学生思维“五性”的培养

现代教学理论认为，数学教学的实质就是数学思维过程的教学。素质教育的核心问题是技能的培养，其中学生思维品质的培养是教学的主要方面。思维品质的内在实质是分析、综合推理、应用能力，外在表现是思维的速度和质量。人的思维表现为思维的广度、深度、正确性、敏捷性、独立性、灵活性、逻辑性、多向性等。如何有效地培养学生的创新能力呢？这就需要在课堂教学中注重对学生思维“五性”的培养。

一、思维的正确性培养

学生思维的正确性，是指学生的思维活动符合逻辑、形成的概念正确、判断推理准确。遵循着正确方向活动，准确判断事物的能力。它是思维敏捷性和灵活性的前提。数学是一门系统性很强的学科，概念之间、知识之间有着密切的联系，但不管其联系如何紧密，每部分知识都有区别，每个概念都具有它自己的本质特点，要培养思维的正确性，就必须防止相关知识的混淆，做到消除如下障碍。

（一)理解的障碍

理解是记忆的基础，是获得知识的关键。如教学乘法分配律时，应该联系实际，让学生在观察比较式子的特点、充分举出类似式子的基础上，深化和丰富学生对乘法分配律的认识，明白为什么（a+b）c=ac+bc 的道理。学生理解了，就避免在解125×（8+4）时，错算成125×8+4，防止19×62+38×19与62+38×19相混淆，理解透彻才能不断完善认知结构。

很多时候，有些学生由于对题目中的某些“字眼”的片面理解，往往导致思维错误。

例如：⑴小明有邮票25张，小红比小明多5张，小红有邮票多少张？

⑵小明有邮票25张，比小红多5张，小红有邮票多少张？

有些同学看到题目里的“比……多”,就用加法计算,得出:

⑴25+5=30(张) ⑵25+5=30(张)

很明显,第⑵题解法是错误的。从第⑵题的条件“比小红多5张”可知，小明的邮票与小红的邮票比，小明比小红的邮票多，小明是25张邮票，实际上小红的邮票比小明的邮票（25张）少5张，要求小红的邮票，用减法，即：25－5=20(张)

为什么同样是“比……多”，一道题用加法，另一道题用减法呢？引导学生比较⑴⑵题，可以看出，虽然看起来都是“比……多”，但两道题中两种量比较的角度不一样，第⑴题中是“小红与小明比”，第⑵题是“小明与小红比”。

又如，某人上山速度是每小时2千米，下山速度是每小时6千米，求他往返的平均速度。

许多同学会根据求平均数的解题规律：总数量÷总份数=平均数,列

式:(2+6)÷2=4千米／小时。

这种做法显然忽视了“总数量与总份数一定要对应”这一要求，没有认真分析题意。求往返的平均速度必须用往返原总路程除以往返的时间。可以假设上山下山的路程都为6千米（路程的大小设置不影响其结果），则平均速度是：6×2÷(6÷2＋6÷6)=12÷4=3千米／小时.

（二）思维定势的障碍

学生解答题目时，往往受一些特定词语（如：多、少、一共、剩下……）的影响，认为题目条件出现“多”就用加法，出现“少”就用减法；问题求“一共”就用加法，求“剩下”就用减法。如在解答“小红有24元，小红比小东多8元，小东有多少钱？”时，很多学生会根据条件中的“多”判定用加法计算。又如“一根绳子，用去了6米，剩下的绳子比用去的多3米，剩下的绳子有多长？”学生往往会列式成6-3=3，因为他们根据问题中的“剩下”直觉认为应用减法计算。

教学时，我们要引导学生分析题目、理解题意，消除思维定势的消极作用的影响，有目的、有意识地利用定势的积极作用，以培养学生的思维的正确性。

（三）习惯的障碍

学生在进行综合练习时，往往会因为紧张，忙于答卷，顾此失彼，造成不必要的错误。例如：学生对1千米＝1000米；1米＝10分米；1平方米＝100平方分米；1分钟＝60秒等专门的单位转化时一般不会出现太大的错误。如果出现在综合练习题中时，出现1.1米＝（）米（）分米；2.35平方米＝（）平方米（）平方分米，有些学生可能就会不假思索地填上1、1；2、35。

