3
解析：
选D.如图，直线x ＋y ＝a 与x 轴负半轴相交时，不等式组不表示任何图形，直线x ＋y ＝a 与线段OB 相交时，不等式组表示的平面区域是一个三角形，直线x ＋y ＝a 与线段AB 相交时，不等式组表示的平面区域是一个四边形，直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝2在A 点上侧相交时，不等式组表示的平面区域是一个三角形．
9．已知x ＞0，y ＞0.若2y x ＋8x
y
＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2＜m ＜4
D ．－4＜m ＜2
解析：选D.因为x ＞0，y ＞0，所以2y x ＋8x y ≥8(当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”)．若2y x ＋8x
y ＞
m 2＋2m 恒成立，
则m 2＋2m ＜8，解之得－4＜m ＜2.
10．x ，y 满足约束条件????
?x ＋y －2≤0，
x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实
数a 的值为( )
A.1
2
或－1 B ．2或 1
2
C ．2或1
D ．2或－1
解析：选
D ．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a
b
＞2；⑤a 2
＞b 2；⑥2a ＞2b .
其中正确的不等式的序号为________．
解析：因为1a ＜1
b ＜0.所以b ＜a ＜0，故③错，又b ＜a ＜0，可得|a |＜|b |，a 2＜b 2，故②⑤
错．
答案：①④⑥
12．函数y ＝2－x －4
x
(x ＞0)的值域为________．
解析：当x ＞0时，y ＝2－????x ＋4
x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4
x
，x ＝2时取等号． 答案：(－∞，－2]
13．设变量x ，y 满足约束条件????
?x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．
解析：
z ＝2x ＋3y ?y ＝－23x ＋z
3
，求截距的最小值，画出可行域如图阴影部分所示，可知把直
线y ＝－2
3x 平移到经过点(2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×2＋3×1＝7.
答案：7
14．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．
解析：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，
所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，
所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，
所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝6
3
.
答案：6
3
15．已知不等式x 2－ax －b ＜0的解集为(2，3)，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________．
解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2，3.根据根与系数的关系得：a ＝5，b ＝－6，所以不
等式为6x 2＋5x ＋1＜0，解得解集为????－12
，－13. 答案：????－12
，－13 三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2
x
，解不等式f (x )－f (x －1)＞2x －1.
解：由题意可得
x 2＋2x －(x －1)2－2x －1
＞2x －1，
化简得2
x （x －1）＜0，
即x (x －1)＜0， 解得0＜x ＜1.
所以原不等式的解集为{x |0＜x ＜1}．
17．(本小题满分10分)(1)求函数y ＝x 2＋7x ＋10
x ＋1
(x ＞－1)的最小值；
(2)已知：x ＞0，y ＞0且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 值． 解：(1)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，
所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4
x ＋1
＝(x ＋1)＋4x ＋1
＋5≥2（x ＋1）? ????
4x ＋1＋5＝9.
当且仅当x ＋1＝4
x ＋1
，即x ＝1时，等号成立．
所以当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10
x ＋1(x ＞－1)的最小值为9.
(2)因为x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12. 所以xy ＝112(3x )·(4y )≤112? ????3x ＋4y 22
＝3.
所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 3.
当且仅当3x ＝4y ，即x ＝2，y ＝3
2
时等号成立．
所以当x ＝2，y ＝3
2
时，lg x ＋lg y 取最大值lg 3.
18．(本小题满分10分)已知x 、y 、z 是实数，a 、b 、c 是正实数，求证：b ＋c a x 2＋a ＋c b
y
2
＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋xz )．
证明：法一：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋xz )＝b a x 2－2xy ＋a b y 2＋c a x 2－2xz ＋a
c
z 2＋
c b y 2－2yz ＋b c z 2＝????b a
x －a b y 2＋????c a x －a c z 2＋????c b y －b c z 2
≥0. 所以b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2
≥2(xy ＋yz ＋xz )成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
法二：
b ＋
c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2＝????b a x 2＋a b y 2＋????c a x 2＋a c z 2＋????c b y 2＋b c z 2≥2b a ·a
b
xy ＋2c a ·a c xz ＋2c b ·b c
yz ＝2(xy ＋yz ＋xz )．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
19．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得 ?????x ＋y ≤2，
240x ＋80y ≤400，x ≥0，
y ≥0.即?????x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，
画出可行域如图阴影部分所示．
而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，
可联立?????x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，
得交点B (1.5，0.5)． 故当x ＝1.5，y ＝0.5时，
P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，
都有f (x )≥x ，且当x ∈(1，3)时，有f (x )≤1
8
(x ＋2)2成立．
(1)证明：f (2)＝2；
(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；
(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图像上的点都位于直线y ＝1
4
的上方，求实
数m 的取值范围．
解：(1)证明：由条件知： f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．
又因取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤1
8
(2＋2)2＝2恒成立，所以f (2)＝2.
(2)因?
????4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，
所以4a ＋c ＝2b ＝1.
所以b ＝1
2
，c ＝1－4a .
又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立．
所以a ＞0，Δ＝????12－12－4a (1－4a )≤0， 解得：a ＝18，c ＝1
2.
所以f (x )＝18x 2＋12x ＋1
2
.
(3)g (x )＝1
8x 2＋????12－m 2x ＋12＞14，在x ∈[0，＋∞)上恒成立． 即x 2＋4(1－m )x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， ①Δ＜0，即[4(1－m )]2－8＜0.
解得：1－22＜m ＜1＋2
2
.
②?????Δ≥0，－2（1－m ）≤0，f （0）＞0.解得：m ≤1－22
，
综上m ∈?
??
?
－∞，1＋
22.
