2021年中考数学专项训练： 动态型问题(含答案)

一、选择题

9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，

（第9题）

动点P沿路径A→B →C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂足为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的面积为y，则y关于x的函数图像大致是( )

{答案}D

{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=√3

2

x，PH=1

2

x，∴y=√3

2

x×1

2

x÷2=√3

8

x2，y是x的二次函数,当x=4时，y=2√3；

当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+2√3，y是x的一次函数，当x=10时，y=6+2√3；

当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y是x的一次函数，y随x的增大而减小.故选D.

9．（2020·南通）矩形ABCD中，E为AD边上的一点，动点P沿着B－E－D运动，到D停止，动点Q沿着B－C运动到C停止，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的面积记为y cm2，y与x的关系如图所示，则矩形ABCD的面积为

A．96 B．84 C．72 D．56

{答案}C

{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，

A

B

E D

C

P

Q

30

y/cm2

11

103022

y BQ EH EH =

?=??=，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的面积＝12×6＝72，故选C ．

（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

{答案}

{解析}根据Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，可得AB ＝4，根据CD ⊥AB 于点D ．可得AD ＝BD ＝2，CD 平分角ACB ，点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，分两种情况讨论：根据PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，可得四边形CEPF 是矩形和正方形，设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，进而可得能反映y 与x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象． ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2， ∴AB ＝4，∠A ＝45°， ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴AD ＝BD ＝2， ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，

∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，

则AE＝PE＝x?sin45°=√2

2x，

∴CE＝AC﹣AE＝2√2?√2

2x，

∵四边形CEPF的面积为y，

∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，

y＝PE?CE

=√22x（2√2?√22x）

=?12x2+2x

=?12（x﹣2）2+2，

∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；

当点P沿D→C路径运动时，

即2≤x＜4时，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴PE＝PF，

∴四边形CEPF是正方形，

∵AD＝2，PD＝x﹣2，

∴CP＝4﹣x，

y=1

2（4﹣x）

2=1

2（x﹣4）

2．

∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．

9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）

A.12

B. 8

C.10

D.13

{答案}C

{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

当P点分别与A、B重合时，PC=13，由此可推出：△ABC是等腰三角形，AC=BC=13；

当CP⊥AB时，PC的值最小，即△ABC中，AB上的高为12，此时P点恰好运动至AB的中点，

∴22

13125

AP，∴210

AB AP．

9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．25cm2B．

100

3

cm2C．50cm2D．75cm2

【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2√2x＝20，解方程即可解决问题．

【解析】：如图：设OF＝EF＝FG＝x，

∴OE＝OH＝2x，

在Rt△EOH中，EH＝2√2x，

由题意EH＝20cm，

A B

C

∴20＝2√2x ， ∴x ＝5√2，

∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm 2） 故选：C ．

11．（2020·淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

【解析】由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），

当y ＝8时，PC =√BC 2?BP 2=√102?82=6，△ABC 的面积=1

2×AC ×BP =1

2×8×12＝48，故选：D ． 二、填空题 15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的

O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形

的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2的速度向左运动__________秒时，

O 与正方形重叠部分的面积为2

2cm 3π?- ?．

{答案}1或1163．

{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是

本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．

解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB

由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB

在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝

1

12

OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 2

60π212=

23

π3360

2

3

∴OF 1

∴点F 向左运动3(31)

23个单位

23

=123

秒

②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD

在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝

1

OC 12

，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 2

60π212=

23

π3360

2

3

∴OF 1

∴点F 向左运动3(31)

43个单位

43

=116323

秒 综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π3(cm )3

故答案为：1或1163．

17．（2020?湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE

与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．

（第17题图）

{答案}2

{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD

＝8，ED =

==，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′

＝2，E ′D ′＝ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′

中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′=

==，∴S △MFE ′1

2

=

t M E ′?FE ′12=?t t

2

2=

，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′?E ′D ′＝2×=，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝2

2

t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．

17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB

的中点，点P 是边BC 上一动

点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，

其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．

{答案}7

{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =1

2

AB ．从图象中可以看出，当x 的值最大时，所对应的函数值是此时点P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32

AB =AB =AC ，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最小值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝

AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC =∠C =30°，由轴对称可得BF =BE ，∠ABC =∠FBP =30°，∴∠EBF =60°，∴△EBF 是

等边三角形，∴EF =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE = EF ，易证△ABF 是直角三角形，∴AF =AB ·sin ∠ABF ==，即a =3，在△ABF 中，∠AFB =90°，∠ABF =60°，∴∠BAF =30°，∵∠BAC ＝120°，∴∠P AC =∠BAC －∠BAF =90°，∴cos C =cos30°=

AC PC PC 2233

=4，即b =4，∴a +b =7．

三、解答题 24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,DE ,BF 分别平分∠ADC ,∠ABC ,并交线段AB ,CD 于点E ,F (点E ,B 不重合).在线段BF 上取点M ,N (点M 在BN 之间),使BM ＝2FN .当点P 从点D 匀速运动到点E 时,点Q 恰

好从点M 匀速运动到点N .记QN ＝x ,PD ＝y ,已知6

125

y x =-

+,当Q 为BF 中点时245

y =.

(1)判断DE 与BF 的位置关系,并说明理由. (2)求DE ,BF 的长.

E

(3)若AD＝6.

①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.

②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.

{解析}这是一道四边形动点综合题。

（1）根据四边形内角和360°得到∠ADC＋∠ABC＝180°，再根据角平分线得∠ADE＋∠ABF＝90°.由直角三角形两锐角互余得到∠AED＝∠ABF,从而DE∥BF.

（2）由y＝－6

5

x＋12，令x＝0得y＝12，所以DE＝12.令y＝0得x＝10，得MN＝10

把y＝24

5

代人y＝－

6

5

x＋12，得x＝6，即NQ＝6，从而QM＝10－6＝4.

由Q是BF中点，得到FQ＝QB.因为BM＝2FN，所以FN＋6＝4＋2FN，得FN＝2，BM＝4，

所以BF＝FN＋MN＋MB＝16.

（3）①连结EM并延长交BC于点H，由四边形DFME是平行四边形，从而DF＝EM.根据AD＝6，DE＝12.∠A＝90°，得到∠DEA＝30°＝∠FBE＝∠FBC.再由∠ADE＝60°＝∠CDE＝∠FME，所以∠MEB＝∠FBE＝30°，∠

EHB＝90°，所以DF＝EM＝BM＝4，求的BE＝

当DP＝DF时：－6

5

x＋12＝4，解得x＝

20

3

，所以BQ＝14－x＝14－

20

3

＝

22

3

，所以BQ＞BE.

②分类讨论：（i）当PQ经过点D时；（ii）当PQ经过点C时；（iii）当PQ经过点A时。{答案}解：（1）DE∥BF，理由如下（如图1）：

∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－（∠A＋∠C）＝180°

∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，∴∠ADE＝1

2

∠ADC，∠ABF＝

1

2

∠ABC，

∴∠ADE＋∠ABF＝1

2

×180°＝90°. ∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF,∴DE∥BF.

（2）令x＝0得y＝12，∴DE＝12.令y＝0得x＝10，∴MN＝10

把y＝24

5代人y＝－

6

5x＋12，得x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10－6＝4.

∵Q是BF中点，∴FQ＝QB.∵BM＝2FN，∴FN＋6＝4＋2FN，得FN＝2，BM＝4，∴BF＝FN＋MN＋MB＝16. （3）①如图2.连结EM并延长交BC于点H，

∵FM＝2＋10＝12＝DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF＝EM.

∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，∴∠DEA＝30°＝∠FBE＝∠FBC.

∵∠ADE＝60°＝∠CDE＝∠FME，∴∠MEB＝∠FBE＝30°，∠EHB＝90°，

∴DF＝EM＝BM＝4，∴MH＝2，HB＝

BE＝

.

当DP＝DF时：－6

5x＋12＝4，解得x＝

20

3∴BQ＝14－x＝14－

20

3＝

22

3

∵22

3＞

∴BQ＞BE.

