泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第3章 连续线性算子与连续线性泛函

本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子

在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵

1112

121

22

212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射

T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){}

,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+?∈ （2）()()(),T x Tx

F x D T ααα=?∈∈

称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地，如

果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例3.2 [],x C a b ?∈，定义()()t a

Tx t x d ττ=?

由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。若令

()()[](),b

a f x x d x C a

b ττ

=?∈?

则f 是[],C a b 上的线性泛函。

[定义3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间，:T X X →是线性算子，称T 在x 点连续的，是指若{},n n x X x x ∈→，则()n Tx Tx n →→∞；若T 在X 上每一点都连续，则称T 在X 上连续；称T 是有界的，是指T 将X 中的有界集映成Y 中有界集。

[定理3.1] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性算子，若T 在某一点()0x D T ∈ 连续，则T 在()D T 上连续。

证明：对()x D T ?∈，设{}()n x D T ?，且()n x x n →→∞，于是

()00n x x x x n -+→→∞，由假设T 在0x 点连续，所以当n →∞时，有

()000n n T x x x Tx Tx Tx Tx -+=-+→

因此，n Tx Tx →，即T 在x 点连续。由x 的任意性可知，T 在()D T 上连续。

定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T 连续等价于若

n x θ→（X 中零元），则n Tx θ→（Y 中零元）。

例3.3 若T 是n 维赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 在X 上连续。

证明：在X 中取一组基{}12,,

,n e e e ，设

()()1

1,2,3,n

m m j j j x x e X

m ==∈=∑

且()m x m θ→→∞，即()0m x m →→∞，则

()()

()1

2

210n

m j j x m =??→→∞????

∑

从而()()()01,2,3,

m j x j n m →=→∞。于是

()

()

()11

1

max 0

n

n

m m m j

j j

j

j n

j j Tx x

Te x Te

m ≤≤===

≤→→∞∑∑

因此，()m Tx m θ→→∞，即T 在x θ=处连续，进而T 在X 上每点连续。

[定理3.2] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性映射，

则T 有界的充分必要条件是：存在常数0M >，使不等式成立，即

()()Tx M x

x D T ≤∈

证明：必要性。因T 有界，所以T 将D 中的闭单位球(){}

11B x x θ=≤映成

Y 中的有界集，即像集()1TB θ是Y 中的有界集。记(){}1sup :M Tx x B θ=∈，此时，对每个

()()1,,

x

x D T x B x

θθ∈≠∈，由M 的定义有

x T M x ??≤ ? ???

……………………（3.1） 即Tx M x ≤，而当x θ=时，不等式（3.1）变成等式。故()x D T ?∈有

Tx M x ≤

充分性。设A 是()D T 的任一有界集，则存在常数1M 使()1x M x A ≤?∈。 由()()Tx M x x D T ≤∈知

()1Ty M y MM y A ≤≤∈ 故TA 有界。证毕。

[定理3.3] 设,X Y 是两个赋范线性空间，T 是从X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 是连续的充要条件是T 是有界的。

