沪教版( 上海)七年级第一学期第六讲 因式分解(二)

知识点1 十字相乘法 1.什么是二次三项式 多项式2ax bx c ++,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为

常数项.例如：223x x --和256x x ++都是关于x 的二次三项式.

在多项式2268x xy y -+中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看

作常数，就是关于y 的二次三项式.

在多项式22273a b ab -+中，把ab 看作一个整体，即22()7()3ab ab -+，就是关于ab 的二次三项式.同样，多项式2()7()12x y x y ++++，把x y +看作一个整体，就是关于x y +的二次三项式.

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和意义

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则. 如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++

如果二次三项式2x px q ++能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a b +为一次

项系数p ，那么它就可以运用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++分解因式.

例如232x x ++中常数项是2，可以分解为21?，而且2+1=3，恰好是一次项的系数，

所以232(2)(1)x x x x ++=++.

在对多项式232x x ++分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解，

2x 分解为x x ?，常数项分解为21?，把它们用交叉线来表示： 按十字交叉相乘，它们积的和是23x x x +=.

所以2

32(2)(1)x x x x ++=++.

一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++ 可以用十字交叉线表示为：

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘

+1

+2

x

x +b

+a

x x

第六讲 因式分解（二）

知识要点

法.

3.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式；

（2）二次项的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积 ，且这两个因

数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式；

（3）对于二次项系数不是1的二次三项式2ax bx c ++（a ，b ，

c 都是整数且0a ≠）来说，如果存在四个整数1a ，2a ，1c ，2c ，使12a a a ?=，12c c c ?=，

1221a c a c b ?+?=，那么

22121221121122()()()ax bx c a a x a c a c x c c a x c a x c ++=+++=++它的特征是“拆

两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助 “画十字交叉线”的办法来确定. 例如，用十字相乘法分解因式26136x x -+，因为 按十字交叉相乘，它们的积的和是9413x x x --=-. 所以26136(23)(32)x x x x -+=--. 4.用十字相乘法因式分解时要注意的符号规律

为了减少尝试次数，掌握十字相乘法分解因式的符号规律，可以帮助大家更快的运用

十字相乘法分解因式，符号规律是：

当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；若一次项是“+”的，则两个

一次二项式中间都是“+”号；若一次项是“-”的，则两个一次二项式中间都是“-”号.

当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间异号；若一次项是“+”的，则交叉相乘积正的绝对值大；若一次项是“-”的，则交叉相乘积负的绝对值大.

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项.

用十字相乘法分解因式，还要避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.

-2

-3

3x 2x

例1 把下列各式分解因式：

（1）2215x x -- （2）2256x xy y -+

例2 把下列各式分解因式：

（1）2253x x -- （2）2383x x +-

例3 把下列各式分解因式：

（1）42109x x -+ （2）327()5()2()x y x y x y +-+-+

（3）222(8)22(8)120a a a a ++++ （4）2222()abcx a b c x abc +++

知识点2 分组分解法 1.分组分解法的意义

有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组的原则

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多项式.

分组分解法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是： ①分组后能直接提取公因式； ②分组后能直接运用公式.

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法.通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的.

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具

体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行.通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧. 3.常用的分组方法

方法一：分组后能提取公因式

（1）按字母分组.例如：分解因式：ax ay bx by +++可以按某一字母为准分组，

若按含有字母a 的分为一组，含有字母b 的分为一组，即

()()ax ay bx by ax ay bx by +++=+++()()a x y b x y =+++，这样就产生了公

因式()x y +.

（2）按系数分组.例如：分解因式：233a ab b a -+-，我们观察到前两项的系数

之比和后两项系数之比恰好相等，即1:(1)3:(3)-=-，则

2233()(33)a ab b a a ab a b -+-=---()3()a a b a b =---.

（3）按次数分组.例如：分解因式：3232x x x y y y ++---，此多项式有两个三

次项，有两个二次项，有两个一次项，按次数分组为：

3322()()()x y x y x y -+-+-.

方法二：分组后能运用公式

例如：2222x xy y z -+-，可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为2()x y -.而22()x y z --又是平方差形式的多项式，还可以继续分解. 方法三：重新分组

例如：分解因式243(34)x y x y +-+，此多项式必须先去括号，进行重新分组.2243(34)4334x y x y x y xy x +-+=+--

2(44)(33)x x y xy =-+-4(1)3(1)x x y x =--- (43)(1)x y x =--.

4.分组分解法分解因式的几点注意

（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解. （2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组. （3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原

多项式进行因式分解.

（4）对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项分组都可

以达到目的，分组要注意合理性，四项式中的另一种三项、一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能写成某个式

子的平方，且又与完全平方的式子的符号相反，则得到22a b -的形式，再用平方差公式分解.

（5）五项式一般采用三项、两项分组.

