成都市近十年中考数学二次函数压轴题(含规范标准答案)

二次函数中考压轴题

【2018 成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线512

x =

为对称轴的抛物线2

y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于D 点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F 、G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若

3

4

AF FB =，且BCG ?与BCD ?面积相等，求点G 的坐标；

（3）若在x 轴上有且仅有一点P ，使90APB ∠=?，求k 的值.

解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ?-=??

=??++=??

解得1a =，5b =-，5c =.

∴二次函数解析式为：255y x x =-+.

（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则

3

4

AF MQ FB QN ==. 32MQ =Q ，2NQ =∴，911,24B ??

???

，

1,91,24

k m k m +=???+=??∴，解得1,21,2

k m ?

=????=??，1122t

y x =+∴，102D ?? ???，

.

同理，1

52

BC y x =-

+. BCD BCG S S ??=Q ，

∴①//DG BC （G 在BC 下方）

，11

22

DG y x =-+， 2115522

x x x -+=-+∴，即22990x x -+=，123

,32x x ==∴.

5

2

x >Q ，3x =∴，()3,1G -∴.

②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.

1211922G G y x =-+∴，2119

5522x x x -+=-+∴，22990x x --=∴.

5

2x >

Q ，x =∴G ??

∴.

综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G ??

. （3）由题意可得：1k m +=.

1m k =-∴，11y kx k =+-∴，2155kx k x x +-=-+∴，即()2540x k x k -+++=.

11x =∴，24x k =+，()

24,31B k k k +++∴.

设AB 的中点为'O ，

P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.

OP x ⊥∴轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +?? ???

∴. AMP PNB ??Q ∽，AM PN

PM BN

=

∴

，AM BN PN PM ?=?∴， ()255314122k k k k k ++?

????++=+-- ??

?????

∴1，即23650k k +-=，960?=>.

0k >Q ，6163

k -+=

=-+∴. 【2017成都中考】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB=4，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的

抛物线C ′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax 2+4，

把A（2，0）代入可得a=﹣，

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有，解得2＜m＜2，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵点M在y=﹣x2+4上，

∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），

∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．

【2016成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．

∴a﹣3=﹣，解得：a=，

∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，

∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．

从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线l边AD相交与点M 1时，则S=×10=3，

∴×3×（﹣y）=3

∴y=﹣2，点M 1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．

②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l 的解析式为y=﹣x﹣．

综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由，

∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．

假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3

由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

∵四边形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=±，

∵k＜0，

∴k=﹣，

∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）

∴PM=DN=2，

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形，

∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．

【2015成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）A（－1，0）

∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k

∴y＝kx＋k

令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0 ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4

∴－3－k

a＝－1×4，∴

k＝a

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F

设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE－S△CFE

＝1

2

(ax2－3ax－4a)(x＋1)－

1

2

(ax2－3ax－4a)x

＝1

2

(ax2－3ax－4a)＝

1

2

a(x－

3

2

)2－

25

8

a

∴△ACE的面积的最大值为－25 8

a

,.

∵△ACE的面积的最大值为5 4

∴－25

8

a＝

5

4

，解得a＝－

2

5

（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0

解得x1＝－1，x2＝4

∴D（4，5a）

∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1

设P（1，m）

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）

m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°

∴AD2＋PD2＝AP2

∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2

即a2＝1

7

，∵a＜0，∴a＝－

7

7

∴P1（1，－267 7

）

②若AD是矩形的一条对角线

则线段AD的中点坐标为（3

2

，

5a

2

），Q（2，－3a）

m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a）

∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°

∴AP2＋PD2＝AD2

∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2

即a2＝1

4

，∵a＜0，∴a＝－

1

2

,.

