专题17：解决问题的策略知识要点归纳
《解决问题的策略》
知识要点归纳
典型的数学问题 知识要点 具体内容
和倍问题 1.解题思路
（1）先找出“1份”（1倍数），相应地可以确
定另一个数是几份（几倍数）；
（2）再看与“和”相对应的是几份（几倍数）；
（3）最后算出1份（1倍数）是多少，几份（几
倍数）是多少；
2.解题方法
和÷（倍数＋1）＝1倍数
几倍数＝和－1倍数或几倍数＝1倍数×倍数
差倍问题 1.解题思路
（1）先找出“1份”（1倍数），相应地可以确
定另一个数是几份（几倍数）；
（2）再看与“差”相对应的是几份（几倍数）；
（3）最后算出1份（1倍数）是多少，几份（几
倍数）是多少；
2.解题方法
差÷（倍数－1）＝1倍数
几倍数＝1倍数＋差或几倍数＝1倍数×倍数
和差问题 解题方法
方法一：（和－差）÷2＝较小数
较小数＋差＝较大数
方法二：（和＋差）÷2＝较大数
较大数－差＝较大数
行程问题
1.相遇问题
在解决相遇问题前，一定要透彻理解行程问题
中如“同时”“提前”“相向而行”“相背而行”等相关词语的意义。
（1）解题关键
相遇问题的解题关键是求出两个物体在同一单位时间内共走的路程（即速度和）；
（2）解题方法
相遇问题的数量关系式：
两地距离＝速度和×相遇时间
相遇时间＝两地距离÷速度和
速度和＝两地距离÷相遇时间
未知速度＝速度和－已知速度
2.追及问题
追及问题的特征是两个运动物体同时不同地（或同地不同时）出发做同向运动，而在后面的物体行进速度要快些，在前面的物体行进速度要慢些，在一定（相同的）时间之内，后面的物体能追上前面的物体。
（1）解题关键
找出路程差和速度差；
（2）解题方法
追及问题一般从追及时间、速度差、路程差等环节入手，它们之间的基本数量关系式如下：追及时间＝路程差÷速度差（即快速－慢速）
简单的推理问题解题方法
1.直接法
很直接就能得出结论；
2.排除法
排除不符合条件的情况，最后剩下的情况就是所需的结果。如正方体相对面的上的数字或文字问题；
3.列表排除法
步骤：第一步：列出表格；第二步：填入已确定的信息；第三步：用排除法推理得出答案
周期问题1.解题关键
解答周期问题的关键是根据数据的规律找出周期。如由于每个星期有7天，即时间是7天一循环，则说周期是7；由于一年是12个月一循环，则说周期是12；每昼夜24个小时，即
时间是24小时一循环，则说周期是24；
2.解题方法
解决周期问题的方法是确定周期后，用总个数除以周期中元素的个数，如果正好有整数个周期而没有余数，那么结果为周期里最后一个元素；如果比整数个周期多n个，那么就是下一个周期的第n个元素；如果不是从第一个数据开始循环，可以从总数量减去不是循环的数据个数后，再继续算
植树问题在一条直线上按相等距离植树，线路长、植树的棵数（株数）及每两棵数之间的距离（株距）这三者之间存在着特殊的关系。在这三个数量中，已知其中两个数量，求出另一个未知量的应用题，就是植树问题。
线路上植树问题有两种情况：
1.在没有封闭的线路上植树。
（1）两端都植树。
段数与株数的关系：段数＝株数－1
数量关系为：路长＝株距×（株数－1）
株距＝路长÷（株数－1）
株数＝路长÷株距＋1
（2）两端都不植树。
段数与株数的关系：段数＝株数
数量关系为：路长＝株距×株数
株数＝路长÷株距
株距＝路长÷株数
2.在封闭的曲线或封闭折线上植树。
段数与株数的关系：段数＝株数
数量关系为：路长＝株距×株数
株数＝路长÷株距
株距＝路长÷株数
数字编码问题1.邮政编码问题
邮政编码的结构是由四级六位数字组成的。前两级数字表示省（直辖市、自治区）；前三位数字表示邮区；前四位数字表示县（市）；最后两位数字表示投递局（所）；
2.身份证编码问题
