2019学年浙江省第一次五校联考 数学(理科)

2019学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）

参考公式：

如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） V =Sh

如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =

3

1Sh

次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n （k ）=C k

n p k （1－p ）n -k （k = 0,1,2,…, n ） 球的表面积公式 棱台的体积公式

S = 4πR 2 )2211(3

1S S S S h V ++=

球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,

V =

3

4πR 3

h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题

目要求的。

1．若全集U=R,集合M ＝{

}

2

4x x >，N ＝301x x

x ?-?

>??+??

，则()U

M

N e等于

A ．{2}x x <-

B ．{23}x x x <-≥或

C ． {3}x x ≥

D ．{23}x x -≤<

2．已知α∈（2π,π），sin α=53,则tan （4π

α-）等于

A ． －7

B ． － 71

C ． 7

D ．7

1

3．若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，

则a 的取值范围是

A ．()1,2-

B ．()4,2-

C ．(]4,0-

D ．()2,4-

0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001

400025001000月收入（元）

频率/组距

4．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成120 角， 且12,F F 的大小分别为1和2，则有

A ．13,F F 成90角

B ．13,F F 成150角

C ．2

3,F F 成90角 D ．23,F F 成60角 5．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于

2

π

，若将函数 ()y f x =的图象向左平移

6

π

个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 A ．(,0)3π- B ． (,)44ππ- C ． (0,)3

π

D ．(,)

43ππ 6．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}

()1Q x f x =<-，

若

“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是

A ．0t ≤

B ．0t ≥

C ．3t ≤-

D ．3t ≥-

7．已知函数()2x

f x =的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]1,4，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的 运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

8．已知数列：1213214321

,,,,,,,,,,...,1121231234

依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2012a 满足

A ．20121010a <<

B ．20121

110

a ≤< C ．2012110a ≤≤ D ．201210a >

9．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有

A ．576

B ．720

C ．864

D ．1152 10．已知3

21()3

f x x x ax m =

-++，其中0a >，如果存在实数t ,使()0f t '<， 则21

(2)()3

t f t f +''+?的值

A ．必为正数

B ．必为负数

C ．必为非负

D ．必为非正

非选择题部分 （共100分）

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。 11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了

10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年 龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人 中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查， 则在［2500，3000）（元）月收入段 应抽出 ▲ 人．

12．已知∈m R ，复数

i

i

m +-1为纯虚数（i 为虚数单位）， 则=m ▲ ．

13．如右图程序框图，输出s= ▲ ． （用数值作答）

14．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(，

若41=a ，72=a ，则a 的值为 ▲ ． 15．设关于x 的不等式4|4|2

+≤+-x m x x 的

解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的 取值范围是 ▲ ．

16、已知向量()1,1sin θ=+a ，()1,cos θ=b ，

4

2

π

π

θ≤≤

，则?a b 的取值范围是 ▲ ．

17．已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+2

11,2

1，

用[x]表示不超过x 的最大整数，

则122012111

111a a a ??

++

+??+++??

的值等于 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分14分）

在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3

c C π

==

．

（Ⅰ）若ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

19．（本小题满分14分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分14分）

若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *

∈．

数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．

（Ⅰ）求n a 和n T ；

（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；

若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分15分）

线段4||=BC ，BC 中点为M ，点A 与B ，C 两点的距离之和为6，设y AM =||，x AB =||． （Ⅰ）求)(x f y =的函数表达式及函数的定义域；

（Ⅱ）设1-+=x y d ，试求d 的取值范围． 22．（本小题满分15分）

设x m =和x n =是函数2

1()ln (2)2

f x x x a x =+

-+的两个极值点，其中m n <，a R ∈． （Ⅰ） 求()()f m f n +的取值范围； （Ⅱ）

若2a ≥

，求()()f n f m -的最大值． 注：e 是自然对数的底数．

2019学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）答案

一．选择题：

1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．A ．5．D ． 6．C ． 7．C ． 8．A ． 9．C ． 10．B ． 二．填空题：

11．25；12．1m =；13．91； 14．1

2；15．)2,4[--；16

．???

