2011中考数学压轴题精选精析(1)
2011年中考数学压轴题精选精析（10例）
1、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
（3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．
考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。
专题：综合题；分类讨论。
分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；
（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．
解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，
如图1，
∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。．
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。或﹣1＜b＜1；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。
（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．
∵AMPQ四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的上方，
∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，
∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。．
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜错误！未找到引用源。
∴﹣2＜x＜﹣1，
②当点M不在弧AD上时，如图3，
∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形．
③当点M在弧BD上时，
设弧DB的中点为R，则OR∥BF，
当点M在弧DR上时，如图4，
过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，
∴0≤x＜错误！未找到引用源。．
当点M在弧RB上时，如图5，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时不存在满足题意的平行四边形．
④当点M在射线BF上时，如图6，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形．
综上，点M的横坐标x的取值范围是
﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜错误！未找到引用源。．
点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．
2、（2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点
为A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代数式表示）：
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，错误！未找到引用源。；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，
②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求得答案．
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=﹣t；
（2）①不变．
如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=错误！未找到引用源。（t﹣4）（4t﹣16）+错误！未找到引用源。[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣错误！未找到引用源。（t﹣1）（t﹣1）=错误！未找到引用源。t2﹣错误！未找到引用源。t+6．
解错误！未找到引用源。t2﹣错误！未找到引用源。t+6=错误！未找到引用源。，
得：t1=错误！未找到引用源。，t2=错误！未找到引用源。，
∵4＜t ＜5，
∴t1=错误！未找到引用源。舍去， ∴t=错误！未找到引用源。．
（3）错误！未找到引用源。＜t ＜错误！未找到引用源。．
点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
3．（2011?江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型:设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x
=+＞． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+
＞的图象性质．
４．填写下表，画出函数的图象：
x …… 14 13 12
1 2 3 4 …… y ……
……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还
可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+
(x ＞0)的最小值． 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】 解:⑴① x ……
14 13 12
1 2 3 4 …… y …… 174 103 52 2
52 103 174
……
函数1
y x x
=+
(0)x >的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数
1
y x x
=+
(0)x >的最小值为2． 1 x
y
O 1
3 4 5 2 2
3 5
4
－1
－1
③1y x x
=+
=2
21()()x x +=22111()()22x x x x x x +-?+? =2
1()2x x
-
+ 当1x x -
=0，即1x =时，函数1
y x x
=+(0)x >的最小值为2． ⑵仿⑴③2()a
y x x
=+=222()(
)a x x ??+????=222()()22a a a x x x x x x ?
?+-?+?????
=2
2()4a x a x
-
+ 当a x x -
=0，即x a =时，函数2()(0)a
y x x x
=+＞的最小值为4a ． ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．
【分析】⑴将x 值代入函类数关系式求出y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
⑵仿⑴③2()a
y x x
=+=222()(
)a x x ??+????
=2
22()(
)22a a a x x x x x x ??
+-?+????
?=22()4a x a x
-
+ 所以, 当a x x -
=0，即x a =时，函数2()(0)a
y x x x