身份证编码的结构是由18位数字组成的。前
2位数字表示省（直辖市、自治区）；第3、4位数字表示所在的城市；第5、6位数字表示所在的县（区）；第7～14位数字表示出生的年月日，“月”和“日”如果是一位数的，“月”和“日”就在的数字前面加0；第15、16位数字表示所在地派出所的代码；第17位数字表示性别，单数表示男性，双数表示女性；第18位数字是校验码，是公安部门给定的，一般用0～9个数字表示，也有的用X 表示 公倍数、公因数
问题
解答公因数或公倍数问题的关键是：用一般的分析方法、数量关系解答不出来的，就尝试从因数或倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题，或求几个数的公倍数问题。 比如：有一包糖果，平分给3个人，4个人，5个人，都剩余一块，这包糖果至少有多少块？ 根据题意可判断这包糖果的块数比的公倍数要多1块，即这包糖果有60＋1＝61块 优化问题 比如：妈妈炒蛋需要七个步骤：①洗葱、切葱2分；②敲蛋1分；③搅蛋1分；④洗锅2分；⑤热锅2分；⑥烧热油1分；⑦炒蛋4分。请你帮妈妈设计一个用时最少的炒蛋方案。 事情要按一定的顺序去做，清楚哪些事情要先做，哪些要后做，哪些事情可以同时做。可以用叙述、画图等多种形式把炒蛋过程表示出来。如
图：
所以最少时间为洗锅，热锅，敲蛋，烧热油和炒蛋的时间和，即2＋2＋1＋1＋4＝10（分） 鸡兔同笼问题 1.鸡兔同笼问题也称“置换问题”，即已知“鸡兔”的总头数和总腿数，求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题； 2.解题方法
比如：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
解法一：假设全是鸡。
那么应共有脚2×35＝70（只）。实际上有94
只脚，相差了94－70＝24（只），原因是把兔
看成了鸡。把一只兔看成一只鸡，就会少算4
－2＝2（只）脚，24里面有多少个2，就是把
多少只兔看成了鸡，就得到兔的只数，即兔的
只数为12÷2＝12（只）。
解法二：假设全是兔。
那么应共有脚4×35＝140（只）。实际上有94
只脚，相差了140－94＝46（只），原因是把鸡
看成了兔。把一只鸡看成一只兔，就会多算4
－2＝2（只）脚，46里面有多少个2，就是把
多少只鸡看成了兔，就得到鸡的只数，即鸡的
只数为46÷2＝23（只）。
解法三：列方程解答。
设兔有x只，则鸡有（35－x）只。
4x＋2×（35－x）＝94，求解即可。当然也可
以设鸡有x只，则兔有（35－x）只。
解决问题的策略
知识要点具体内容
画图
1.画图可以帮助我们列举出所有的情况；
2.画图能帮助我们直观地理解所学内容，比如十
进制、分数的意义和运算；
3.画图能帮助我们分析数量之间的关系，比如两
个变量之间的关系、应用问题中的数量关系。
从这三个方面看，画图有助于我们对问题的直
观理解，可以帮助我们找到解决问题的思路。
学生画的图只要能有效地帮助解决问题即可，
不必强求统一的格式
列表
1.列表可以帮助我们整理信息，进行推理；
2.列表能帮助我们分析两个量之间的关系，寻找
规律
猜想与尝试
1.通过逐一列举所有可能的情况，并对这些情况
分别进行检验，最终得到问题的结果；也可以
在检验中加以调整；
2.通过类比猜想，然后对猜想进行验证。实际上，
归纳、类比是获取猜想的重要方式
从特例开始寻找
规律这种策略体现了数学中把复杂问题转化为简单问题的“退”的思路。在问题复杂时，可以退一步去考察它最简单的情形，由最简单问题解决的方法，推广至较复杂的问题的情形，最终总结出规律，使复杂的问题得以解决