②（i）当PQ经过点D时（如图3）y＝0，∴x＝10

E 图

2

E 图3

（ii ）当PQ 经过点C 时（如图4），

∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP,∴FQ CF DP CD =，∴2+8

612125

x x =

-+，解得x ＝

103 （iii ）当PQ 经过点A 时（如图5），

∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴

PE AE

QB AB

=.∵AE ＝

=AB ＝

∴6

12(12)

514x x --+=-，解得x ＝143.由图可知，PQ 不可能过点B. 综上所述，当x ＝10，

103,14

3

时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点. 26．（2020·黔东南州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点D 的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式．

（2）在y 轴上找一点E ，使得△EAC 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标．

（3）点P 是x 轴上的动点，点Q 是抛物线上的动点，是否存在点P 、Q ，使得以点P 、Q 、B 、D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 、Q 坐标；若不存在，请说明理由．

{解析}（1）已知抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，然后将点C 坐标代入求解；

（2）先求出点A ，C 坐标，设出点E 的坐标，表示出AE ，CE ，AC ，根据等腰三角形的两边相等，再分三种情况建立方程求解；

（3）利用平移先确定点Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q 的横坐标，即可得出结论． {答案}解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4， 将点C （0，﹣3）代入抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣4中，得a ﹣4＝﹣3，∴a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4＝x2﹣2x ﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y ＝x2﹣2x ﹣3，令y ＝0，则x2﹣2x ﹣3＝0， ∴x ＝﹣1或x ＝3，∴B （3，0），A （﹣1，0），令x ＝0，则y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3），∴AC =√10，设点E （0，m ），则AE =√m 2+1，CE ＝|m+3|， ∵△ACE 是等腰三角形，∴①当AC ＝AE 时，√10=√m 2+1， ∴m ＝3或m ＝﹣3（点C 的纵坐标，舍去），∴E （3，0），

②当AC ＝CE 时，√10=|m+3|，∴m ＝﹣3±√10，∴E （0，﹣3+√10）或（0，﹣3?√10）， ③当AE ＝CE 时，√m 2+1=|m+3|，∴m =?4

3，∴E （0，?4

3），

即满足条件的点E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+√10）、（0，﹣3?√10）、（0，?4

3）；

E

图4

图5

E

（3）如图，存在.

∵点D的坐标为（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，

∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2√2或t＝1﹣2√2，∴Q（1+2√2，4）或（1﹣2√2，4），

分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴点P的横坐标为（1+2√2）﹣2＝﹣1+2√2或（1﹣2√2）﹣2＝﹣1﹣2√2，

即P（﹣1+2√2，0）、Q（1+2√2，4）或P（﹣1﹣2√2，0）、Q（1﹣2√2，4）．

22．（2020·河南）小亮在学习中遇到这样一个问题:

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题

的探究过程补充完整:

BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值.

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

操作中发现:①“当点D为弧的中点时，BD=5.0”，则上表中的值是；

②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.

(2)将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为CD

y和

FD

y，并在平面直角坐标系

xOy中画出了函数

FD

y的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数

CD

y的图象；

(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).

{解析}（1）①根据在“同圆中，等弧所对的弦相等”可得CD=BD=5.0；②由题意易得△ACF≌△ABD，

∴CF=BD；（2）根据（1）表格中的数值描点、连线即可；（3）先画出函数图像，根据函数图象的交点确定线段BD长度的近似值.

如图，点D是弧BC上一动点，线段BC=8cm，点A是线段BC的

中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F，当△DCF为等

腰三角形时，求线段BD的长度.

{答案}解：(1)①5.0；② 由题意可得，△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ； (2)

CD

y 的图象如图所示.

(3)

CF

y 的图象如图所示.

△DCF 为等腰三角形时，线段BD 的长度约为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm .(答案不唯一) 26．（2020·衡阳）如图1，平面直角坐标系x o y 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC =8，顶点A 在y 的正半轴上，OA =2，动点E 从(3，0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止，另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止，已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒(t ≥0). (1)当点H 落在AC 边上时求t 的值； (2)设正方形FGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S =91

36

?若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒

OD -DC -CD - DO 运动，到达点O 停止运动，请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能，求出点M 在正方形EFCH 内(含边界)的时长；若不可能，请说明理由.