=+＞的最小值为4a 4．（2011?江苏杨州）在ABC △中，90BAC AB AC M ∠=<°，，是BC 边的中点，
MN BC ⊥交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动．同
时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ MP ⊥．设运动时间为t 秒（0t >）． （1）PBM △与QNM △相似吗？以图１为例说明理由；
（2）若6043ABC AB ∠==°
，厘米． ①求动点Q 的运动速度；
②设APQ △的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；
（3）探求2
2
BP PQ CQ 2
、、三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．
【答案】解：（1）PBM QNM △∽△． 理由如下： 如图1，
MQ MP MN BC ⊥⊥，，
∴9090PMB PMN QMN PMN ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴PMB QMN ∠=．
9090PBM C QNM C ∠+∠=∠+∠=°，°，∴PBM QNM ∠=∠． ∴PBM QNM △∽△．
（2） 9060283BAC ABC BC AB ∠=∠=∴==°
，°，cm ． 又 MN 垂直平分BC ，43BM CM ∴==cm ．
3
303
C MN CM ∠=∴=°，
＝4cm ． ①设Q 点的运动速度为v cm/s ．
如图１，当04t <<时，由（1）知PBM QNM △∽△．
NQ MN
BP MB ∴
=，
即4133
vt v t =∴=，． 如图2，易知当4t ≥时，1v =． 综上所述，Q 点运动速度为1 cm/s ． ② 1284cm AN AC NC =-=-=，
∴如图1，当04t <<时，4334AP t AQ t =-=+，．
A
B
P N Q
C M A
B
C
N
M 图1
图2（备用图）
∴1
2
S AP =
()
()21343348322AQ t t t =-+=-
+·． 如图2，当t ≥4时，343AP t =-,4AQ t =+,
∴1
2
S AP =
(
)
()2
1334348322
AQ t t t =
-+=
-·． 综上所述，()()2
2383042
3834
2
t t S t t ?-+<
（ ）2
2
2
PQ BP CQ =+ 理由如下：
如图 ，延长QM 至D ，使MD MQ =，连结BD 、PD
BC 、DQ 互相平分，∴四边形BDCQ 是平行四边形，∴BD CQ
∥. 90BAC ∠=°，∴90PBD ∠=°，∴22222PD BP BD BP CQ =+=+． PM 垂直平分DQ ，∴PQ PD =．∴222PQ BP CQ =+
【考点】相似三角形的判定,。
【分析】（1）由PMB QMN PMN ∠∠∠和都互余得到PMB QMN ∠= PBM QNM C PBM QNM ∠∠∠∠∠由和都与互余得到=
A
B
P N
Q
C M
A
B
C
N
M
图1
图2（备用图）
D P
Q
从而PBM QNM △∽△．
（2）①由于6043ABC AB ∠==°
，厘米，点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动，故点P 从点B 出发沿射线BA 到达点A 的时间为4秒,从而应分两种
情况04t <<和4t ≥分别讨论。②分两种情况04t <<和4t ≥，把
,A P B P t 和分别用表示求出面积即可。
（3）要探求2
2
BP PQ CQ 2
、、三者之间的数量关系就要把BP PQ CQ 、、放到一个三角形中，故作辅助线延长QM 至D ，使MD MQ =，连结BD 、PD 得到PQ PD =，
=BD CQ ，从而在Rt PBD ?中，22222PD BP BD BP CQ =+=+，
5、（2011?江苏连云港）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 在AB 上，AP=2，点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t/秒（t ＞0），正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S ． （1）当时t=1时，正方形EFGH 的边长是 1 ．当t=3时，正方形EFGH 的边长是 4 ． （2）当0＜t≤2时，求S 与t 的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。
分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH 的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤错误！未找到引用源。时；②当错误！未找到引用源。＜t≤错误！未找
到引用源。时；③当错误！未找到引用源。＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）当t=5时，面积最大；
解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的边长是4；
（2）：①当0＜t≤错误！未找到引用源。时，
S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；
②当错误！未找到引用源。＜t≤错误！未找到引用源。时，
S与t的函数关系式是：
y=4t2﹣错误！未找到引用源。[2t﹣错误！未找到引用源。（2﹣t）]×错误！未找到引用源。[2t﹣错误！未找到引用源。（2﹣t）]，
=﹣错误！未找到引用源。t2+11t﹣3；
③当错误！未找到引用源。＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
y=错误！未找到引用源。（t+2）×错误！未找到引用源。（t+2）﹣错误！未找到引用源。（2﹣t）（2﹣t），
=3t；
（3）当t=5时，最大面积是：
s=16﹣错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。；
点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．
6．（2011?江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研
A
D C
B
P 1 P 2 P 3 P 4
Q 1
Q 2 Q 3 Q 4
图3
究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ． 经探究知2121R R P P S 四边形＝1
3 S △ABC ，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．
问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若 S 四边形ABCD ＝1，求3322P Q Q P S 四边形．
问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3 将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．