学生对1日=24时的进率是清楚的，在专门学习时间单位的化聚时，

一般不会出什么错误，即使将各种时间单位：世纪、年、月、日、时、分、秒的化聚与换算的题目集中放在一起进行练习，一般也不会出现进率上的错误。但如果在各种类型题目（时间单位、质量单位、面积单位、长度单位）都有的综合性练习中，出现2.5日=（）日（）时，有些学生就可能不假思索地填上2日5时。这些都是因为平时练习和运用十进名数的机会多于非十进名数。在进行综合性的练习时，有些学生受习惯的影响，没有认真看题，造成错误。教学时，要帮助学生建立遇到什么样的题该怎么想的一种正确思路。如单位化聚，第一步是看，看是“化”还是“聚”。第二步是想进率。第三步是算，高级单位×进率=低级单位，低级单位÷进率=高级单位

（四）逆向的障碍

在教学过程中，学生的的思维容易呈现出单向性，顺向的好掌握，逆向的则不易掌握。在和、差的变化中，学生对顺向思维的题目接受起来容易。如：35+6﹥□+6、14+27＜14+□、□-9﹥61-9，学生一般不会填错。大的一边填较大数，小的一边填较小数。但是对被减数不变的题目，如72-□﹥72-19，很容易填错，又如学生懂得“果园里桃树有48棵，梨树的棵树是桃树的2倍，梨树有多少棵”用48×2。然而，如果将题目改成“果园里桃树有48棵，桃树的棵树是梨树的2倍，梨树有多少棵”很多学生可能错误地做成48×2。这就是逆向思维的障碍。

因此，教师要特别注意通过一些变式训练学生，培养其可逆性思维，防止学生形成思维定势，从而影响思维的准确性。例如“甲筐苹果比乙筐多10千克”这是两数相差的一般叙述形式。变式后可以说成“乙筐苹果比甲筐苹果少10 千克”、“甲筐拿掉10 千克苹果和乙筐同样多”、“乙筐再添上10千克和甲筐同样多”、“甲乙两筐苹果相差10千克”“甲筐给乙筐5千克苹果，则甲乙两筐同样多”……正逆叙述题目的对比是必要的，但最好在进行正向叙述教学的同时，训练学生能够转为用逆向叙述形式来表示，例如“甲是乙的2倍”，问学生不改变原意还可以怎么说？引导学生说出既可以说乙比甲是1比2，或者乙是甲的二分之一从而帮助学生建立正确的思维性。

（五）变式的障碍

作为老师我们应该知道，学生对概念的的认识和理解往往只是停留

在表面的感觉上。例如18-7=□、□+8=11、□-2=11、□+5=11学生能够正确计算，但如果把四个算式用“=”连接，放在一起18-7=□+8=□-2=□+5，大部分学生就会在第一个□里填上11，第二个□填上19，第三个□里填上17，这是由于形式的改变所造成的思维上的障碍。只有当学生明白等号左右边的式子计算结果必须相等时，才能消除由于变式带来的障碍，从而进行正确的计算和填写。

（六）交错的障碍

学生在应用相关的概念时，往往因为对概念之间的区别认识模糊，对概念的不熟悉，容易造成“张冠李戴”的错误。例如：把615000省略万位后面的尾数和把615000改写成万为单位的数，是两个完全不同的要求，前者是省略万后面的尾数，是求原数的近似数，应该是615000≈62万；后者是改写成万为单位的数，改写时不能改变原数的大小，应该是615000＝61.5万。还有些学生乱用公式，长度单位和面积单位混淆。例如已知圆柱的底面周长12.56厘米和高是10厘米，求圆柱的体积。很多学生就直接用12.56乘以10等于125.6，计算结果完全相同，但是计算方法错了，因为已知的12.56是底面周长不是底面积。消除这样的错误方法，应该根据题目的具体情况来定。如果是几何问题，必须由学生亲自来动手操作，从中加深印象。