?；17．1．

三．解答题：

18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

2

4a b ab +-=，

又因为ABC △

，所以

1

sin 2

ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =．

故ABC △为等边三角形。……………………..6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A =， …………8分 若cos 0A =，则2

A π

=

，由2,3

c C π

==

，得3

b =

， 所以ABC △

的面积12S bc =

=………………………….11分 若cos 0A ≠，可得sin 2sin B A =，由正弦定理知2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得3a =

3b =．

所以ABC △

的面积1sin 23

S ab C =

=．………………………….14分 19．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事

件B ．由于事件A

B ，相互独立，且23241()2

C P A C ==，2

4262

()5

C P B C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为121

()()()255

P A

B P A P B ==?=··．…………4分 （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件

C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件

D ．由于事件C D ，互斥，

且21132422464()15C C C P C C C ==··，12

3422

461

()5

C C P

D C C ==·．………………8分 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417

()()()15515

P C D P C P D +=+=

+=． （Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ）

，（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7

(1)15

P ξ==， 1

3224611

(3)30

C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．

ξ的分布列为

………………………………12分

ξ的数学期望17317

012351510306

E ξ=?+?+?+?=．…………………………14分

20．解：（Ⅰ）在2

21n n a S -=中，令1,2n =，解得11,2a d ==，…………2分

从而21n a n =-，11122121n b n n ??

=

- ?-+??

，

于是11111

112335212121n n T n n n ????????=

-+-++-= ? ? ???

-++????????

。…………6分 （Ⅱ）假设否存在正整数

(),1m n

m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列，则

2

121321

m n

m n ??=? ?++??，可得22

32410m m n m -++=>，…………9分 由分子为正，解得1122

m -

<<+11分 由,1m N m *

∈>，得2m =，此时12n =，………………13分 当且仅当2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列。………………14分

21．解：（Ⅰ）当A 、B 、C 三点不共线时，由三角形中线性质知

)|||(|222AM BM + 22||||AB AC =+，代入得22222(2)(6)y x x +=+-，

又0y ≥，得5)3(2+-=

x y ；……………………4分

当A ，B ，C 三点共线时，由||||6||4AB AC BC +=>=，可知A 在线段BC 外侧， 由14|6|=?=--x x x 或x ＝5，因此，当x ＝1或x ＝5时，有6||||=+AC AB ， 同时也满足：2

2

2

2

||||)|||(|2AC AB AM BM +=+．当A 、B 、C 不共线时，

4||||||||=<-BC AC AB ，可知15x <<，……………………6分

从而()y f x ==[1，5]．………………7分 （Ⅱ）∵ 5)3(2

+-=x y ． ∴ d ＝y ＋x -1＝15)3(2

-++-x x ．

令 t ＝x -3，由15x ≤≤知，[]2,2t ∈-，2d t =+，

两边对t 求导得：

110t d =≥+

>， ∴ d 关于t 在[-2，2]上单调递增．

∴ 当t ＝2时，min d ＝3，此时x ＝1． 当t ＝2时，max d ＝7．此时x ＝5． 故d 的取值范围为[3，7]．…………………………15分

22．(Ⅰ)解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(2)1

()(2)x a x f x x a x x

-++'=+-+=．

依题意，方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ，n （其中m n <）．故

2(2)40

020a a a ?+->?>?

+>?

， 并且 2,1m n a mn +=+=． 所以，221()()ln ()(2)()2

f m f n mn m n a m n +=++-++

2211

[()2](2)()(2)1322

m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-． …………7分

(Ⅱ)解:当2a

≥

-时，21

(2)2a e e +≥++．若设(1)n t t m =>，则

22

2

()11

(2)()22m n a m n t e mn t e

++=+==++≥++．

于是有 111

()(1)0t e t e t e t e te +≥+?--≥?≥

222211

()()ln ()(2)()ln ()()()22

n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-

2222

111ln ()ln ()ln ()

22211ln ()

2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t

-=--=-=--=-- 构造函数11

()ln ()2g t t t t

=--（其中t e ≥），则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<．

所以()g t 在[,)e +∞上单调递减，1

()()122e g t g e e

≤=-+．

故()()f n f m -的最大值是1

122e e

-+． …………15分