证明：充分性。设T 有界，则存在常数0M >，使对一切

(),x D T Tx M x ∈≤，从而对(){}(),n n x x n x D T ?→→∞?有

()()0

n n n Tx Tx T x x M x x n -=-≤-→→∞

即()n Tx Tx n →→∞。所以，T 是连续的。

必要性。若T 连续但T 是无界的，那么对每个n N ∈，必存在()n x D T ∈，使n n Tx n x >，令n n n x y n x =

，那么()1

0n y n n

=→→∞，即n y θ→，由T 的连续性，()n Ty n θ→→∞，但是另一方面，1n n

n n

n

n x Tx Ty n x n x =>

=，引出矛盾，

故T 有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用

(),L X Y 表示X 到Y 的有界线性算子组成的集合。

例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。

例3.4 考察定义在区间[]0,1上的连续可微函数全体，记作[]10,1C ，其中范数定义为()01

max t x x t ≤≤=，不难证明，微分算子

d

dt

是把[]10,1C 映入[]0,1C 中的线性算子。

取函数列{}sin n t π，显然，sin 1n t π=，但

()sin cos d

n t n n t n n dt

ππππ==→∞→∞ 因此，微分算子是无界的。

[定义3.3] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，对一

切x X ∈，满足Tx M x ≤的正数M 的下确界，称为算子T 的范数，记作T 。

由定义可知，对一切x X ∈，都有Tx T x ≤。

[定理3.4] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，则有

11sup sup sup x X

x X

x X

x x x Tx

T Tx Tx x θ

∈∈∈=≤≠===

证明：由Tx T x ≤，易得

1

sup x X

x T Tx ∈==……………………………………（3.2）

根据T 的定义，对于任给的0ε>，存在非零0x X ∈，使

()00Tx T x ε≥-

令0

x x x '=，则有()0

Tx T ε'≥-，因此 ()1

1

sup sup x X

x X

x x T Tx Tx ε∈∈=≤-≤≤

令0ε→得 1

1

sup sup x X

x X

x x T Tx Tx ∈∈=≤≤≤……………………（3.3）

由式（3.2）和式（3.3），便得

1

1

sup sup x X

x X

x x T Tx Tx ∈∈=≤==

而sup

x X

x Tx T x

θ

∈≠=，由定义易知。

例3.5 在[]1,L a b 上定义算子T 如下

()()()[]()1

,

,x

a

Tf x f t dt f L a b =?∈?

（1）把T 视为[]1,L a b 到[],C a b 的算子，求T ； （2）把T 视为[]1,L a b 到[]1,L a b 的算子，求T 。 解：算子T 的线性是显然的，下面分别求T 。

（1）设T ：[][]1,,L a b C a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[],Tf C a b ∈，从而

()()()max max

x

a

a x b

a x

b Tf Tf x f t dt ≤≤≤≤==?

()(

)max x

b

a

a

a x b

f t dt f t dt f ≤≤≤≤=??

故T 是有界的，并且1T ≤。另一方面，取()[]01

,,f t t a b b a

=

∈-，并且 ()001

1b b

a

a

f f t dt dt b a

===-??

于是

01

11sup max 1x

b a

a a x b

f T Tf Tf dt dt b a b a

≤≤==≥===--?

?

故1T =。

（2）设T ：[][]11,,L a b L a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[]1,Tf L a b ∈，从而

()()()b

x

b

x

a

a

a

a

Tf f t dt dx f t dt dx =≤?

???

()()

(

)b

b

a

a

f t dt dx b a f ≤=-?

?

因此，T 是有界的，并且T b a ≤-；另一方面，对任何使得1

a b n

+

<的自然数n ，作函数()1,,10,,n n x a a n f x x a b n ?

?

?∈+???

?

?

?=?

??

?∈+ ?

??

??

显然[],n f L a b ∈,且()1b n n a

f f t dt ==?，而

()b

x

n n a

a

Tf f t dt dx =??

()1

1110a b a x n

n

a

a a

a n

n

n x a dx ndt dt dx ++

+

+

=-++??

?

?

11122b a b a n n n

=

+--=-- 所以，又有sup n T Tf b a ≥=-

因此，T b a =-。

此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，

他们的算子范数未必相同。

一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。

例3.6 设(),K s t 在[][],,a b a b ?上连续，定义算子T ：[][],,C a b C a b →为

()()(),b

a Tx s K s t x t dt =?

则[][](),,,T L C a b C a b ∈，且

(){}

max

,:b

a

T K s t dt a s b ≤≤≤?

证明：由于

()()()max

,b

a a s

b Tx s K s t x t dt ≤≤=?

()()max ,max b a

a s b

a s b

K s t dt x t ≤≤≤≤≤?

(){}max

,:b

a

K s t dt a s b

x =≤≤?

故结论成立。

事实上，还可以进一步证明

(){}

max

,:b

a

T K s t dt a s b =≤≤?

由于证明要用到实分析知识，这里从略。

例 3.7 已知实矩阵()

ij n m

A a ?=，定义:m n T R R →为Tx Ax =，则

(),m n T L R R ∈，且12

211n

m

ij i j T a ==??≤ ???

∑∑。 证明： 12

2

11

n m ij j i j Tx Ax a x ==????

??== ?

??????

∑∑ 1

2

22111n m m ij j i j j a x ===??????≤?? ???????????

∑∑∑

12

211n

m

ij i j a x ==??= ???

∑∑

故 1

2

211n m ij i j T a ==??

≤ ???