（6）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组. （7）原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解. 例1：分解因式

（1）22233x xy x y +-- （2）2244a b a b -+-

（3）222492416x y yz z --- （4）321x x x --+

例2：分解因式

（1）222m n mn n m +-+- （2）222212x y z yz x ---+-

（3）2269103025x xy y x y -+-++ （4）2222a a b ab a b b -+-+-

例3：分解因式

（1）3223636x x y x z xyz +-- （2）2222()()ab c d cd a b +++

（3）22()()ax by bx ay ++- （4）222432a ab b bc c -++-

一．填空题

1.下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A.222(2)44x y x xy y +=++ B.2224(1)3x x x -+=-+ C.2321(31)(1)x x x x --=+- D.()m a b c ma mb mc ++=++

2.下列各式的因式分解结果正确的是（ ）

A.227(7)x y xy y y x x +-=+

B.223363(2)a b ab b b a a -+=-+

C.22862(43)abc a b abc abc -=-

D.22462(23)x xy xz x y z -+-=-+-

3.二次三项式25166m m -+分解因式的结果如下：①1

()(1)6

m m --；②

11

()()23m m --；

③11(21)()23m m --；④1

(21)(31)6

m m --.其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.用分组分解法将233x xy y x -+-分解因式，下列分组方式中不恰当的是（ ）

A.2(3)(3)x x y xy -+-

B.

2()(33)x xy y x -+-

C.2()(33)x xy x y ---

D.2(3)3x xy x y --+ 5.把多项式2221xy x y --+分解因式的结果是（ ） A.(1)(1)x y y x -+-+ B.(1)(1)x y y x +--- C.(1)(1)x y x y +--+ D.(1)(1)x y x y -+-- 6.把多项式222228x xy y x y -++--分解因式的结果是（ ） A.(4)(2)x y x y ---+ B.(1)(8)x y x y ---- C.(4)(2)x y x y -+-- D.(1)(8)x y x y -+-- 二．填空题

1.2x + 20(4)x +=+( ).

2.2x - 20(4)x -=+( ).

课堂练习

3.210x x -+ =(4)x -( ).

4.216y y -+ =(1)y -( ).

5.2a + + =（ +5）（ +4）.

6.2m + 5(1)m +=-( ).

7.2710a a ++=（a + ）（a + ）.

8.23x xy -+ (5)x y =+( ).

9.()ax ay bx by ax ay +--=+-( ). 10.()()()x c b y b c y x -+-=-( ). 11.分解因式：（1）2()66a b b a --+= .

（2）221

4144

m m n ++-= .

三．简答题

1.用十字相乘法将下列各式分解因式：

（1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x --

（4）2215x x +- （5）2()4()3x y x y +-++ （6）2232x xy y -+

（7）2952x x --； （8）21336x x -+-； （9）226x xy y +-；

（10）22914a ab b -+； （11）214

733

x x --； （12）22157x x ++；

（13）2273x x -+； （14）2675x x --； （15）

22568x xy y +-；

（16）21514x x -+-； （17）22367x y xy y -++.

2.用分组分解法将下列各式分解因式：

（1）2a ab ac bc +--； （2）2105ax ay by bx -+-； （3）22x y x y --+；

（4）322a ab a ab ---； （5）221168m mn n -+-；

（6）22494x y xy +--；

（7）22x y ax ay -++； （8）224202536a ab b -+-；

（9）432223636x y x y x y xy +--.

四．解答题

1.已知多项式26x ax ++可分解为两个整系数的一次因式的积，求a 的值.

2.把222222()4a b c b c ---分解因式.

3.n 是整数，试证明3232n n n -+能被6整除.

4.已知5a b +=-，7ab =，求22a b ab a b +--.

5.如果2224(3)ax x b mx ++=-，求a 、b 、m 的值.

6.把44x +进行因式分解.

一.填空题

1.232x x -+=

2.256a a ++=

3.212t t +-=

4.21124y y -+=

5.22012x x -+=

6.263036t t +-=

7.2187x xy xy -++=

8.1ab a b +++=

9.2a ab ac bc +--= 10.2221x x y ++-=

11.2211

216

a b b ---= 12.22424x y x y --+=

13.2461218x x xy y --+= 14.322a a b a c abc +++= 15.2432x y xy y -++= 16.2566n n x x --= 17.223322m m ++-= 18.22326m m a a x a y xy ++--= 19.2269n n m x x y +-+=

家庭作业

二．解答题

1.把下列各式因式分解：

（1）4220m m +- （2）2()3()40m n m n ----

(3)222()26()120.x x x x +-++

(4)222ab ac b bc c +---

(5).ax ay bx by a b +++-- (6)2()4(15).x y x y ---+

(7)2224()72.x x y y -- (8)22(3)(43).a bc a b c -+-

2.已知24x mx +-在整数范围内可以因式分解，求自然数m 的值，并把它们分解因式.

3.已知11

2,5,32

x y x y +=-=-求2261860x xy y --的值。

4.已知22244440.x xy y x -+-+=求2010()x y -的值.