（七）近义的障碍

因为学生对事物的接触和感知带有浓厚的随意性，往往是笼统的、不精确的，对相近事物的差异，辨别能力较弱。如：“增加了”与“增加到”；“减少了”与“减少到”；“增加”与“扩大”；“减少”与“缩小”；“质数”与“奇数”；“合数”与“偶数”；“整除”与“除尽”，“整数”与“自然数”……这里固然有受学生语文水平制约的一面，但主要还是学生对数学术语所表示的确切含义缺乏清楚的了解。因此，消除障碍的好办法是加强对意义相近的术语的区别。如“质数、合数”是把自然数按照因数的个数来划分的；而“奇数、偶数”是把自然数按照是否是2的倍数来划分的。又如“整数”包括负整数、0和正整数，而“自然数”只包括0和正整数。

由于小学生的感知缺乏精确性，容易凭印象去解题。他们的注意力不持久，当注意力不集中时，记忆和思维的功能会大大降低。他们的抽

象思维能力弱，再加上有些概念、法则、公式、定律没有真正掌握好，因此在解题过程中常常出现这样或那样的错误。我们要帮助学生克服注意力容易分散的弱点，使他们的注意力保持相对的稳定性。

作业是检查思维是否正确的一面镜子，学生作业（无论是口头回答还是书面作业）中的错误都应在其尚未定型之前得到及时的反馈，使错误消灭在萌芽状态，使正确的认知得到巩固。在教学中能否及时处理反馈的信息，对教学效果有着直接的影响，处理得越及时越好，如果贻误“战机”，会造成思维上的混乱。我们要在纠正错误的过程中对学生实现思维正确性的培养。

二、思维敏捷性的培养

（一）思维的敏捷性是思维过程的速度问题

思维的敏捷性它反映了思维的锐敏程度和迅速程度。敏捷性应以正确性为前提。在教学实践中，因思维定势缘故，思考问题方法总受某种“模式”的束缚，而极大影响了思维的敏捷性。例如，我们计算长方体的表面积一般是长乘宽乘2+长乘高乘2+宽乘高乘2等于六个面的面积和，但是遇到特殊的就是有两个面是正方形的时候，却由于认识不足，知识面掌握不够全面，不会直接用长乘高乘4+宽乘高乘2，就谈不上敏捷性。

还有一些常用的数量也要求学生必须熟练掌握，学习了小数分数百分数以后，对它们之间的互化关系，要做到知其一就能知其二。如小数0.5就是二分之一50%，八分之一就是0.125,4分之1就是0.25，在教学中，引导学生将零碎的知识联系成一个整体，学习了圆周率，在小学的计算中，一般取近似值两位小数3.14，要求学生从一个π到10个π的数值都能记熟，这样才能在计算有关π的题目师，做到得心应手，运用自如。同时引导学生学会知识迁移的能力，是克服思维定势的一个方法。再配合增加足够数量的习题，以及经过一定的解题技能的训练，对于提高思维敏捷性有着明显的帮助。

（二）良好的基础知识是培养思维敏捷性的保证

数学知识是成螺旋式上升，新知一般都是建立在旧知的基础上的，

良好的基础知识是培养思维敏捷性的保证。如果掌握了运算性质和运算规律，遇到了（26-2/7-5/7；548-（48+90）,4/5×7+4/5×3,78÷25）等题，就能改变运算顺序，大大提高计算速度，减少因计算麻烦而造成的错误。

如果几何知识中各种平面图形、立体图形的面积公式和体积公式能熟练掌握，那么在解决这类实际问题时就会得心应手、事半功倍。还有常见的各种数量关系式，如行程问题和工程问题的各类公式，是解决这类题目的根据，公式熟练解题思路就会清晰。

（三）加强直觉思维的培养，将有利于思维的敏捷性

直觉思维是一种整体性的、粗线条的、非常简略的跃进式的思维。这种思维在遇到一个问题时，常常通过对事物的直接感知，把握住对象的整体，压缩思维过程，是一种思想的速记。加强直觉思维的培养。过程中，注重对问题整体的观察思考，提倡大步骤思维，把握总体的思维策略或入手方向，养成直觉引路的思维习惯。例如：一根２０米长的绳子，第一次用去8米，第二次用去5米，现在这根绳子比原来短多少米？解答时，如果能产生一种直觉，要求现在比原来短的米数就是两天一共用去的米数，8+5=13那就简单多了。则按常规分析太麻烦了，１、先两天用去的8+5=13 ２、现在剩下的20-13=7 3、现在比原来短的20-7=13。

