数字信号处理习题解答

第一章

2、已知线性移不变系统的输入为()x n ，系统的单位抽样相应为()h n ，试求系统的输出()y n 。 （2）3()(),x n R n = 4()()h n R n =

解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即：()()*(){1,2,3,3,2,1}y n x n h n == 4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。

3()cos(

)

78

x n A n ππ=-

解：03 ()cos()

78

314 N=2/2/73

14,3x n A n k k k k ππππωπ=-==∴=是周期的，周期是。

6、试判断系统的线性和移不变性。 ()2

(2) ()y n x n =????

解：()2

()y n x n =????

()[]()[]2111)(n x n x T n y ==

()()[]()[]2

222n x n x T n y ==

()()()[]()[]2

12121n bx n ax n by n ay +=+

()()[]()()[]

()[]()[]()()()()[]()()

n by n ay n bx n ax T n x n abx n bx n ax n bx n ax n bx n ax T 2121212

22

12

21212 +≠+++=+=+即

()[]()[]()()[]

()[]()

系统是移不变的即∴-=--=--=-m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 2

2

8、以下序列是系统的单位抽样响应()h n ，试说明系统的因果性和稳定性。

（4）3()n

u n - 解：

因果性：当0n <时，()0h n ≠，∴是非因果的；

稳定性：0123|()|3332

n h n ???

∞

--=-∞=+++

=

∑，∴是稳定的。

11、有一理想抽样系统，抽样角频率为6s πΩ=，抽样

后经理想低通滤波器()a H j Ω还原，其中

1

,3()2

0,3a H j ππ?Ω

今有两个输入，12()cos2,()cos5a a x t t x t t ππ==。输出信号有无失真？为什么？

解：要想时域抽样后能不失真的还原出原始信号，则要求抽样频率大于2倍信号频谱的最高频率，即满足奈奎斯特抽样定理。

根据奈奎斯特定理可知：

失真。

频谱中最高频率无失真。

频谱中最高频率)(32

65 , 5cos )()(32

62, 2cos )(22211

1t y t t x t y t t x a a a a a a ∴=>==∴=<==??

?

??

?

π

ππππ

πππΩΩ

第二章

1、求以下序列的z 变换，并求出对应的零极点和收敛域。

（1）||(),||1n x n a a =<

解：由Z 变换的定义可知：

1

1

2

12

()111(1)(1)

1(1)1

()()

n

n

n n

n n

n n n n n n n

n n X z a

z

a

z

a z a z a z az a a az az az z a z a z z a a ∞

-∞

----=-∞=-∞=∞

∞

-==-=

?=

+=+-=

+=

-----=

--∑∑∑∑∑

∞

====<<<

z a z a z a z a az ,0 1

, 1

1,1 零点为：极点为：即：且

收敛域： 2、假如()x n 的z 变换代数表示式是下式，问()X z 可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？

)

8

3451)(411(411)(2122

----+++-=

z z z z z X 解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得

112111

11111

(1)(1)22()113

(1)(1)(1)424

112113

(1)(1)(1)

224

Z Z X Z Z Z Z Z jZ jZ Z ----------

+=

+++-=

+-+

X(z)的零点为：1/2 ， 极点为： j/2 , -j/2 , -3/4

∴ X(z)的收敛域为：

(1) 1/2 < |z | < 3/4 , 为双边序列

系统不是线性系统∴0

00()sin[()]

sin[]

x n N A n N A N n ωφωωφ+=++=++02N k ωπ=0

2k

N πω=

(2) | z | < 1/2 , 为左边序列 (3) |z | > 3/4 ， 为右边序列

6. 有一信号)(n y ,它与另两个信号)(1n x 和)

(2n x 的关系是：)1()3()(21+-*+=n x n x n y

其中)(21)(1n u n x n

??? ??=，)(31)(2n u n x n

??? ??=，已知1

11)]([--=

az n u a Z n ，a z >， 。变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z

解：根据题目所给条件可得：

112111

)(-Z

-?→

←z n x 123

111)(--?→

←z n x Z

1

3

12

11)3(--?→

←+?z z n x Z 2

1

>z

z z X n x Z 3

1

11)()(122

-=?→←-- 31

1>-z

z z n x Z 3

11)1(12

-?→←+-- 3

所以

[][]

1231

13()(3)(1)111123

3(3)()

2

Y z Z x n Z x n z z z z z

z z --=+?-+=?

--=-

--

12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统

)1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y

(1) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；

(2) 求此系统的单位抽样响应；

(3) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。 解：

（1）对题中给出的差分方程的两边作Z 变换，得：

)()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++=

所以)

)((1)()()(212

11a z a z z z z z z X z Y z H --=--==--- 零点为z=0，极点为(

)

62.1515.01=+==a z ∞=z (

)

62.0515.02-=-==a z

因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。

（2）

1212121

112

121200121 ()()()111111n n n n n n z z z H z z a z a a a z a z a a a a z

a z a z a z a a --∞∞--==??