∑∑

对于赋范线性空间X 上的线性泛函f ，我们总视f 为X 到数域F 所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间X 上的线性泛函f ，由于()(

)f x F x X ∈?∈，所以

()(

)f x f x =，因而f 的范数就是()1

x X

x f sup f x ∈==。

对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。

[定理3.5] 设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则：

（1）f 是连续的充要条件是f 的零空间()(){}

0,N f x f x x X ==∈是X 的闭子空间；

（2）非零线性泛函f 是不连续的充要条件是()N f 在X 中稠密。 证明：（1）必要性：设f 是X 上的线性泛函，又设

{}()(),n n x N f x x n ?→→∞，由f 的连续性可得()()lim 0n n f x f x →∞

==。因此，

()x N f ∈，所以()N f 是X 的闭子空间。

充分性：设()N f 是闭集，如果f 不是有界线性泛函，则对每个自然数n ，必有,1,n n x X x ∈=使得()n f x n >。

令()()

1

1n n n x x y f x f x =

-，则()0n f y =，即()n y N f ∈，并且 ()()()()11110n n n n x x y n f x f x n

f x -

=-=<→→∞ 即()

1

1n x y f x →

。但是，()111x f f x ??= ? ??

?，从而()()1

1x N f f x ?。这和()N f 是

闭集矛盾。因此，f 是有界的。

（2）必要性：设f 是连续的，由定理3.1知f 在x θ=点不连续，从而存在{}(),n n x X x n θ?→→∞，但()00n f x ε≥>，对x X ?∈，显然有

()

()

()n n f x x x N f f x -

∈ 并且()

()

()n n f x x x x n f x -

→→∞，所以()N f 在X 中稠密。 充分性：假设f 是连续的，由()N f 在X 中稠密可知，对x X ?∈，存在

{}()n x N f ?，使()n x x n →→∞，从而

()()lim 0n n f x f x →∞

==

这与假设f 非零矛盾。证毕。

我们现在考虑由赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的有界线性算子的全体

(),L X Y 的性质。

对任意()12,,,,T T T L X Y F α∈∈，规定

()()()()()()1212,T T x T x T x T x Tx αα+=+=

显然，12T T +及T α都是线性算子，称12T T +为1T 与2T 的和，T α为α与T 的积，易验证(),L X Y 按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子

(),T L X Y ∈，算子范数T 还满足三个条件：

（1）1

sup 0x X

x T Tx ∈==≥，若0T =，则对一切,0x X Tx ∈=，即T θ=；

（2）1

1

sup sup x X

x X

x x T Tx Tx T αααα∈∈=====；

（3）121212121

1

1

sup sup sup x X

x X

x X

x x x T T T x T x T x T x T T ∈∈∈===+=+≤+=+。

因此，(),L X Y 是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称

线性算子空间。

一般说来，(),L X Y 不一定是完备的，但是我们有如下的定理： [定理3.6] 设Y 是完备的赋范线性空间，则(),L X Y 是完备的。 证明：如果设{}(),n T L X Y ?为一Cauchy 列，即

()0n m T T n -→→∞

则对x X ?∈，必有

()()()()()0,n m n m n m T x T x T T x T T x n m -=-≤-→→∞

这说明(){}n T x 是Y 中的Cauchy 列，由Y 的完备性，在Y 中存在惟一的一个元，记为()T x 使得()()()n T x T x n →→∞。

于是，T 就是从X 到Y 的一个算子，其线性可由()n T x 的线性推得。 又由于

()0,n m n m T T T T n m -≤-→→∞

因而知数列{}n T 收敛，即有数β使得sup n n

T β=，由此推得

()()lim sup n n

n n

Tx T x T x x

x X β→∞

=≤=?∈

故T 为有界线性算子，即(),T L X Y ∈。

由于()0,n m T T n m -→→∞，故对0ε?>，存在自然数0N ，使得0

,m n N >时，有n m T T ε-<。于是,1x X x ?∈≤有()()n m T x T x x εε-≤≤。

固定x ，令m →∞，可得出()(),,1n m T x T x x X x ε-≤?∈≤。

又由于(),T L X Y ∈，因而有()(),n T T L X Y -∈，且由以上不等式可推出

()0n m T T n N ε

-≤>

即()0n T T n -→→∞，所以空间(),L X Y 是完备的。证毕。

注：赋范线性空间X 上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定

的范数

()