又如：在学习正反比例应用题中有这样一道题目，用２００千克黄豆可以榨油２６千克，照这样计算，用２０吨黄豆可榨油多少吨？在判断两种相关联量成何比例时，绝大多数同学是根据每千克黄豆榨的油一定，也就是油的总量与黄豆的总量的比值一定，判断出两者成正比例关系。有一个同学说出他与众不同的想法：根据生活经验，黄豆越多榨的油相应的也就越多，可见两者变化的方向相同，再根据成正例的两种量变化方向相同，可以断定黄豆与榨的油成正比例关系。

(四)建立必要的制度有利于思维敏捷性的训练

坚持每天让学生练一道四则混合运算和编一道简单的一步计算的应用题并说出这道题所选用的数量关系式。例如：我买10支笔芯，每支0.8元，一共用了多少钱？数量关系式是单价*数量=总价还有。。。。。

这样练计算题能加强学生对数理的敏捷，应用题则能加强学生对算理的敏捷。

要注意的是单调乏味的练习，教师刻薄的语言，对学生粗暴的训斥等，都会造成学生思维上的疲劳，挫伤思维的积极性。

三、思维灵活性的培养

思维的灵活性，是指学生思维的出发点、方向、方法多种多样，想象广阔。它是在适应多变的情境中形成的。是指对问题能从不同觉度、不同方向进行思考分析，能通过不同途径去探索和发现知识的规律，能将学到的知识、技能较好地进行迁移。

如果说思维是能力的核心，那么灵活是思维的灵魂。激发求异心理，培养思维的灵活性，它不仅能揭示客观事物的本质特征和内部规律，而且能产生新颖的、从末有过的思维效果，但它仍应以一般解法为基础。在教学过程中，可以通过迁移变通，引导学生大胆设疑，拓宽思维空间，引导学生借助已有知识，从不同角度去思考，通过思路发散，激发求异心理，寻找多种有效解题方法，从中发现最佳解法，从而发展学生的创新能力。

例如：黑白两种兔一共有24只，黑兔是白兔的3/5，黑兔、白兔各有多少只？

1、3+5=8 24*3/8=9 24*5/8=15

2、3+5=8 24÷8=3 3*3=93*5=15

3 24÷（1+3/5）=15 15*3/5=9或者24-15=9

4 方程设白兔有x只，黑兔有3/5x只。

X+3/5x=24

通过比较可知，思路⑴的方法最佳。直接把一个数是另一个数的几分之几成两个数的比，再按比例分配。

又例如：测量五⑴班某组同学的身高时发现：其中两个同学的身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米，求这组同学的平均身高。

按一般思路解题：即用这组同学的身高总和除以这组同学的总人数。

仔细观察，可以发现：这组同学的身高都在150厘米左右，因此，解题时可以把150作为基数，用“基数+（各数与基数的差之和）÷（份数的个数）=平均数”这种方法来快速求平均数。即：

150+(3× 2+2－1×2－3× 2)÷(2+1+2+2)

=150+0÷7

=150(厘米)

这种变式思维能化繁为简，学生就可在求异中不断获得解决问题的简捷

方法，并逐步趋向创新。

注意引导学生根据不同条件，展开合理的想象、推理。例如：从“一本书80页，小红第一天看了全书的40％，第二天看了全书的30％”三个条件中，可以想象出什么结果。经过思考后学生提出：