==-??

-----????

=-??---????=-??-??∑∑

()

62

.0 , 62.1 )

(1)( 212121-==--=

a a n u a a a a n h n

n 式中所以

由于)(z H 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳

定系统。

（3）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选)(z H 的

收敛区域为 12a z a <<，即 62.162.0<

?????

?----=

212

11

)(a z z a z z a a z H

中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

1120121()n n n n n n H z a z a z a a -∞--=-∞=??∴=--??

-??

∑∑

()

[]

)

()62.0()1()62.1(447.0)

()1(1)(211

2n u n u n u a n u a a a n h n n n

n -+--?-=+---=则有 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。

13、研究一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的时域线性离散移不变系统，已知它满足

)()1()(3

10

)1(n x n y n y n y =++-

-，并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 解：

对给定的差分方程两边作Z 变换，得：

)

3

1

)(3( 3101

)

()

()()()()(3

10

)(11--=

+-=

=

=+-

--z z z

z

z z X z Y z H z X z zY z Y z Y z 则： 3

1

,3 21==z z 极点为，为了使它是稳定的，收敛区

域必须包括单位圆，故取 1/3|| 3 z <<。 利用第十二题(3)的结果123,1/3a a == 即可求得

???

????????

??+---=)(31)1(383)(n u n u n h n

n

第三章

1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

5

5

26

6

00

2222223456

6

6

6

6

X()()()1412108610j nk nk n n j k j k j k j k j k k x n W

x n e

e

e

e

e

e

ππππππ-==-----===+++++∑∑解：

计算求得：

(0)60;(1)933; (2)3 3 ;(3)0; (4)33;

(5)93 3 X X j X j X X j X j ==-=+==-=+。

3.设1,04

(),0n n x n n

+

≤≤?=?

?，其它4()(2)h n R n =-。令66()(()),()(()),x n x n h n h n ==试求()()x n h n 与的圆

周卷积并作图。

解：在一个周期内的计算值

()()*()()y n x n h

n h n m ==-

如下图所示：

8、如下图表示一个5点序列()x n 。 （1）试画出1()()()y n x n x n =*； （2）试画出2()()()y n x n x n =⑤； （3）试画出3()()()y n x n x n =⑩。

解：由图可知(){1,0,2,1,3|0,1,2,3,4}x n n ==

则（1）线性卷积()()x n x n *为 ()()()(),

m x n x n x m x n m n ∞

=-∞

*=--∞<<∞∑

1 0

2 1

3 1 0 2 1 3 3 0 6 3 9

1 0

2 1

3 2 0

4 2 6

1 0

2 1

3 1 0

4 2 10 4 13 6 9 故，()()1()y n x n x n =*={1, 0, 4, 2, 10, 4, 13, 6, 9; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(2) 利用圆周卷积是线性卷积以5点位周期的周期延拓序列的主值序列，故

2(0)y =1+4=5； 2(1)y =0+13=13；

2(2)y =4+6=10；2(3)y =2+9=11；

2()y n =()x n ⑤()x n ={5,13,10,11,10;n=0,1,2,3,4}

(3) 当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度

时，两者相等，故

3()()()y n x n x n =⑩={1,0,4,2,10,4,13,6,9,0; n=0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

14、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。

解：（1）

11

10 10

P P T F Hz T s F ?

??

=≤∴≥而

因此最小记录长度为0.1s ； （2）31110100.1

s f KHz T ==?=

1

2 52

s h h s f f f f KHz ?

??

>∴<=

所以允许处理的信号的最高频率为5KHz ；

（3）30.11010000.1

P T N T ≥=?=，又因为抽样点数必须为2

的整数幂，因此记录的最少点数为10

21024N ==

第四章

1、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us ，每次复加0.5us ，用它来计算512点DFT[x (n )]，问直接计算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间。 解：(1)直接计算: 复乘所需时间： 62

162 510 510512 1.31072T N s

--=??=??=

复加所需时间： 626

12 0.510(1)