(第 26题图1) (第26题图2)

{解析}本题考查了考查了三角形相似的判定及其性质、勾股定理分类讨论思想、数形结合思想等知识，是动点综合题，根据题意画出图形是解题的关键．（1）当点H 落在AC 边上时，△CHE ∽△CAO ，HE ＝1，可以确定

CE 的长度，得到答案； （2）分0≤t≤4、4

3

3

EFGH-

S △HPQ=91

36，列方程求得符合条件的t 的值；

（3）可能，把点M 从点O 出发，以每秒

OD-DC-CD- DO 运动，看成垂足N 从点O 出发，以每秒4个单位的速度沿OC-CO 运动，再通过N 、E 的路程关系列不等式求得符合条件的范围，从而求出点M 在正方形EFCH 内(含边界)的时长．

{答案}解：（1）当点H 落在AC 边上时，△CHE ∽△CAO ，HE ＝1，∴HE CE AO CO =，即12

4CE

=

，∴CE ＝2，又∵点E 从距离C 点1个单位的位置出发，所以t ＝1；

(第 26题答图1)

(2)当0≤t≤4时，点E 、F 都在运动，正方形FGH 的边长为1，正方形FGH 与△ABC 重叠面积S≤1，故此时不存在正

方形FGH 与△ABC 重叠面积S=91

36；

当4

EF=4-( t-3)=7-t ，当H 在AB 边上时，△BEH ∽△BFA ，∴HE BE AO BO =，即472

HE t =

-，∴HE=72t

-，∵HE=EF ，∴72t -= t-3，解得t=133，正方形EFGH 的面积为EF2=2

16913931336??-=<

???，即4

3时，不存在正方形FGH 与△ABC 重叠面积S=91

36；

(第 26题答图2) (第 26题答图3)

当13

3

-，

HQ=EH- QE =

EF- QE= t-3-7

2

t-

=

313

2

t-

，又△BEQ∽△PHQ，∴

QE BE

QH PH

=

，即

1

2

QE QH

BE PH

==

，PH=2(

313

2

t-

)=3t-13，

正方形EFGH与△ABC重叠面积S=S正方形EFGH- S△PHQ=( t-3)2-

()()

11

313313

22

t t

-?-

=

2

527133

424

t t

-+-

=91

36，解得t1=

92

15，t2=

14

3，又

13

3

92

15不符合条件，舍去，所以存在t=

14

3，使得S=

91

36，综上，存

在t=14

3，使得S=

91

36；

(3)如图，在Rt△AOC中，

AC==，又D是AC的中点，∴OD=

1

2

AC DC

=，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒

OD-DC-CD- DO运动，到达点O停止运动，M的运动时间t的范围是0≤t≤2，

过M作MN⊥OC于N，当点M从点O出发，以每秒2

5个单位的速度沿OD-DC-CD- DO运动时，相当于点N

从点O出发，以每秒4个单位的速度沿OC-CO运动，到达点O停止运动，当0≤t≤1时，N运动的路程为4t，E运动的路程

为t，当3≤4t+t≤4时，即0.6≤t≤0.8时点M在正方形EFGH内；当1

4

3≤t≤

5

3时点M在正方形EFGH内，综上，0.6≤t≤0.8或

4

3≤t≤

5

3时，点M在正方形EFGH内，点M在正方形EFCH内(含边界)的时长为0.2+

1

3=

8

15秒．

(第 26题答图4)

24．（2020·青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0

解答下列问题:

(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；

(3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S(2

cm)，求S与t的函数关系式；

(4)点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）∵AB ∥CD ，∴BE

CE

BF CM =，又∵AB=BE=8cm ，BC=BF=6cm ， ∴8686-=CM ，∴CM=2

3

. ∵点M 在线段CQ 的垂直平分线上，∴t=MQ=CM=2

3

.

∴当t=2

3

时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上.

（2）如图所示，

∵∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8，BC=BF=6，∴AC=EF=10. 又∵GH ⊥AB 于点H ，QN ⊥AF 于点N ，AB ∥CD ， ∴

AC CB AP PH =，EF BE QF QN =，EB EC

EF EM =,

∴1062=t PH ，10810=--EM t QN ，8

6

810-=EM ，

∴t PH 56=

，25=EM ，t QN 5

2

6-=. ∵四边形PQNH 为矩形，∴PH=QN ，即t t 52656-=，∴t=4

15

.