1、从第一个条件和第二个条件可知小红第一天读书的页数；

2、从第一条件和第三个条件中可知小红第二天读的页数；

3、?从第二个条件和第三个条件中可知：?（1）两天共看56页，（2）还剩24页没看；（3）第一天比第二天多看8页；（4）第一天看的是第二天的 1 。

4、?从以上三个条件可知：

（1）两天共看45页，

（2）还剩24页没看；

（3）第一天比第二天多看8页；

（4）两天看的页数的比是4：3，……通过训练，学生思维的灵活性得到了锻炼；解题思路就会比较活跃，化难为易的本领也逐步具备了。

让学生掌握条件与条件、条件与问题，深刻理解数量关系的基础上，灵活运用所学知识，从不同起点，不同角度，多侧面地寻求多种解法，也能促进学生思维的灵活性。

通过训练，学生学会多向思维，就能开阔思路，使思维敏捷，达到知识融会贯通，举一反三的目的。

所以，在教学中应该经常地进行这样的可逆性思维训练。适当提高教材内容的练习难度，我们不能把形式上不一样的题目一概叫超范围。学生如果已经掌握了教材规定的知识，学习尚有余力，在不增加学生学习负担的情况下，适当地加宽知识面，加厚知识度，这不能说是超大纲。

适当加厚的目的只是为了训练学生思维灵活性，能让学生从各个不同的角度去思考，增强解题的能力。如：学习了平均数以后，学生弄清了总数、份数和一份数这三个量之间的关系，可以将逆推理的平均数题目让学生讨论讨论，做一做。例如：王红同学的语文、数学两科的平均得分是92分，语文、数学、英语三科的平均得分是90分，求王红的英语成绩？

还有如3/5吨豆可榨3/20吨油，一吨豆可榨油多少吨？要榨1吨油要多少吨豆？这都是可逆性思维训练练习。

我们全班的同学曾经做过，类似书上的这道卖马题，一个杯子装满牛奶，一个人喝了一半后加满水，再喝一半后，加满水，再喝一半后又再加满水，最后全部喝完，问喝了多少奶？班上有位同学在读完题后不到10秒就说一杯奶。然后他又说水就是3个半杯就是1.5杯。

为了提高学生分析问题和解决问题的能力，更好地培养思维灵活性，应该让学生掌握多种思考方法。

（一）比较的思考方法

它是认识事物异同的一种思维方法，通过比较可以对知识之间的联系和区别加深认识。甲乙两数进行比较，甲数比乙数多几，就是乙数比甲数少几，甲数是乙数的几倍，乙数便是甲数的几分之一，例如：1、有18只白兔，6只黑兔，白兔是黑兔的几倍？2、有18只白兔，黑兔是白兔的三分之一，黑兔有多少只？3、有6只黑兔，白兔是黑兔的3倍，白兔有多少只？通过这一组题的数量关系的分析比较，就能使学生加深对倍这个概念的理解。

（二）假设的思考方法

有些题目用一般方法进行分析，常常找不到正确的解题途径，运用假设的方法可以使问题得到解答。例如：一件商品先提价10%，再降价10%，现在这件商品的价格和原价相比是高了，还是低了？

我们可以假设这件商品原来的价格是10，先提价10%就是

10+10*10%=11 再降价10%，就是11-11*10%=9.9

又如：因为现在足球的单价打8折，原来没打折前可以买12只足球的钱，现在能买多少只足球？可以假设原来每只足球10元，12*10=120 10*80%=8 120÷8=15

类似要用到假设法的还有中国古代著名趣题之一鸡兔同笼的数学问题，一个笼里有10个头，36条腿，鸡和兔各有多少只？

（三）转化的思考方法

它是把问题由一种形式转化成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚、

更容易求解的思维方法。如异分母分数的加减法，经过通分转化为同分母分数的加减法；除数是小数的除法，将被除数和除数扩大相同的倍数，转化为除数是整数的除法；小学阶段所学的所有平面图形的面积计算，都是长方形面积为依据，把所学图形转化为长方形面积。把比较复杂的组合图形题通过分割或者加辅助线转化为几个简单的规则的图形。2011年外校出的考卷上有道题

又如：照读书上的例子

四、思维多向性的培养

当思维受阻时要引导学生善于变换思维角度，提出多种设想，寻找解决问题的不同方案，培养思维的多向性

照读书上的例子

在教学中，教师经常有意识地进行一题多解、一题多变的训练，有助于学生拓展思维空间。如给学生一组条件：“西村小学五年级有拉生50人，女生40人”。要求多方位地提出新颖的问题。同学们经过独立思考，小组议论，提出如下一些问题：1、五年级共多少人？2、男生它女生多多少人？3、女生它男生少多少人？4、男生是女生的几倍？5、女生是男生的几分之几？6、男、女生各占总数的几分之几？?7、女生是男生的几分之几？8、男生它女生多百分之几？9、女生它男生少百分之几？?10、男生和女生的人数它是多少？……使他们的思维多方面、多层次地扩散，为提出多种解题方法创造条件。