0.510512(5121) 0.130816 1.441536T N N s

T T T s --=???-=???-=∴=+= (2)用FFT 计算： 复乘所需时间： 612651222 510log 510log 512 0.01152N T N

s

--=??=???= 复加所需时间： 6226212 0.510log 0.510512log 512 0.002304 0.013824T N N s

T T T s --=???=???=∴=+=

2、（1）画出4点基2频率抽取IFFT 的运算流图； （2）(){2,13,4,13;0,1,2,3}X k j j k =-+--=，基

于该运算流图，试计算()x n 的值。 解：（1）（6分）4点基2频率抽取IFFT 的运算流图如下图所示。

（2）（6分）由图可得，

[][][][][][][][][][][][]11

1221

112

2011

2422111242211

1122011

411221222(0)(0)(2)243(1)(1)(3)13131(0)(0)(2)241

(1)(1)(3)13133

(0)(0)(1)311

(2)(0)(1)3(1)2

(1)(0)x X X x X X j j x W X X x W X X j j j x x x x W x x x x x ---=+=+==

+=-+--=-=-=-=-=-=-+++=-=+=-==-=--==+[][][][]1

2011

42222(1)132

(3)(0)(1)131

x W x x -=--=-=-=-+= 故，(){1,2,2,1;0,1,2,3}x n n =-=

第五章

1、用直接I 型及典范型结构实现以下系统函数：

2

12

14.06.028.02.43)(-----+++=

z z z z z H 解：2

12

12.03.014.01.25.1)(-----+++=z z z z z H )

2.03.0(14.01.25.1212

1----+--++=z z z z ∵)

()(1)(1

z X z Y z a z

b z H N

n n

n M

m m

n =

-=

∑∑=-=- ∴3.01-=a ,2.02=a 5.10=b ，1.21=b ，4.02=b 直接I 型结构如下图所示：

典范型结构如下图所示：

7、设某FIR 数字滤波器的系统函数为：

)3531(5

1

)(4321----++++=

z z z z z H 试画出此滤波器的线性相位结构。

解：FIR 线性相位滤波器满足)1()(n N h n h --±=，即对2/)1(-=N n 呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。

则由已知得：

)

4(5

1

)3(53 )

2()1(53

)(51)(-+-+-+-+=n n n n n n h δδδδδ 则13

(0)(4)0.2; (1)(3)0.6; (2)155

h h h h h ==

===== 即()h n 是偶对称，对称中心在1 22

N n -==处，N 为奇

数(5)N =。

线性相位结构如下图所示：

第六章

1、以下线性移不变系统哪一个是最小相位延时系统？

12

12

121212

12

12

12

1681816()()()()1271+7121816168()()()()1271+712z z z z A H z B H z z z z z z z z z C H z D H z z z z z -----------------+-+=

=

+++-+-+=

=

+++

解：最小相位延时系统是指系统函数的极点、零点均在单位圆内的系统。

故（A ）是最小相位延时系统

（A ） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：1/4(二阶)，故

是最小相位延时系统

（B ） 极点是：-3, -4; 零点是：4(二阶)，故不是最

小相位延时系统

（C ） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：4(二阶)，故不

是最小相位延时系统

(D) 极点是：-3, -4; 零点是：1/4(二阶)，故不是

最小相位延时系统

2、用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T (1)22

()()a s a

H s s a b +=

++。

解：由已知得

22

()()111

2a s a H s s a b s a jb s a jb +=

++??=+

??+++-??

()()1() ()2

a j

b t a jb t a h t e e u t -+--??=

+?? 由冲激响应不变法可得：

()()()()

()2a a jb nT a jb nT

h n Th nT T e e u n -+--=??=+?? 则

01

11122

() () 11 2111cos 12cos n

n aT jbT aT jbT aT aT aT H z h n z T e e z e e z e z bT

T e z bT e z ∞

-=-----------=??=

+??--??

-=?

-+∑

3、设有一模拟滤波器2

1()1

a H s s s =

++

抽样周期T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数()H z 。

解：双线性变换法将模拟系统函数的S 平面和离散的系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1

1

11z s c z ---=+。

由变换公式，1

1

11z s c z ---=?+及2

c T

=

可得： T = 2时：

1

111z s z

---=+

11

112

1

1

11122

()()|

1

11111(1)3a z s z H z H s z z z z z z ---=

+------∴==

????

--++ ? ?++????

+=

+

第七章

1、已知FIR 数字滤波器的两个零点为2+j 、0.5，试求出其它零点。

解： 2+j 对应的零点为：2-j ，12j +，12j

- 0.5对应的零点为：

1

0.5

， 即：2 2、用横截型结构实现以下系统函数：

()()()1111111()116121126H z z z z z z -----????

=-+-+- ? ?????

