苏教版九年级上册数学 期末试卷培优测试卷
苏教版九年级上册数学 期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
2．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）
A ．团队平均日工资不变
B ．团队日工资的方差不变
C ．团队日工资的中位数不变
D ．团队日工资的极差不变
3．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥－1
D ．m ≤－1
5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC
的值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
19
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AB
AD
=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）
A．
1
2
AE
EC
=B．2
EC
AC
=C．
1
2
DE
BC
=D．2
AC
AE
=
7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A．B．C．D．
8．sin60°的值是( )
A．B．C．D．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）
A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
10．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）
A．（20
3
，10
3
）B．（16
3
45）C．（20
3
45）D．（16
3
，3
11．如图，在正方形 ABCD 中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：
①∠BAE＝30°；
②射线FE是∠AFC的角平分线；
③CF＝1
3 CD；
④AF＝AB＋CF．
其中正确结论的个数为（）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
12．2的相反数是（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．2
D ．2-
二、填空题
13．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．
14．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cosD ＝________.
15．如图，已知
O 的半径为2，ABC ?内接于O ，135ACB ∠=，则
AB =__________．
16．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号)
17．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为_____．
18．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．
19．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
20．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______. 21．如图，
O 的弦8AB =，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且3OM =，
则MN 的长为__________．
22．二次函数2
y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取
值范围是_______.
23．如图，E 是?ABCD 的BC 边的中点，BD 与AE 相交于F ，则△ABF 与四边形ECDF 的面积之比等于_____．
24．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
三、解答题
25．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，
B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经
C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°． (1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)
26．已知关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．
27．已知，如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ??=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
28．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ． 29．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积
为1
2
，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三
角形”的面积小于3
，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．
30．如图，BD、CE是ABC的高．
（1）求证：ACE ABD
∽；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
31．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交
于点C(0，53
3
)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．
32．如图，O的半径为23，AB是O的直径，F是O上一点，连接FO、FB.C为劣弧BF的中点，过点C作CD AB
，垂足为D，CD交FB于点E，//
CG FB，交AB的延长线于点G.
（1）求证：CG是O的切线；
（2）连接BC，若//
BC OF，如图2.
①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】
解：调整前的平均数是：260428043004
43
?+?+??=280；
调整后的平均数是：
260528023005
525
?+?+?++=280； 故A 正确；
调整前的方差是：()()()222
142602804280280430028012
??-+-+-??=8003； 调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012??-+-+-?
?=10003；
故B 错误；
调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；
最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，
调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；
最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280， 故C 正确；
调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变， 故D 正确. 故选B. 【点睛】
此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】
解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=
2
22
b m
m
a
-=-=-，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．B
解析：B
【解析】
试题分析：∵DE∥BC，∴AD DE
AB BC
=，∵1
3
AD
AB
=，∴
3
1
DE
BC
=．故选B．
考点：平行线分线段成比例．6．D
解析：D
【解析】
【分析】
只要证明AC AB
AE AD
=，即可解决问题．
【详解】
解:A.
1
2
AE
EC
=，可得AE：AC=1：1，与已知2
AB
AD
=不成比例，故不能判定
B.
2EC
AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB
AD
=，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定； 1
2
DE BC = D.
2AC AB
AE AD ==，可得DE//BC ， 故选D. 【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】
已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 分别为2、2、10、 只有选项B 的各边为1、2、5与它的各边对应成比例．故选B ． 【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值解答即可. 【详解】 sin60°=，
故选C. 【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案． 【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】
解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（25∴5OE=2．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F
22
??
=453O'F
2
??
=，
∴45．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求
2
2
458
4
33
??
-=
?
?
??
，∴OF=
820
4
33
+=．
∴O′的坐标为（2045
3
）．故选C．
【点睛】
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据点E 为BC 中点和正方形的性质，得出∠BAE 的正切值，从而判断①，再证明△ABE ∽△ECF ，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE ∽△AEF ，可判断②③，过点E 作AF 的垂线于点G ，再证明△ABE ≌△AGE ，△ECF ≌△EGF ，即可证明④. 【详解】
解：∵E 是BC 的中点， ∴tan ∠BAE=
1=2
BE AB ， ∴∠BAE ≠30°，故①错误； ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD ， ∵AE ⊥EF ， ∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°， ∴∠BAE=∠CEF ， 在△BAE 和△CEF 中，
==B C
BAE CEF ∠∠??
∠∠?
， ∴△BAE ∽△CEF ，
∴
==2AB BE EC CF
， ∴BE=CE=2CF ， ∵BE=CF=12BC=1
2
CD ， 即2CF=
1
2
CD ，
∴CF=1
4 CD，
故③错误；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，
∴AE=25a，EF=5a，AF=5a，
∴
25
=
AE
AF
，
25
=
BE
EF
，
∴=
AE BE
AF EF
，
又∵∠B=∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，
∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，
又∵∠AEB=∠EFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
过点E作AF的垂线于点G，
在△ABE和△AGE中，
=
=
=
BAE GAE
B AGE
AE AE
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AG=AB，GE=BE=CE，
在Rt△EFG和Rt△EFC中，
=
=
GE CE
EF EF
?
?
?
，
Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），
∴GF=CF，
∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正确.
故选B.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题
目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】
2的相反数是-2，
故选D．
二、填空题
13．100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△E
解析：100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB BD EC CD
=，
即
BD EC AB
CD
?
=，
解得：AB=12050
60
?
=100（米）．
故答案为100．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
14．【解析】
试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形
解析：1 3
【解析】
试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，
AC=2，∴cosD=cosA=AC
AB
=
2
6
=
1
3
．故答案为
1
3
．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
15．【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△AB
解析：22
【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴2，
故答案为：
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．()
【解析】
设它的宽为xcm．由题意得
.
∴ .
点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约
解析：(10)
【解析】
设它的宽为x cm．由题意得
1
:20
2
x=.
∴
10
x= .
点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之
比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即
1
2
，近似值约为0.618.
17．2﹣2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，
解析：
2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝1
2
BC＝2，根据
勾股定理可求AG＝，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【详解】
解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝1
2
BC＝2，
在Rt△ACG中，AG22
AC CG
+5
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为52，
故答案为：52
【点睛】
本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式. 18．【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝AB．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分
51
-
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC 51
-
AB．
故答案为51 -
．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则
1
2
AC
BC
=，
正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
19．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
20．1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k?2?2＝0，解得k＝1
故
解析：1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k?2?2＝0，解得k＝1
故答案为:1．
【点睛】
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
21．2
【解析】
【分析】
连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径交于点，是的中点，
∴AM=BM==4
解析：2
【解析】
【分析】
连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径ON交AB于点M，M是AB的中点，
∴AM=BM=1
2
AB=4,∠AMO=90°，
∴在Rt△AMO中
2
2OM
AM
∵ON=OA，
∴MN=ON-OM=5-3=2. 故答案为2. 【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．【解析】 【分析】
根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可. 【详解】
根据二次函数的图象可知： 对称轴为，已知一个点为，
根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称 解析：20x -<<
【解析】 【分析】
根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可. 【详解】
根据二次函数的图象可知：
对称轴为1x =-，已知一个点为()03，
， 根据抛物线的对称性，则点()03，
关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<． 故答案为：20x -<<． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对
称轴求出点()03，的对称点是解题的关键． 23．【解析】 【分析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出，进而算出，△ABF 和 △ AFD 等高，得，由，即可解出． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AD ＝BC ， 又∵E 是?