（3）如图所示，作QN ⊥AF 于点N ，交DM 的延长线于点I ，

∵GH ⊥AB 于点H ，QN ⊥AF 于点N ，AB ∥CD ， ∴

AC CP AB BH =，EF BE QF QN =，EB EC EF EM =，EM

QM

CE QI =，

∴

102108t BH -=，10810=--EM t QN ，8

6810-=EM ，

2

52t

QI =， ∴t BH CG 588-==，25=EM ，t QN 526-=，t QI 5

4

=.

∴QHF QCM GMFH QCGH S S S S S △△梯形四边形--==

QN BF BH QI CM BC BF BH CM CG ?+-?-?+++=)(21

21)(21 )5

26)(6588(215423216)658823588(21t t t t t -+--??-?+-++-=

)52

6)(547(53)516247(

3t t t t -----= )25853842(5354821412t t t t +----= 225853842535482141t t t t -+---= 2

57

5132582+--=t t (0

（4）存在t=27

，使点P 在∠AFE 的平分线上.理由如下：

如图所示：

∵AB ∥CD ，点P 在∠AFE 的平分线上，∴

AP

PC

AF CK =，∠MKF=∠AFK=∠MFK ，

∴MK=MF ，∴CK=MK-CM=MF-CM=EF-EM-CM=2

32510--=6. 又∵AF=AB+BF=8+6=14，AP=2t ，PC=10-2t ，

∴

t t 2210146-=，∴t=2

7. 经检验，t=2

7

符合题意.

∴点P 在运动过程中，存在t=

2

7

，使点P 在∠AFE 的平分线上. 23．（2020·岳阳）如图1，在 ABCD 中，AB =6，BC =8,动点P ，Q 分别从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA ，AB 上沿C →A ，A →B 的方向运动，当点Q 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动. 设点P 运动的时间为t （s ），连接PQ ，过点P 作PE ⊥PQ ，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE . (1)如图2，当t =5s 时，延长EP 交边AD 于点F . 求证：AF =CE ；

(2)在(1)的条件下，试探究线段AQ ，QE ，CE 三者之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，当t>

94s 时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分∠AFP ，求AF

CE

的值.

图1 图2 图3

{解析}（1）根据运动速度和时间求出CP=5，由勾股定理可得AC =10，从而可得AP=CP=5，然后根据矩形的性质可得AD //BC ，从而可得∠F AP =∠ECP ，∠AFP =∠CEP ，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）连接FQ ，由(1)得FP =EP ，再根据垂直平分线的判定与性质可得QF =QE ，最后根据勾股定理、等量代换即可得证；

（3）先根据角平分线的性质得出AQ =PQ ，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出∠AQF =∠PQF ，然后根据三线合一得出QF 平分AP ，再根据余弦三角函数可求出t 的值，从而可得CP 、AP 的长，最后根据平行线分线段成比例定理转换即可得结果．

{答案}解: （1）在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，AD //BC.

∴AC =. ∠F AP =∠ECP ，∠AFP =∠CEP .

当t =5s 时，CP =5.

∴AP =PC . ∴△AFD ?△CEP . ∴AF =CE.

（2）222

AQ CE QE +=，证明如下：

如图，连接FQ.

由（1）得，AF =CE ，FP =PE . ∵QP ⊥FE ，

∴PQ 是线段EF 的垂直平分线. ∴QE =QF . ∵∠BAD =90°，

∴222

AQ AF QF +=. ∴222

AQ CE QE +=.

（3）设FQ 与AC 的交点为点G.

∵PQ 平分∠AFB ，∠QAF =∠QPF =90°， ∴QA =QP ，QF 平分∠AQP . ∴QF ⊥AP ，AG =PG . ∴3

cos =5

AG AB BAC AQ AC ==∠. ∵AQ =PC =t ，

∴AG =35

t ，AP =65t . ∴AC=AP+PC =65t +t =11

5

t =10.

