分段函数与绝对值函数练习

分段函数与绝对值函数练习

一、双基题目练练手

1.设函数f （x ）=?????≥--<+,

114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］

C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］

2．(2006安徽)函数2

2,0

,0x x y x x ≥?=?-

A

．,020x

x y x ?

≥?=< B

．2,0

0x x y x ≥??=< C

．,020x

x y x ?≥?=??

．2,0

x x y x ≥??=?

3．(2007启东质检)已知21[1,0)

()1[0,1]x x f x x x +∈-?=?+∈?，，，则下列函数图象错误．．的是(

)

4.（2006全国Ⅱ）函数19

1

()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45

5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=???<-≥-),2(2),

2(2x x x 则f （lg30－lg3）

=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.

6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}???≥=b a b b

a a

b a ＜,,,max 则函数

(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .

7.

已知函数13

2

(0)()(01)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}=

8.函数221(0)()(0)x x f x x

x ?+≥?=?-

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|

=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|

≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|

≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…

5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2， f （x －1）=???<-≥-.

32,33x x x 当x ≥3时，x （x －3）＜10?－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.

当x ＜3时，－2x ＜10?x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5}

6. 由()()2

1212122≥?-≥+?-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ???+≥ ?????=????-< ?????

如右图()min 1322f x f ??== ??? 7.12

-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。 二、经典例题做一做

【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=?

??-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000，

∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+

的奇偶性。 解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；

当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x

=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；

（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为

[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．

解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x x f x x x

?-≥??=??-<

∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数．

由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b +=

．∴2ab a b =+>

1>，即1ab >

（2）不存在满足条件的实数,a b ．

若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x

==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x x f x x x

?-≥??=??-<

=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =??=?，即11,11.b a a b

?-=????-=??，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．

②当,a b ∈[)1,+∞时，1()1f x x =-在（1，＋∞）上为增函数．故(),().

f a a f b b =??=?，即11,11.a a b b

?-=????-=?? 此时,a b 是方程210x x -+=的根，由于此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数,a b ．

③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =?，故此时不存在适合条件的实数,a b ．

综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为

[,]ma mb ，则0,0a m >>．

①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ， 即11,11.mb a ma b

?-=????-=?? 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在． ②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞． ∵|11|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =??=?，即11,11.ma a mb b

?-=????-=?? ,a b 是方程210mx x -+=有两个根．

即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根．

设这两个根为12,x x ．则121211,x x x x m m

+=?=

∴1212

0,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ?>??-+->??-->?即140,120.m m ->???->?? 解得104

m <<． 综上m 的取值范围是104m <<

． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。 （Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；

解：（I ）∵t=x +1+x -1,

∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1.

∵t 2=2+22

1x -∈[2,4],t ≥0, ① ∴t 的取值范围是[2,2]. 由①得2

1x -=2

1t 2-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=2

1at 2+t-a,t ∈[2,2]. (Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=2

1at 2+t-a, t ∈[2,2]的最大值. 注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 21at 2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论. (1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由 t=-a

1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.

(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.

(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段. 若t=-a

1∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-

a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a 21.

若t=-a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-2

1,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有

g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ?+>-???---<≤-??≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(21t 2-1)+t=2

1at 2+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论.

【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f (t )=???≤<-≤≤-;

300200,3002,2000300t t t t ， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=

2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得

h (t )=f (t )－g (t )

即h (t )=???????≤<-+-≤≤++-3002002102527200

12000217521200122t t t t t t ，，

当0≤t ≤200时，配方整理得

h (t )=－200

1(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；

当200

h (t )=－200

1(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．

综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.