1

sup x X

x f f x ∈==

构成一个Banach 空间，称之为X 的共轭空间，记作*X 。

习题3.1

1.设(),T L X Y ∈，证明：(){}:Ker T x Tx θ==是X 的闭子空间。

2.设()(),,,T L X Y S L Y Z ∈∈，证明：复合算子():,ST X Z L X Z →∈满足

ST S T ≤。

3.[]0,1X Y C ==，定义:T X Y →为()()()[]10

,0,1Tx t t x s ds t =?∈?及

:S X Y →为()()()[],0,1Sx t tx t t =?∈。

（1）问T 与S 可交换吗？（即ST TS =是否成立？） （2）求,,S T TS 及ST 。

4.设X 为所有有界数列组成的线性空间，范数为

{}()1sup i

i

i x a x a ≥==

给定无穷矩阵()ij T t =，满足1

sup ij i

j t ∞

=<∞∑，定义算子:T X X →为Tx y =，其中

{}{},i i x a y b ==，且1

i ij j j b t a ∞

==∑

证明：(),T L X X ∈，且1

sup ij i

j T t ∞

==∑。

5.设,n m X R Y R ==，在,X Y 上定义范数

()1211,,,n

n i

n i x x x x x x R ===∈∑

()1211

,,,m

m i

n i y y y y y y R ===∈∑

矩阵()

ij m n

A a ?=定义算子为y Tx Ax ==

证明：11

max m

ij j n i i

T a ≤≤==∑。

6.设:f R R →连续且可加，即对任意

12,x x R ∈有

()()()1212f x x f x f x +==，证明：f 必为(),f x x x R λ=?∈，其中R λ∈为常数。

7. 设X 和Y 都是Banach 空间，(),T X Y ∈且是满射，证明：对X 中任意稠密子集E ，成立()T E Y =。

8.设X 是Banach 空间，(),T X X ∈，且1T ≤，定义

n

n T T T

T =

为T 的n 次复合，0

T I =为单位算子，证明算子级数0

n n T ∞

=∑在(),T X X ∈中收敛，

且n T θ→（零算子）()n →∞。

3.2 共鸣定理及其应用

许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，Banach-Steinhaus 定理对这一问题给出了回答。

[定义3.4] 设()(),,1,2,3,

n T T L X Y n ∈=称{}n T 一致收敛于T ，是指

()0n T T n -→→∞，

即在算子范数意义下收敛，记为()n T T n →→∞；称{}n T 强收敛于T ，是指对()()(),0n x X T x T x n ?∈-→→∞，记为()S

n T T n ??→→∞。

由定义易知，()()S

n n T T n T T n →→∞???→→∞。但是，反之不成立。例

如，()22

12,,,

,,

n X Y l x l ξξξ===∈，定义()()

12,,n n n T x ξξ++=，则

()S

n T n θ??→→∞，但是，若记

()0,0,

,0,1,0,

i i e ↑

=第项

则11n n T e e +=，故

111

sup 1n n n n x T T x T e e +==≥==

所以对任意自然数n ，有1n T =，即1n T θ-=，故()n T n θ→→∞不成立。

容易证明，有界线性算子列{}n T 一致收敛于有界线性算子T 的充要条件是

{}n T 在X 的单位球上一致收敛于T 。

[定义3.5] 设X 是一个度量空间，A X ?，称A 是X 中的稀疏集，是指A 在

X 中的任何一个非空开集中均不稠密。又称X 是第一纲的，是指X 可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。

例3.8 X =有理数集，定义度量()1212,r r r r ρ=-，则X 是第一纲的，因为

{}1

n n X r ∞

==

，而单点集{}n r 是X 中的稀疏集。

下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire 纲定理，它是证明共鸣定理的关键。

[定理3.7] 设X 是完备的度量空间，则X 是第二纲的。 证明：用反证法。若存在一列稀疏集{}n A 使1

n n X A ∞

==

，任取一个闭球

()(){}0000:,r B x x x x r ρ=≤，由于1A 在开球()00r B x 中不稠密，从而可取一个闭球()()11101r B x r <<，满足()()()1101

110,r r r A B x B x B x =??；又2A 在开球()11r B x 中

不稠密，同理，取闭球()222102r B x r ??<< ??

?，满足()()()2212

221,r r r A B x B x B x =??，

按上述过程一直进行下去，可得出闭球列(){}

n r n B x 满足如下条件：

（1）()()()012012r r r B x B x B x ???；

（2）()

()1,2,3,n r n n B x A n =?=；

（3）10n r n

<<

。 由条件（3）知，()n r n B x 的直径()()