【答案】解：问题1：∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ，
∴P 1R 1∥P 2R 2∥BC ．∴△AP 1 R 1∽△AP 2R 2∽△ABC ，且面积比为1:4:9．
A
B
C
图1
P 1 P 2
R 2 R 1
A
B
C
图2
P 1 P 2
R 2
R 1
D
Q 1
Q 2
A
D
P 1 P 2 P 3
B
Q 1
Q 2 Q 3 C
图4
S 1 S 2 S 3
S 4
∴2121R R P P S 四边形＝
4－19 S △ABC ＝1
3
S △ABC 问题2：连接Q 1R 1，Q 2R 2，如图，由问题1的结论，可知 ∴2
121R R P P S 四边形＝13 S △ABC ，2211Q R R Q S 四边形＝1
3
S △ACD ∴2121R R P P S 四边形＋2211Q R R Q S 四边形＝1
3
S 四边形ABCD
由∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ，Q 1，Q 2三等分边DC ， 可得P 1R 1:P 2R 2＝Q 2R 2:Q 1R 1＝1:2，且P 1R 1∥P 2R 2，Q 2R 2∥Q 1R 1． ∴∠P 1R 1A ＝∠P 2R 2A ，∠Q 1R 1A ＝∠Q 2R 2A ．∴∠P 1R 1Q 1＝∠P 2R 2 Q 2． 由结论（2），可知111Q R P S ?＝222Q R P S ?．
∴2211P Q Q P S 四边形＝2211P R R P S 四边形＋2211Q R R Q S 四边形＝1
3 S 四边形ABCD ．
问题3：设2211P Q Q P S 四边形＝A ，4433P Q Q P S 四边形＝B ，设3322P Q Q P S 四边形＝C ， 由问题2的结论，可知A ＝1
3
33P ADQ S 四边形，B ＝13
CB Q P S 22四边形．
A ＋
B ＝13 (S 四边形ABCD ＋C)＝1
3
(1＋C)．
又∵C ＝13 (A ＋B ＋C)，即C ＝13 [1
3 (1＋C)＋C]．
整理得C ＝15 ，即3322P Q Q P S 四边形＝1
5
问题4：S 1＋S 4＝S 2＋S 3．
【考点】平行的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换。
【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。
问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。
问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。
问题4：由问题2可知S 1＋S 4＝S 2＋S 3＝1
2
ABCD S 。
7．（2011?江苏南通）如图，已知直线l 经过点A (1，0)，与
双曲线y ＝m
x
(x ＞0)交于点B (2，1)．过点P (p ，p －1)(p ＞1)作x 轴的平 行线分别交双曲线y ＝m x (x ＞0)和y ＝－m
x
(x ＜0)于点M 、
A
B
C
图2
P 1 P 2
R 2
R 1
D
Q 1
Q 2
O
A
B
l x
y
N ．
(1)求m 的值和直线l 的解析式；
(2)若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
(3)是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若 不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)由点B (2，1)在y ＝m x 上，有2＝1
m
，即m ＝2。
设直线l
的解析式为y kx b =+，由点A (1，0)，点B (2，1)在y kx b =+上，得
， ，解之，得1=1k b =-， ∴所求 直线l 的解析式为 1y x =-。
(2) 点P (p ，p －1)在直线y ＝2上，∴P 在直线l 上，是直线y ＝2和l 的交点，见图（1）。
∴根据条件得各点坐标为N （－1，2），M （1，2），P （3，2）。
∴NP ＝3－（－1）＝4，MP ＝3－1＝2，AP ＝2222822+==， BP ＝22112+=
∴在△PMB 和△PNA 中，∠MPB ＝∠NPA ，2NP AP
MP BP
==。 ∴△PMB ∽△PNA 。
(3)S △AMN ＝()1
11222
?+?=。下面分情况讨论：
当1＜p ＜3时，延长MP 交X 轴于Q ，见图（2）。设直
线MP 为y kx b =+则有
211k b p pk b =?+-=+解得 3
1
1
1
p k p p b p -=
-+=
-
则直线MP 为31
11
p p y x p p -+=
+
-- 当y ＝0时，x ＝
13p p +-，即点Q 的坐标为（13p p
+-，0）。 则()2111143
121123233AMP AMQ APQ
p p p p S S S p p p p
???????++-+-=-=-?---=
? ?---????， 由2＝42433p p p -+-?-有22990p p -+=，解之，p ＝3（不合，舍去），p ＝3
2
。
0k b +=
21k b +=
②当p ＝3时，见图（1）S △AMP ＝1
2222
??=＝S △AMN 。不合题意。
③当p>3时，延长PM 交X 轴于Q ，见图（3）。
此时，S △AMP 大于情况②当p ＝3时的三角形面积S △AMN 。故不存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP 。 综上，当p ＝3
2
时，S △AMN ＝4S △AMP 。
【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。
【分析】(1)用点B (2，1)的坐标代入y ＝m
x 即可得m 值，用待定系数法，求解二元一次方
程组可得直线l 的解析式。
(2)点P (p ，p －1)在直线y ＝2上，实际上表示了点是直线y ＝2和l 的交点，这样要求证△PMB ∽△PNA 只要证出对应线段成比例即可。
(3)首先要考虑点P 的位置。实际上，当p ＝3时，易求出这时S △AMP ＝S △AMN ，当p>3时，注意到这时S △AMP 大于p ＝3时的三角形面积，从而大于S △AMN ，。所以只要主要研究当1＜p ＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP 的方程，再求出各点坐标（用p 表示），然后求出面积表达式，代入S △AMN ＝4S △AMP 后求出p 值。
8．（2011?江苏苏州）已知二次函数()
()2680y a x x a =-+>的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O'恰好落在该抛物线
的对称轴上，求实数a 的值；
(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位
于边EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是
否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
【答案】
【考点】二次函数,图形的翻转,300角的直角三角形的性质, 平行四边形的判定,一元二次方程.
