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三角函数周期的几种求法
深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏
高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：
定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，
f (x+T) = f ( X )
都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期
3 3
解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)
3 3 3 3
=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]
二f (x+3兀)
这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3
例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期
解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)
2 2 2
二cos h x +sir?x二f (x)
.?.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —
2
例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期
cosx + cos3x
解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）
COS（X + 7l） + COS（X + 71）
_ -sinx-sin3x
-cox - cos3x
_ sinx + sin 3x
cos x +cos 3^
二f （x）
■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T F
cos x +cos 3x
2.公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ?）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、?>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -O
co co co
例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期
解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）
- 2 2
= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）
3 3
= l-2sin （x-—）
3
这里0二1 ???周期T二2龙
例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -1
2 2
解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -1
2 2
=2sin (3x-— ) -1
6
这里⑵二3 ???周期为T二弐
3
例6：求y二tg (1+—)的周期
解：这里g二丸，??.周期为：T=^-/ —=-
5 5 3
(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
例7：求f (x) =sinx ? cosx 的周期
解：Vf (x) =sinx ? cosx=-sin2x
2
这里e二3, /.f (x)二sinx ? cosx 的周期为T二龙
例8：求f (x) =sin2x的周期
解：Vf (x)二sir?x」_c°s2x
2
而cos2x的周期为7i, f (x) =sin2x的周期为T二帀
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin669x+ COS6QX的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
? ?_ ? 6 丄 6
? y-sin GX+ cos cox
_ / ? 2 丄 2 \ / ? 4 ? 2 2| 4 \
-(sin GX+ cos cox) (sin cox~sin cox e cos cox+ cos cox)
=(sinOx+ COS2^X)2-3 sinOx ? cosSx
. 2 2
=1-3 sin(ox? cos cox
= 1-— sin 22(ox
4
=- + -cos4cox
8 8
而cos4ox的周期为T=^ = —f
2 co
??.y二sin cox+ cosSx的周期为T二——
2\a)
例10：函数y=3sin2x-2 V3 sinx ? cosx+5cos2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
Vy=3sin2x-2V3 sinx ? cosx+5cos'x
=3~2 V3 sinx ? cosx+2cos'x
=3-V3 sin2x+cos2x+l
二4+2 (-cos2x-—sin2x
2 2
二4+2cos (2x+—)
3
?\y=3sin2x-2 V3 sinx ? cosx+5cos2x 的周期为T=— = TI
2
3.定理法：
如果f(x)是儿个周期函数代数和形式的，即是：函数f (x) =f 1 (x) +f2(x),而fi(x)的周期为Ti, f2(x)的周期为T2,则f (x) 的周期为T二PT L P工，其中P K P2E N,且(Pi、P2) =1
事实上，由￥(既约分数)，得P2T1=P1T2
Vf (x+ P1T2) =fi (x+ P1T2) +f2 (x+ PJ2)
=fi (x+ P2L) + f2 (X+ Pl)
=fl (x) + f2 (x)
=f (x)
P1T2是f (x)的周期，同理Pd】也是函数f (x)的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解:Vy=tg6x的周期为T尸,tg8x的周期为T尸刍
由P1T2= P2T1,得三二邑二纟,取Pl二4, P2=3
T2 P2 3
/.y=tg6x+ctg8x 的周期为T二P/L二彳。
J
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
解：Tsir^x的周期为Ti二龙，sin3x的周期为丁2二年
而I L=19即是T=2T F3T2,T2 2
/.y=sin2x+sin3x 的周期为T二2Ti二2龙
例13：求函数y=cos-+sin-的周期
解:Vcos^的周期为"6”，sin兰的周期为丁2二8龙
3 4
而三=切=3,即是T二4T L3T2
T2 & 4
.?.y=cos-+sin-的周期为T二3T尸24兀。
3 4
类似，y=sin--2sin-的周期为T二30兀，y二tg30+2ctg2&的周期为
T二龙。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。