()2

0n r n d B x n n

≤→→∞，由闭球套定理，存在x X ∈，且

(){}1

n r n n B x x ∞==，但是从条件（2）中又有

()1

n r n n B x ∞==?，矛盾，故

X 是第二纲的。证毕。

应用上述定理来证明共鸣定理。

[定理3.8]（共鸣定理） 设X 是banach 空间，Y 是赋范线性空间，算子簇{}():,T L X Y λλ∈∧?，若对任意x X ∈，满足

sup T x λλ∈∧

<+∞

那么

sup T λλ∈∧

<+∞

证明：定义X 上的泛函()p x 为()sup p x T x λλ∈∧

=，则[]:0,p X →+∞且容易

验证()p x 满足

()()()()()(),p x x p x p x p x p x F ααα''+≤+=∈

记 (){}():1,2,3,n A x X p x n n =∈≤=

则1

n n X A ∞

==

。

首先证n A 是闭集。设(),k n k x A x x k ∈→→∞，对每个λ∈∧，因T λ是连续的，所以()0

k T x T x k λλ-→→∞，更有k T x T x λλ→，又()k k T x p x n λ≤≤，故

T x n λ≤，即(),n p x n x A ≤∈。因X 是完备的，由定理3.7，必存在自然数0n ，使0n A 不是稀疏集，从而存在开球()()0000r B x r >使0n A 在()00r B x 中稠密，0n A 是闭的，所以()000n r A B x ?。对任一(){}1:1x B x x θ∈=≤，注意到

()000000,r x r x x r x B x +-∈

则

()()000000,p x r x n p x r x n +≤-≤ ()()()000002p r x p x r x p x r x ≤++-+ ()()000002p x r x p x r x n =++-≤

所以()00n p x r ≤

。对每个()00

,n

T x p x r λλ∈∧≤≤，即

(){}

10

sup :n T T x x B r λλθ=∈≤

进一步有

sup n T x r λλ∈∧

≤

<+∞ 证毕。

上述共鸣定理说明，对每个{},:x X T x λλ∈∈∧有界，则{}:T λλ∈∧有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致有界原理。

一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？(),L X Y 在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了这些问题。

[定理3.9] 设X 是Banach 空间，Y 是赋范线性空间，{}(),n T L X Y ?，若对于每个,lim n n x X T x →∞

∈在Y 中存在，定义线性算子:T X Y →为lim n n Tx T x →∞

=，则

(),T L X Y ∈，且{}n T 有界。

证明：由lim n n T x →∞

在Y 中存在，知n sup T n

x <+∞。据定理3.8知，存在常数

0M >，使n sup T n

M <，故

n n T lim T sup T n n x x x M x →∞??=≤≤ ???

即(),T L X Y ∈。证毕。

[定理3.10] 设X 是赋范线性空间，Y 是Banach 空间，{}(),n T L X Y ?，如果满足下列条件：

（1）{}n T 是有界数列；

（2）在X 中某一稠密子集G 中每个元素{},n x T x 收敛。 则{}n T 强收敛于某一有界线性算子T ，且lim n n T T →∞

≤。

证明：因{}n T 有界，故存在0M >，使对一切1,2,3,

,n n T M =≤。任取

x X ∈，

注意到G 在X 中稠密，故对于任给0ε>，存在y G ∈，使3x y M ε-<。 由条件（2）可知，{}n T y 收敛，故存在自然数N ，使对一切n N ≥以及任意自然数p 有

3n p n T y T y ε+-<

于是

n p n n p n p n p n n n T x T x T x T y T y T y T y T x ++++-≤-+-+-

333M

M

M

M

ε

ε

εε≤++=

故{}n T x 是Cauchy 列，由于Y 是完备的，故{}n T x 收敛。令()lim n n Tx T x x X →∞

=∈，则T 是定义在X 上而值域包含在Y 中的线性算子。再由

()()lim lim lim n n n

n n n Tx T x T x T x →∞

→∞

→∞

=≤≤

可知T 有界，且

lim n n T T →∞

≤

证毕。

本章3.1节定理3.6证明了当Y 是Banach 空间时，(),L X Y 依算子范数是完备的。现在我们可以证明当,X Y 都是完备时，(),L X Y 对于算子列的强收敛也是完备的。

[定理3.11] 设Y X ,都是Banach 空间，则L （X ，Y ）在强收敛意义下是完备的。

证明：设{}n T x ()(),1,2,3

L X Y n ?=是给定算子列，对每个{},n x X T x ∈是

Cauchy 列，故{}n T x 有界，再由一致有界原理可推知{}n T x 有界。注意到Y 是Banach 空间，故对每个{},n x X T x ∈收敛。因此，{}n T 满足定理3.10的条件（1）和条件（2），故{}n T 强收敛于某一有界线性算子T (),L X Y ∈。

下面介绍几个关于共鸣定理应用的例子。

例3.9（Fourier 级数的发散问题）存在以2π为周期的连续函数，其Fourier 级数再给定点发散。

证明：用2C π表示定义在(),-∞+∞上以2π为周期的连续函数全体，赋予范数

()02max t x x t π

≤≤=

那么，2C π是一个Banach 空间。对每个2x C π∈，其前n+1项Fourier 级数的部分和为

()()01

,cos sin 2n

n k k k a S x t a kt b kt ==++∑

()()1

,n

K s t x s ds π

ππ

-

=

? 这里， ()()()1sin 2,12sin 2n n s t K s t s t ????+- ???

