑面 4. 只限制物体垂直于支承面方向的移动，不限制物体向其他方向运动的支座称________支座。() A. 固定铰 B. 可动铰 C. 固定端 D. 光滑面 5. 既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称________支座。() A. 固定铰 B. 可动铰 C. 固定端 D. 光滑面 6. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的________为零。() A. 合力 B. 合力偶 C. 主矢 D. 主矢和主矩 7. 平面平行力系合成的结果是() A. 合力 B. 合力偶 C. 主矩 D. 主矢和主矩 二、判断题(每题1分，共10分) 1. 物体的平衡状态是指物体相对于地球保持静止的状态。() 2. 作用力与反作用力总是一对等值、反向、共线的力。() 3. 因作用力与反作用力大小相等，方向相反，且沿着同一直线，所以作用力与反作用力是一对平衡力。() 4. 在同一平面内的两个力偶，只要力偶矩大小相等，则这两个力偶等效。() 5. 在研究物体的运动效应时，作用在物体上的分布荷载可由集中力来代替。() 6. 光滑接触面的约束反力一定通过接触点，垂直于光滑面的压力。() 7. 两个力在坐标轴上投影相等，则这两个力一定相等。() 8. 力偶可以用一个合力来平衡。() 9. 平面一般力系简化中，主矢为零，主矩不为零，则该主矩的计算与简化中心有关。() 10. 两个分力的夹角越小，合力也越小。() 三、填空题(每空1分，共25分) 1. 在分析物体受力时，必须分清哪个物体是________，哪个物体是________。 2. 力的三角形的矢量规则必须是：分力F1和F2沿环绕三角形边界的某一方向________，而合力R则从________________。 3. 力的分解是力的合成问题的____________，也是以____________________为依据的，即以______________为已知力，________代表分力。 4. 应用力多边形法则求合力时，合力的指向是从第一个分力的________点，指向最后一个分力的________点。 5. 平面一般力系向作用面内的任一点O简化，就分解成了________和________两个力系。 6. 使物体产生运动或产生运动趋势的力称________________。 7. 力垂直于某轴，则力在该轴上投影为________________。 8. 力偶在坐标轴上的投影的代数和为________________。 9. 力偶的三要素是________、________、________。 10. 平面一般力系的三力矩形式平衡方程的附加条件是________________________。
2第二章 力系的简化和平衡方程习题+答案
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
平面任意力系习题学习资料
第3章 平面任意力系习题 1.是非题（对画√，错画×） 3-1.平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时，则力系一定简化一个力偶。 （ ） 3-2.平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =，力系总可以简化为一个力。 （ ） 3-3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。（ ） 3-4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。（ ） 3-5.作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。（ ） 3-6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭，则该力系一定平衡。（ ） 3-7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。（ ） 3-8.求平面任意力系的平衡时，每选一次研究对象，平衡方程的数目不受限制。（ ） 3-9.桁架中的杆是二力杆。（ ） 3-10.静滑动摩擦力F 应是一个范围值。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 3-11.平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M ， 其限制条件 。 3-12.题3-12图平面力系，已知：F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ，a 为三角形边长，如以A 为简化中心，则最后的结果其大小 ，方向 。 3-13.平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外，力系向 简化其主矩不变。 3-14.平面任意力系三种形式的平衡方程： 、 、 。 3-15.判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 3.简答题 3-16.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何？（可能是一个力？可能是一个力偶？或者是一个力和一个力偶？） 题3-21图 ' 题3-22图 (2) (1) C 5KN
平面力系合成与平衡习题0
平面力系合成与平衡习题 1、判断题： （1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。（） （4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。（） （5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。（） （6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。（） （8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。（） （9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。 （10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。（） （11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。（） 2、填空题： （1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 （2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 （3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 （5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 （6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 （7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 （8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。（9）建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。 （10）平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式，但不论哪种形式的独立方程应为______个。 （11）平面平行力系的平衡方程，也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程，但
平面一般力系的平衡作业及答案
平面一般力系的平衡作业 及答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
平面一般力系的平衡 一、判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（） 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（） 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度轴，那么Σ=0。（）
图 3 图 4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（） 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（） 图 7 图 8
9.图8所示梁，若求支反力时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。（） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（） 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（） 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx＝0，∑M A＝0，∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同
平面一般力系的平衡作业及答案
平面一般力系的平衡作业及答案 平面一般力系的平衡 一、判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（） 图1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（） 图2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度轴，那么 Σ=0。（）
图3图4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（） 图5图6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（） 图7图8 9.图8所示梁，若求支反力时，用平面一般力系的平衡方程不能
全部求出。（） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（） 图9图10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（） 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M＝Fa（）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx＝0，∑M A ＝0，∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。 这说明（）。
九、 平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程 的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩 形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点 A 、B 及 X 轴，如图 4－13 所示，可以证明 平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 X =0 M A = 0 M B = 0 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化， 一般可得到过A 点的一个力 和一个力偶。若M A = 0成立，则力系只能简化为通过 A 点的合力R 或成平 衡状态。如果M B = 0又成立，说明 R 必通过 B 。可见合力 R 的作用线必 为AB 连线。又因 X = 0成立，则R X =X =0，即合力R 在X 轴上的投 影为零，因 AB 连线不垂直 X 轴，合力 R 亦不垂直于 X 轴，由 R X =0可推 得R = 0 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向 A 点简化，其 主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A 、B 、C ，如图 4－14 所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即 （4－6）
M A = 0 M B = 0 M = 0 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若M A =0和M B = 0成立，则力系合成结果只能 是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果 M C = 0也成立， 则合力必然通过 C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除 非合力为零，M C = 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论 采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第 四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例 4－7】 某屋架如图 4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 P 1 = 3kN ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力P 2 =7kN ，P 2与BC 夹角 轴，如图 4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 X = 0 X -P cos70 = 0 X =P cos70 = 7 0.342= 2.39kN M =0 Y 16-4P -P sin 7012 + P cos70 4 tan30 = 0 4－7） 为80 ，试求 A 、B 支座的反力。