解：1111111()(1)(16)(12)(1)(1)26

H z z z z z z -----=-+-+-

11211211

1(12)(16)(1)26

z z z z z z z -------=--++++-

12121

537(1)(1)(1)26

z z z z z -----=-+++-

12345820520581312123

z z z z z -----=+-+--

3、已知一个线性相位FIR 系统有零点2/33/41,,0.5,1/4j j z z e z e z ππ-====-，这个系统的冲激响应()h n 的最小长度为多少？ 解：

由已知的零点，可以知道与之成组的其他零点：

2/3-2/3

3/43/43/43/40.50.5,2,21/44

j j j j j j z e e

z e e e e z ππππππ--=→=→=-→-

如果()h n 的长度为N,那么该系统共有N-1个零点，反之亦然。现在已知该系统的零点连导出的共9个，因此()h n 的长度最少为10. 4、（20分）设某FIR 滤波器的系统函数为

134()10.50.5H z z z z ---=+--，

（1）求该FIR 滤波器的单位抽样响应()h n ； （2）判断该FIR 滤波器是否具有线性相位特性； （3）求该FIR 滤波器对应的差分方程；

（4）求该FIR 滤波器的幅频特性和相位特性； （5）画出该FIR 数字滤波器的直接型结构和线性相位型结构。 解：（1）（3分）FIR 滤波器的单位抽样响应()h n 为：

[]1()()()0.5(1)0.5(3)(4)

h n Z H z n n n n δδδδ-==+-----

（2）（3分）基于()h n 的表达式，可知： h(0) = 1; h(1) = 0.5; h(2) = 0; h(3) = -0.5; h(4) = -1

即()h n 是N=5的FIR 滤波器的单位抽样响应，且满足()(1)h n h N n =---

故该FIR 滤波器具有线性相位特性。 （3）（3分）根据系统输出()y n 与系统输入()x n 和单位抽样响应()h n 的关系，有

()()*()()*

y n x n h n x n ==[]()0.5(1)0.5(3)(4)n n n n δδδδ+-----

()0.5(1)0.5(3)(4)x n x n x n x n =+-----

（4）（5分）系统函数在单位圆上的取值，就是该系统

的频率响应

()

3422222()()

10.50.50.50.520.5sin sin 2j j j j j z e j j j j j j H e H z e e e e e e e e je ω

ωωωω

ωωωωω

ωωω---=----==+--??=+--??=+

故：幅频特性为：

()()

2()20.5sin sin 220.5sin sin 2j j H e je ωωωωωω-=+=+

相位特性为：

2arg ()arg 22

j j H e je ωω

π

ω-????==-+

????

（5）（6分）该FIR 数字滤波器的直接型结构如下图

线性相位型结构如下图：

5.（20分）设FIR 滤波器的系统函数为

12341

()(10.9 2.10.9)10

H z z z z z ----=

++++ （1）求出该FIR 滤波器的单位取样响应()h n ； （2）判断该FIR 滤波器是否具有线性相位特性； （3）求该FIR 滤波器的幅频特性和相位特性，并画出其幅频特性曲线；

（4）画出该FIR 数字滤波器的直接型结构、线性相位型结构。 解：（1）对FIR 数字滤波器，其系统函数为

()()()

43211

9.01.29.01101

-----=-++++==∑z z z z z n h z H N n n

由系统函数可知单位脉冲响应为

(){}1

1,0.9,2.1,0.9,110

h n =

（2）由()n h 的取值可知()n h 满足 ()(),1n N h n h --= 5=N

所以，该FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。

（3）（8分）设其频率响应函数为()ω

j e

H

()()()

()∑-=-==1

N n n j j g

j e n h e

H e

H ωωθω

ω

[]

()ωωωωωωω24322cos 2cos 8.11.2101

9.01.29.0110

1

j j j j j e e e e e -----++=++++=

幅度特性函数为 ()102cos 2cos 8.11.2ωωω++=g H

相位特性函数为 ()ωωωθ22

1

-=--=N

其幅频特性曲线如图所示：

（4）直接型结构： （3分）

线性相位结构：

其它思考题

1. 因果稳定数字系统的极点分布有什么特点

2. 序列傅里叶变换（DTFT ）与Z 变换的联系

3. 有那四种不同信号的谱分析，其频谱有什么不同特

点

4. 减少DFT 计算的途径有哪些

5. 因果系统、非因果系统、最小相位、最大相位系统

零极点的分布有何特点

6. 何谓IIR ，FIR 滤波器，各自的优缺点是什么

7. FIR 滤波器具有线性相位的充要条件是什么，其零

点分布有什么特点

8. IIR 滤波器设计的冲击响应不变法和双线性变换法

的最大不同是什么

9. 窗函数设计FIR 滤波器，滤波器参数和窗函数的关

系

第一章：

2. (2)，4. (1)，7. (4)，8. (4)，11. 第二章：

1. (1)，

2. ，6.，7. (6)，12.，13

第三章：

1，3，8，14， 15(1), 16(2)， 22 第四章：

1，3

第五章： 1，2，3，4，7 第六章： 1（1），3 第七章：