????=

??-??

??

令t=0,即()()()()2

1

,0,0,,0n n

n

S x K s x s ds S x C ππππ

-

=?是到R 的有界线性泛函，且

可计算其范数为

1sin 21

12sin 2

n n s S ds s

π

π

π

-

????+ ???

????=

? 注意到

1sin 21

12sin 2n n s S ds s π

π

π

-

????+ ???

????=

? 1sin 21

22sin

22

s n s ds s s

π

π

π

-

????+ ???

????=

? ()

sin 211222

s n ds s π

π

π

-

+≥

?

()21

20

1

sin n d n πμ

μπ

μ

+=

→∞→∞?

所以sup ,n n

S =+∞从而由共鸣定理，必存在某个周期为2π的连续函数02x C π∈，

使极限()lim ,0n n S x →∞

不存在，这意味着()0x t 的Fourier 级数在t=0点发散。同理，

对每一固定点0t ，也必存在02t x C π∈，其Fourier 级数在0t t =点发散。证毕。

例3.10（Lagrange 插值公式的发散性定理） 给定区间[0，1]内插入点

()()()1,1,2,3,

n k

t k n n ≤≤=构成三角矩阵H 为

(1)1(2)(2)12

()()()12

000

00

n n n n

t t t t t t ???????????????

?

那么必存在()[0,1]x t C ∈，使其与插值点相应的n 次插值Lagrange 多项式

()()()

()

(

)

()1n

n

n k k k T x t x t C t ==∑

其中

()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()

11

1

1

1

1

n n n k k

n n

k

n

n

n

n n n n

n k

k

k k

k k

n

t t t t t t t t C t t t t t t t t t --+----=----

当n →∞时，不一致收敛于()x t 。

证明：在[0,1]C 上定义算子序列:[0,1][0,1]n T C C →为

()()(

)()()()1[]n

n

n n k

k

k T x t x t C t ==∑

通过计算得出

[]

(

)

()0,11max n

n n k t k T C t ∈==∑ ()1,2,3,n =

从而{}n T 时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道

n T ≥

()1,2,3,n =

因此，sup ,n n

T =+∞于是由共鸣定理必存在0[0,1]x C ∈，使()0n T x 不收敛于0x ，

即()()0n T x t 不一致收敛于()0x t 。证毕。

例3.11(机械求积公式的收敛性) 在积分近似计算中，通常我们考虑形如

()()0

n

b k

k

a

k x t dt A x t =≈∑? ()0

1n a t

t t b ≤<<

<≤

的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列

()()(

)()0

n

b

n

n

k k

a

k x t dt A x t =≈∑?

（3.4）

其中 ()

()()

01,0,1,2,

n n n n a t t t b n ≤<<<≤=

需讨论的使在什么条件下，当n →∞时，式（3.4）误差趋向于0，这就是机械求积公式的收敛性问题。

现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数[0,1]x C ∈都收敛，即

()(

)

()

()0

n

b n

n k k a

k A x t x t dt =→∑? ()n →∞ （3.5）

当且仅当以下两个条件成立：

（1） 存在常数M>0，使()()00,1,2,

;n

n

k k A M n =≤=∑

（2）

公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。

证明：考虑Banach 空间[,]C a b 上的线性泛函

()()(

)()0,(0,1,2,

)n

n

n

n k k

k f x A x t n ===∑

对于每个[,]x C a b ∈，

()()

()

()

()0

0n

n n n n n k

k

k k k f x A x t A x ==??=

≤ ???

∑∑ 因此，()0n

n

n k k f A =≤∑。

另一方面，对于每个()1,2,

n n =，取[,]a b 上连续函数()0x t ，使得

1n x =且

(

)()()sgn n

n n k

k

x t A = ()1,2,

,k n =

于是

()(

)

0n

n n n n k k f f x A =≥=∑

所以

(

)

0n

n n k k f A ==∑ (1,2,)n =