气体性质解题中的极值问题

求解有关物理量的极值问题是中学物理中的一个重要内容，它要求学生有一定的基础知识水平和较强的运用数学知识解决物理问题的能力，因此，也是学生学习的重点和难点。求气体性质中的极值问题主要表现在求压强、体积、温度等状态参量的极值上。下面分别举例说明。

1、有关压强的极值

【例1】如图1,长为L=100厘米、导热性能较好的细玻璃管竖直放置，管内有一段高为h=4厘米的水银柱封闭了长为L 0=96厘米的空气柱，水银柱刚好与管口齐平。现向管口再缓慢加入水银，最多还能加入多少厘米的水银柱？(设大气压P 0=76cmhg) 〖析与解〗这是求解有关气体压强的极值问题。由题知，随着水银

柱的增大，气体压强也增大，当压强增大至某一值时，水银注满管口并开始溢出。设最多可加入x 厘米的水银柱，则由理想气体状态方程得： (76+4) ?96s=(x+4+76)(96-x)s

解得：x=16cm

点评：本题在分析题意的基础上，直接利用函数的单调递增性求极值。

2、有关温度的极值

【例2】如图2所示,两边长均为50厘米的直角形粗细均匀的细长玻璃管,一端封闭,一端开口。当开口端竖直朝上放置时,管中有20厘米高的水银柱刚好不进入水平管中,此时管中温度为27℃。现对气体加热,问气体温度至少升至多高时,管中水银才会全部溢出？(大气压P 0=76cmHg)

〖析与解〗当温度升高时,气体膨胀,水银柱向上移动。当温度升至某一极值时,不再升温,气体会继续膨胀,直到水银全部从管中溢出。

由气态方程PV/T=C(恒量)得： 509630010076222

s L s L T ?=-+() 化简得：L 22-176L 2+16T 2=0 T 2=－116 ( L 22－176L 2) =－116

[(L 2－88)2－882] ∴当L 2=88cm 时,T 2有最大值为484K （这也是要使水银全部溢出应升高的最低温度）。即当温度升高至211℃时,不再升温,水银便恰好全部溢出。

点评：这里用到了二次函数的配方法求极值。要注意的是，此题的常见错误解法是认为需要一直升温，直至水银恰好全部溢出时止,从而算出错误答案为475K 。

3、有关体积的极值

【例3】如图3,均匀直玻璃管内用水银封闭有两段气柱,玻璃管开

口向上竖直放置时,气柱长为L 1=25cm,L 2=40cm,水银柱长d 1=d 2=15cm,大气压P 0=75cmHg 。现用手堵住开口端将管倒转180?，然后突然放开手，发现 d 1部分的水银柱只有一部分留在管内，设过程中温度不变。

图2 图1 图3

求此管至少多长？

〖解〗设此管的长度为L ，倒转后d 1部分还留有xcm 的水银,则x>0。由气体状态方程得：

对上部气体：L 1(P 0+d 1)=L 1'(P 0-x), 即2250= L 1'(75-x), ∴2250<75L 1' …①

对下部气体：L 2(P 2+d 1+d 2)=L 2'(P 0-x-d 2),即4200=L 2'(60-x)，

∴4200<60L 2'…②

由①?60+②?75得：L 1'+L 2'>100 …③

又 L>L 1'+L 2'+d 2 …④

由③④得：L>115cm 故此玻璃管至少应有115厘米长。

点评：本题先利用气态方程找出物理量之间的函数关系，然后利用不等式法求极值。

4、有关内能的极值

【例4】一水平放置在光滑面上的气缸,用活塞封闭住部分理想气体,气缸和活塞的质量均为m,如图4。现给活塞施一向左的冲量,大小为I,使其向左运动,则在以后的运动中被封闭气体内能改变的最大值是多少？

〖析与解〗由动量守恒定律,活塞受到冲量I 后获得速度,向左运动,气体被压缩。在气体作用下,气缸作加速运动,活塞作减速运动。设活塞速度为v 1，气缸速度为v 2，则

由动量定理有：I=mv 0 ……①

由动量守恒定律有：mv 0=mv 1+mv 2……②

由能量守恒得： ?E=12mv 02－(12mv 12+12mv 22)＝12mv 02－12

m(v 1＋v 2)2+mv 1v 2=mv 1v 2 由②知v 1+v 2=v 0（定值），∴当v 1=v 2=v 0/2时，?E 有最大值为：?E ＝mv 1v 2＝41

mv 02

=m I 42。即当两者有共同速度时,气体压缩最大,内能改变亦最大。点评：本题先利用能量守恒定律及力学规律写出有关函数表达式，然后利用不等式法求极值。

5、综合性极值问题

【例5】如图所示,传热性能很好的圆筒型容器,两端截面积分别为S A =10cm 2和S B =4cm 2,两光滑活塞A 和B 用轻杆相连,不漏气.活塞质量分别为6Kg 和4Kg.在气温-23℃时,用销子M 把B 拴住并把阀门K 打开,使容器与大气相

通,随后关闭K,此时气体体积为300cm 3.当外界气温升至27

℃时,把M 拔去,则活塞运动的最大加速度和最小加速度分

别是多少？(大气压P 0=1?105Pa) 〖解〗对封闭气体,从关闭K 到拔去M 前的过程为等容

变化,由查理定律得：

P 2=T 2P 1/T 1=300?105/250=1.2?105Pa

拔去M 后,对活塞A 、B 整体受力分析如图(取向右为正),

由牛顿第二定律得：

图6 图4 图5

a=PS PS P S P S

m m

A B B A

A B

-+-

00=

()()

P P S S

m m

A B

讨论：(1)要加速度最小,则要求P最小,当P=P0时,a min=0

(2)要加速度最大,则要求P最大。又因拔去M后活塞向左运动,气体为等温变化,由PV=C(恒量)知,要P最大则V最小。由题图易知,刚开始运动时,气体体积最小,此时气体压强最大,加速度最大。故

a max=()()

P P S S

m m

A B

)

)(

0.1

2.1(4

＝1.2m/s2.

小结：在解决有关气体性质的极值问题时,应先弄清题意,理解气体的状态变化过程,然后设定要求的未知量,用气态方程列式,再选用合适的数学方法求解。