中考数学几何综合题
几何综合题复习
几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型与几何论证型综合题,它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
一、几何论证型综合题
例1、()如图,已知:⊙O1与⊙O2是等圆,它们相交于A、B两点,⊙O2在⊙O1上,AC 是⊙O2的直径,直线CB交⊙O1于D,E为AB延长线上一点,连接DE。
(1)请你连结AD,证明:AD是⊙O1的直径;
(2)若∠E=60°,求证:DE是⊙O1的切线。
分析:解几何综合题,一要注意图形的直观提示,二要注意分析挖掘题目的隐含条件,不断地由已知想可知,发展条件,为解题创条件打好基础。
证明:
(1)连接AD,∵AC是⊙O2的直径,AB⊥DC Array∴∠ABD=90°,
∴AD是⊙O1的直径
(2)证法一:∵AD是⊙O1的直径,
∴O1为AD中点
连接O1O2,
∵点O2在⊙O1上,⊙O1与⊙O2的半径相等,
∴O1O2=AO1=AO2
∴△AO1O2是等边三角形,
∴∠AO1O2=60°
由三角形中位线定理得:O1O2∥DC,
∴∠ADB=∠AO1O2=60°
∵AB⊥DC,∠E=60,
∴∠BDE=30,∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°
又AD是直径,
∴DE是⊙O1的切线
证法二:连接O1O2,
∵点O2在⊙O1上,O1与O2的半径相等,
∴点O1在⊙O2
∴O1O2=AO1=AO2,
∴∠O1AO2=60°
∵AB是公共弦,
∴AB⊥O1O2,
∴∠O1AB=30°
∵∠E=60°
∴∠ADE=180°-(60°+30°)=90°
由(1)知:AD是的⊙O1直径,
∴DE是⊙O1的切线.
说明:本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
A B C
D
O P 图5-1-2 练习一
1.如图,梯形ABCD 内接于⊙O ,AD ∥BC ,过点C 作⊙O 的切线,交BC 的延长线于点P ,交AD 的延长线于点E ,若AD=5,AB=6,BC=9。 ⑴求DC 的长;
⑵求证:四边形ABCE 是平行四边形。
2.已知:如图,AB 是⊙O 的直径, 点P 在BA 的延长线上,PD 切⊙O 于点C ,BD ⊥PD ,垂足为D ,连接BC 。
求证:(1)BC 平分∠PBD ;(2)BD AB BC ?=2
3.PC 切⊙O 于点C ,过圆心的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点,BE ⊥PE ,垂足为E ,BE 交⊙O 于点D ,F 是PC 上一点,且PF =AF ,FA 的延长线交⊙O 于点G 。 求证:(1)∠FGD =2∠PBC ;(2)PC PO
AG AB
=.
4.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,直径CD ⊥AB ,垂足为E 。弦BF 交CD 于点M ,交AC 于点N ,且BF=AC ,连结AD 、AM , 求证:(1)△ACM ≌△BCM ; (2)AD ·BE=DE ·BC ;
(3)BM 2=MN·MF 。
5.已知:如图,△ABC 中,AC =BC ,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,过点D 作DE ⊥AC 于点E ,交BC 的延长线于点F . 求证:(1)AD =BD ;
(2)DF 是⊙O 的切线.
二、几何计算型综合题
解这类几何综合题,应该注意以下几点:
(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形;
(2)灵活运用数学思想与方法.
例2.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 、F 分别是OA 、OB 的中点. (1)求证:△ADE ≌△BCF ;
(2)若AD = 4cm ,AB = 8cm ,求CF 的长. 解:
(1)∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD =BC ,OA =OC ,OB =OD ,AC =BD , AD ∥BC ,
∴OA =OB =OC ,∠DAE =∠OCB ,∴∠OCB =∠OBC , B (例2题)
B C
D
O
F
∴∠DAE =∠CBF .