【分析】(1)先利用点在二次函数上点的坐标满足方程和300角的直角三角形300角所对的直角边是斜边的一半, 求出点A,B,C的坐标,再求出a.
(2)比较四线段的长短来得出结论.
(3)由点A,B是抛物线与X轴的交点, 点P在抛物线对称轴上,所以PA=PB,要PA,PB,PC,PD
构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD, 从而推出a。
（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相
交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半
轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB
的平分线上；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由。 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB 为正方形
OA=OB=a·cos45°=
22a ∴P 点坐标为（22a ，2
2
a ） （2）作DE ⊥x 轴于E,PF ⊥x 轴于F, 设A 点坐标为（m,0）,B 点坐标为（0,n ）
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO 在△AOB 和△DEA 中：
????
?=∠=∠?
=∠=∠AD
AB DAE
ABO DEA AOB 90 ∴△AOB ≌和△DEA （AAS ） ∴AE=0B=n,DE=OA=m, 则D 点坐标为（m+n,m ）
∵点P 为BD 的中点，且B 点坐标为（0,n ） ∴P 点坐标为（
2n m +,2n m +）∴PF=OF=2
n
m + ∴∠POF=45°, ∴OP 平分∠AOB 。即无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；
（3）当A,B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动时，设PF 与PA 的夹角为α， 则0°≤α＜45° h =PF=PA·cosα=
2
2
a·cosα ∵0°≤α＜45° ∴
22＜cosα≤1 ∴2
1
a ＜h≤22a 【考点】正方形性质, 特殊角三角函数, 全等三角形,, 直角梯形． 【分析】⑴ 根据已知条件, 用特殊角三角函数可求.
（2）根据已知条件, 假设A 点坐标为（m,0）, B 点坐标为（0,n ）并作DE ⊥x 轴于E,PF ⊥x 轴于F, 用全等三角形等知识求出点D,P,E,F 坐标(用m,n 表示), 从而证出PF=OF, 进而∠POF=45°.因此得证.
（3）由（2）知∠OPF=45°,故0°≤∠OPA ＜45°,2
2
＜cos ∠OPA≤1, 在Rt △APF 中PF=PA·
cos ∠OPA,从而得求.
10．（2011?江苏无锡）(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级[ 现行征税方法草案征税方法
月应纳税额x 税率速算扣除数月应纳税额x 税率速算扣除数
1 x≤5005％0 x≤1 5005％0
2 500 3 2000 4 5000 5 9000 5 20000 注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额． “速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数． 例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)． 方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。 (1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整； (2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元? (3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元? 【答案】解: (1)75, 525 (2) 列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y: 税级现行征税方法月税额缴个人所得税y 草案征税方法月税额缴个人所得税y 1 y≤25y≤75 2 25 3 175 4 625 5 3625 因为1060元在第3税级, 所以有20%x－525=1060, x=7925(元) 答: 他应缴税款7925元. (3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级, 假设个人收入为k, 刚有 20%(k－2000) －375=25%(k－3000)－975 k=19000 所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(19000－2000)×20%－375=3025(元) 【考点】统计图表的分析。 【分析】(1) 当1500 x x ?+-?元 15005%150010%=10%-75 当4500 x x ?+?+-?元 %-5 15005%300010%450020%=2025 (2) 缴了个人所得税1060元, 要求应缴税款, 只要求出其适应哪一档玩税级, 直接计算即可. (3) 同(2), 但应清楚“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额, 而“个税法草案”拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元, 依据此可列式求解. 中考数学压轴题1:新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲： 以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型题 【1】（2005，宜宾）如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张． (1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米. (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨 城市？请说明理.(参考数据，)． 点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解 决，也可借助于方程． 【2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实 施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和 航速的前提下，问： ⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）． 点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图． 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3 4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交 矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8 中考数学压轴题汇编（1） 1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。 （1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝1 2 时，这种变 换满足上述两个要求； （2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】（1）当P=1 2 时，y=x＋() 1 100 2 x -,即y= 1 50 2 x+。 ∴y随着x的增大而增大，即P=1 2 时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y=1 10050 2 ?+=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～ 100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1 2 时，这种变换满足要求；……6分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()2 20 a x k -+,……8分 ∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a ×802 ＋k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=? ， ∴()212060160y x = -+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -， 与(2B m +，是反比例函数 k y x = 图象上的两个点． （1）求k 的值； （2）若点(10)C -， ，则在反比例函数k y x =图象上是否存在点 D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在， 求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1 ）由(1)2(m m -=+ ，得m =- k =． ····· 2分 （2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE = ，BE = ，BC =，因此 30BC E = ∠． 由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120AC B = ∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ． 由于30D A F = ∠，设11(0)D F m m => ，则1AF = ，12AD m =， 由点(1A --， ，得点11(1)D m -+-，． 21、直线y= -x+m 与直线y=3 3 x+2相交于y 轴上的点C ，与x 轴分别交于点A 、B 。 （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（3分） （2）经过上述A 、B 、C 三点作⊙E ，求∠ABC 的度数，点E 的坐标和⊙E 的半径；（4分） （3）若点P 是第一象限内的一动点，且点P 与圆心E 在直线AC 的同一侧，直线PA 、PC 分别交⊙E 于点M 、N ，设∠APC=θ，试求点M 、N 的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分） 21、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第 一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）（2分）求点A 、E 的坐标； （2）（2分）若y=c bx x 7 362 ++- 过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）（5分）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及 L 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。 22、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是 BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HO ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 O D B H E C 2006年 21．(10分)如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长. (2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0） 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 图9B C O y x A 代数几何综合（压轴） 201222/23 201123 201022/23 200922/23 200822 200722/23 200621/22 解析 压轴、 200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 图10－1M G O D B E A C x y F 图10－2p B G C E M O D A x y 200622．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8 (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB 的边长为1，点D 在x 轴的正半轴上，且OD OB =，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标． （3）求过B O D ，，三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：① 22525 5555 ==； ② 11(21)2121(21)(21)?+==+--+；③15353 235(53)(53) --== ++-等运算都是分母有理化） A B C 图6 O E D y x 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 压轴、 200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形若存在，求出所有符合 条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 200622．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A B 、两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G 、两点，交y轴于C D 点，若点A的坐标为（－2，0），AE8 (1)(3分)求点C的坐标 解： 图10－1 (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF OF 化规律. 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB 的边长为1，点D 在x 轴的正半轴上，且OD OB ，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E的坐标． （3）求过B O D ，，三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考 2525 5 55 = =； 1 ==； == 分母有理化） 200723．如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12 y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少 （3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM +=是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明： 222111 +=． D 2011年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程 1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5． （1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根． （1）求m的值； （2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长． 3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β． （1）试用含有α、β的代数式表示m和n； （2）求证：α≤1≤β； （3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1 2 ，1），C （1，1），问是否存在点P，使m＋n＝5 4 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．请阅读下列材料： 问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y 2 ． 把x＝y 2 代入已知方程，得( y 2 )2＋ y 2 －1＝0． 化简，得y2＋2y－4＝0． 故所求方程为y2＋2y－4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）； （1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________； （2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 年中考数学选择题压轴题汇编 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25） 2011年中考数学压轴题精选精析（10例） 1、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离； （2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围； 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围； （3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围． 考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。 专题：综合题；分类讨论。 分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离； （2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可． 解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上， 如图1， ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD， 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。， ∵AE∥BF， ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。． （2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。或﹣1＜b＜1； 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。 （3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2． ∵AMPQ四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的上方， ∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合， ∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。． ∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜错误！未找到引用源。 ∴﹣2＜x＜﹣1， ②当点M不在弧AD上时，如图3， ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M在弧BD上时， 设弧DB的中点为R，则OR∥BF， 当点M在弧DR上时，如图4， 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点． ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形， ∴0≤x＜错误！未找到引用源。． 当点M在弧RB上时，如图5， 直线PQ必在直线AM的下方， 此时不存在满足题意的平行四边形． ④当点M在射线BF上时，如图6， 直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． 综上，点M的横坐标x的取值范围是 2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A2011年中考数学压轴题型
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