数学概念之间、数学现象之间的联系是多种多样的。关系联想是这多种多样联想的反映。联想丰富了，想象也就丰富了，思维的活力增强，思维的多向性自然就提高了。

五、思维深刻性的培养

思维的深刻性（又叫逻辑抽象性），是指在思维过程中善于深入钻研问题，善于从纷繁复杂的表面现象中抓住事物的本质和核心，正确地预测事情的进程和后果，面对问题能够全面、细致、深入的思考。

思维的深刻性是指对知识之间的内在联系，与规律性的理解和掌握的程度而言，表现为对问题善于抽象概括、理解透彻、能抓住问题的本质和规律深入细致地加以分析和解决，而不被一些表面现象所迷惑，并能把获得的知识和方法迁移用于解决其它。

小学数学对深刻性的培养主要是通过概念、公式、性质及解题思路的教学来进行的。学生每天都在接受新知识，尤其是数学知识，更注重前后联系，教师要帮助学生系统整理学过的知识，不断扩大和完善已有的认知结构，使之竖成线，横成片，组成清晰、分明的知识网络。这样学生在解决问题时能透过表面现象看本质，更有效地解决问题。

小学生的逻辑思维能力虽处于一个不断上升发展的阶段，但他们接触的很多概念彼此之间既有联系又有区别，学生很容易产生混淆与错觉，不能明确概念的本质。在平时的教学中我们要注重加强概念对比教学。通过对比，既可掌握它们之间的联系和方法，又可在对比中鉴别它们各自的特征与本质。对比清楚了，学生才能对概念理解得深刻、也才能达成思维的深刻。

美国教育家研究发现：“听，会忘记；看，能记住；做，才能会。”在数学教学中，教师要给学生充分的动手操作机会，让每一个学生都参与其中，真正动手做数学，得出让自己信服的结论。这样学生不仅学得更为系统与条理，更重要的是能增强对知识理解的深刻性。例如在教学圆的周长时，采用小组合作学习的方式，以活动为主线，让学生动手操作，测量出不同的圆的周长、直径、半径，再讨论交流三者之间的关系，学生会得出同一个圆的周长是直径的3倍多一些，是半径的6倍多一些，这时再引出圆周率的概念，对学生来说可谓水到渠成。学生不仅深刻认识了圆周率，而且对周长、直径、半径三者之间的关系理解得更为透彻。

要想达成思维的深刻性，我们还要在平时的教学中注重开展联想教学。所谓联想，就是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点联系已有的知识和经验进行想象的思维方法。通过联想能唤起学生已有知识的回忆，沟通知识之间的内在联系，开阔思路，有利于培养思维的深刻性。如“男生和女生的比是6﹕5”可引起学生的许多联想：男生人数是6份，女生人数是这样的5份，一共是11份；男生是女生的1倍，女生是男生的；男生与总人数的比是6﹕11，女生与总人数的比是5﹕11；男生占

总人数的，女生占总人数的，……经常开展类似的、有目的、有计划的联想，可激发已有知识和经验，把思考引入新的领域，引向更深的层次。

学生学习数学的过程就是一个思维活动的过程，要培养学生的数学能力，就必须培养学生的思维能力。而培养学生数学能力的关键就在于培养学生良好的数学思维品质。在课堂教学中如何发展学生的思维品质，方法是多发面的。陶行知先生说过，好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。。。。。结合教学实践，剖析在数学学习中应如何更好的培养、提高学生的数学思维品质，从而达到促进思维，提高数学能力的目的。

总结以下几点：

（l）变化练习，深化双基；

（2）定时练习，训练速度；

（3）一题多解，训练思路；

（4）多题一解，掌握规律；

（5）设计新情景，培养迁移能力；

（6）一般题争取一题一得，典型题一题多得（包括知识、思路、方法等）。