又∵AE =
12OA ,BF =1
2
OB ,∴AE =BF , ∴△ADE ≌△BCF .
(2)解:过点F 作FG ⊥CD 于点G ,则∠DGF =90o, ∵∠DCB =90o,∴∠DGF =∠DCB ,
又∵∠FDG =∠BDC ,∴△DFG ∽△DBC , ∴FG DF DG BC DB DC
==. 由(1)可知DF =3FB ,得34
DF DB =,
∴3448
FG DG ==
,∴FG =3,DG =6, ∴GC =DC -DG =8-6=2.
在Rt △FGC 中,229413CF FG GC =+=+=.
说明:本题目考查了矩形的性质,三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。 练习二
1.已知:如图,直线P A 交⊙O 于A 、E 两点,PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ,过A 点作⊙O 的直径AB 。
(1)求证:AC 平分∠DAB ;
(2)若DC =4,DA =2,求⊙O 的直径。
2.已知:如图,以Rt △ABC 的斜边AB 为直 径作⊙O ,D 是⊙O 上
的点,且有AC=CD 。过点C 作⊙O 的切线,与BD 的延长线交于点E ,
连结CD 。 (1)试判断BE 与CE 是否互相垂直?请说明理由; (2)若CD=25
,tan ∠DCE=12
,求⊙O 的半径长。
B
(例2)
C
D
F
G O
E D C
A
3.如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,D 是⊙O 上的一点,且AD ∥CO 。(1)求证:ΔADB ∽ΔOBC ;(2)若AB=2,BC=2,求AD 的长。(结果保留根号)
4.如图,AD 是ABC ?的角平分线, 延长AD 交ABC ?的外接圆O 于点E ,过C D E 、、三点的圆1O 交AC 的延长线于点F ,连结EF DF 、.
(1)求证:AEF ?∽FED ?;
(2) 若6,3AD DE ==, 求EF 的长;
(3) 若DF ∥BE , 试判断ABE ?的形状,并说明理由.
5.如图,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,A 是BDC 的中点,AE ⊥AC 于A ,与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ,且BF AD =,EM 切⊙O 于M 。 ⑴△ADC ∽△EBA ;
⑵AC 2=1
2 BC·CE ;
⑶如果AB =2,EM =3,求cot ∠CAD 的值。
能力提高
1、如图矩形ABCD 中,过A ,B 两点的⊙O 切CD 于E ,交BC 于F ,AH ⊥BE 于H ,连结EF 。
C
A O
B D 1
O ?A
E
F
C
B
D
O
?
(1) 求证:∠CEF =∠BAH
(2) 若BC =2CE =6,求BF 的长。
2.如图,⊙O 的弦AB=10,P 是弦AB 所对优弧上的一个动点,tan ∠APB=2, (1)若△APB 为直角三角形,求PB 的长;
(2)若△APB 为等腰三角形,求△APB 的面积。
3.如图l ,已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AC 上一点,连结EB ,过点A 作AM ⊥BE ,垂足为M ,AM 交BD 于点F .
(1)求证:OE=OF ;
(2)如图2,若点E 在AC 的延长线上,AM ⊥BE 于点M ,交DB 的延长线于点F ,其它条件不变,则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
图1
F M O C D
B
A
E
图2
F
M
O
C
D
B
A
E
4.如图11,在△ABC 中,∠ABC =90,AB =6,BC =8。以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ,E 是BC 的中点,连接ED 并延长交BA 的延长线于点F 。
A B O P
(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)求DB 的长;
(3)求S △FAD ∶S △FDB 的值 5.
已知:□ABCD 的对角线交点为O ,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD, A 、C 两点恰好都落在O 点处,且四边形DEBF 为菱形(如图).
⑴求证:四边形ABCD 是矩形; ⑵在四边形ABCD 中,求BC AB
的值.
6.
如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在BA 的延长线上,CA=AO ,点D 在⊙O 上, ∠ABD=30°.
B
E