∴5011t =.

∴6011

AP =.

∵AD //BC ，

∴60

611505

11

AF AP CE CP ===. 故

AF

CE 的值为65

．

25．（2020·凉山州）（8分）如图，点P 、Q 分别是等边∴ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外）．点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．

（1）如图1，连接AQ 、CP ．求证：∴ABQ ∴∴CAP ；

（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，∴QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，当点P 、Q 分别在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，∴QMC 的大小是否变

B Q

化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

{解析}（1）利用等边三角形的性质及AP ＝BQ ，根据“SAS”证明∴ABQ∴∴CAP ；（2）利用三角形的外角性质及（1）中全等的性质可探究出∴QMC ＝∴MAC ＋∴ACP ＝∴MAC ＋∴BAQ ＝∴BAC ＝60°；（3）利用全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质易探究出∴QMC ＝120°． {答案}解：（1）∴∴ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∴CAB ＝∴B ＝60°．又∴AP ＝BQ ， ∴∴ABQ∴∴CAP （SAS ）．

（2）∴QMC ＝60°，理由如下：∴∴ABQ∴∴CAP ，∴∴ACP ＝∴BAQ ． ∴∴QMC ＝∴MAC ＋∴ACP ＝∴MAC ＋∴BAQ ＝∴BAC ＝60°．

（3）∴QMC ＝120°，理由如下类似（1）可知∴ACQ∴∴CBP （SAS ）， ∴∴BCP ＝∴QAC ．∴∴QMC ＝∴QAP ＋∴APC ＝∴QAC ＋∴CAB ＋∴APC ＝∴PBC ＋∴CAB ＋∴APC ＝∴CAB ＋∴ABC ＝120°．

24.(2020·潍坊)如图1，在∴ABC 中，90,21A AB AC ∠=?==

+，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且

1AD AE ==，连接DE ．现将∴ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()

0360αα??

<<，如图2，连接

,,CE BD CD ．

图1 图2 图3 （1）当0180α?<

（2）如图3，当90α=?时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ； （3）在旋转过程中，求∴BCD 面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

{解析}（1）图形在旋转过程中，对应相等、对应角相等，利用 “SAS”证得∴ACE∴∴ABD 即可得到结论； （2）要证明CF 垂直平分BD ，只需证明CD=CB ，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）∴BCD 的面积等于底乘以高的一半，显然，BC 是不变值，因此线段BC 边上的高最大时∴BCD 的面积最大.观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．

{答案}（1）根据题意：AB=AC ，AD=AE ，∴CAB=∴EAD=90?，

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F

E D

C

B

A

图1 图2

第25题图

C

Q M M Q C

B

A

∴∴CAE+∴BAE =∴BAD+∴BAE =90?，

∴∴CAE=∴BAD，在∴ACE和∴ABD中，

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴∴ACE∴∴ABD(SAS)，∴CE=BD；

（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∴CAB=∴EAD=90?，

在∴ACE和∴ABD中，

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴∴ACE∴∴ABD(SAS)，

∴∴ACE=∴ABD，∴∴ACE+∴AEC=90?，且∴AEC=∴FEB，∴∴ABD+∴FEB=90?，∴∴EFB=90?，∴CF∴BD，

1，AD=AE=1，∴CAB=∴EAD=90?，

2

+，

2

+，

∴BC= CD，∴CF∴BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；

（3）∴BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时∴BCD的面积是最大值，∴DA BC

⊥时，∴BCD的面积取得最大值，如图：

1，AD=AE=1，∴CAB=∴EAD=90?，DG∴BC于G，

∴AG=1

2

BC=

2

2

，∴GAB=45?，

∴DG=AG+AD=

24

1

22

+=，∴DAB=180?-45?=135?，

∴∴BCD

的面积的最大值为：

)

1145

2

2222

BC DG

??

?==

?

?

??

，旋转角α135

=?．

25．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∴ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB，点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∴AEC＝α，连接CE，BE．

（1）如图∴，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∴AEB的度数；

（2）如图∴，当点D在线段CB上，α＝120°时，请直接写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）当α＝120°，tan∴DAB＝1

3

时，请直接写出

CE

BE

的值．