∴P 2（1，－4）

综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形 点P 的坐标为（1，－

26

7

7

）或（1，－4）

【2014成都中考】如图，已知抛物线)4)(2(8

-+=

x x k

y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-

=3

3

与抛物线的另一交点为D. （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值； （3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？

解：（1）抛物线y=（x+2）（x ﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A （﹣2，0），B （4，0）．

,. ∵直线y=﹣x+b过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，

∴直线BD解析式为：y=﹣x+．

当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．

∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．

（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．

∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．

②若△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

与①同理，

可求得：k=．综上所述，k=或k=．

（3）由（1）知：D （﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan ∠DBA=

=

=

，∴∠DBA=30°．

过点D 作DK ∥x 轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F 作FG ⊥DK 于点G ，则FG=DF ． 由题意，动点M 运动的路径为折线AF+DF ，运动时间：t=AF+DF ， ∴t=AF+FG ，即运动时间等于折线AF+FG 的长度．

由垂线段最短可知，折线AF+FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段． 过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t 最小=AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点． ∵A 点横坐标为﹣2，直线BD 解析式为：y=﹣x+，

∴y=﹣

×（﹣2）+

=2

，∴F （﹣2，2

）．

综上所述，当点F 坐标为（﹣2，2）时，点M 在整个运动过程中用时最少．

【2013成都中考】在平面直角坐标系中，已知抛物线（b,c 为常数）的顶点为P ,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3），直角顶点B 在第四象限。 （1）如图，若该抛物线过A,B 两点，求抛物线的函数表达式；

（2）平（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q.

i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P ,Q 三点为顶点的三角形是等

腰三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标；

ii ）取BC 的中点N,连接NP ,BQ 。试探究

是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存

在，请说明理由。

2

1y 2

x bx c =-

++PQ

NP BQ

+

解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）

∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴，解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．

（2）方法一：

i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），

则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．

解方程组：，

解得，

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则

PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ==AP 0．

若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP 0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．

解方程组，得：，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．

如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP 0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．

过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，

∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．

解方程组，得：，

∴M 3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M 1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

方法二：

∵A（0，1），C（4，3），

∴l AC：y=x﹣1，

∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），

∴抛物线表达式：，

∴l AC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），

∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），

①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3），，

∴t=1±，

∴M 1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣），

②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，

将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），

将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），

将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），∴，

∴t1=4，t2=﹣2，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为： M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7），M 3（1+

，﹣2+），M 4（1﹣，﹣2﹣）．

ii ）存在最大值．理由如下：

由i ）知PQ=

为定值，则当NP+BQ 取最小值时，

有最大值．

如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ=B ′Q ． 连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN=PQ ， ∴四边形PQFN 为平行四边形． ∴NP=FQ ．

∴NP+BQ=FQ+B ′Q ≥FB ′=

=

．

∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为．

∴

的最大值为=．

【2012成都中考】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的

左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，

，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且:2:3ABP BPC S S ??=，

求点P 的坐标；

（3）设Q e 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q e 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？

解：（1）∵经过点（﹣3，0），

∴0=

+m ，解得m=

， ∴直线解析式为

，C （0，

）．

∵抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴为x=1，且与x 轴交于A （﹣3，0），∴另一交点为B （5，0）， 设抛物线解析式为y=a （x+3）（x ﹣5）， ∵抛物线经过C （0，

），

∴=a?3（﹣5），解得a=，

∴抛物线解析式为y=x2+x+；

（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则AC∥EF且AC=EF．如答图1，

（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵，∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO=，即y E=，

∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），

∴E（2，），S?ACEF=；

（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，

同理可求得E′（+1，），S?ACE′F′=．

（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．

如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．

∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，

∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．

令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，

联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．

根据两点间距离公式得到： M 1M 2=

=

=

=

∴M 1M 2==

=4（1+k 2）．

又M 1P=

=

=

；

同理M 2P=

∴M 1P ?M 2P=（1+k 2）?

=（1+k 2）?

=（1+k 2）?

=4（1+k 2）．

∴M 1P ?M 2P=M 1M 2， ∴

=1为定值．

【2011成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半

轴上．已知:1:5OA OB =，OB OC =，△ABC 的面积15ABC S ?=，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠

经过A 、B 、C 三点。

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作

FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为2M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，

由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，

解得m=1±或m=3±，

∵m＞2，∴m=1+或m=3+，

边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；