2013福建高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学

（理工农医类）

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一．选择题

1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）

A ． 第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ?”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．双曲线2

214

x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A ．

25 B ．4

5

C D 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),

[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120

5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．10 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）

A ．计算数列{}

12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{

}

21n -的前9项和

7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-

，则四边形的面积为（ ）

A B ． C ．5 D ．10

8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A ．0,()()x R f x f x ?∈≤

B ．0x -是()f x -的极小值点

C ．0x -是()f x -的极小值点

D ．0x -是()f x --的极小值点 9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++

*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=???∈则以下结论一定正确的是（ ）

A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m

q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m

q C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q

D ．数列{}n c 为等比数列，公比为m

m q

10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

A ．*

,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 二．填空题

11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________

12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图

中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________

13．如图ABC ?中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________

14．椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆

Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________

15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:21

1.......1n x x x x

+++++=

- 两边同时积分得：

111112

222220

00

1

1.......1n

dx xdx x dx x dx dx x

+++++=-?

????

从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212

n n +?

+?+?++?+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

122311111111()()...()_____2223212

n

n n n n n n C C C C +?+?+?++?=+ 三．解答题

16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率

为

23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为2

5

，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率； （2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？

17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．

18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标

为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i

A 做x 轴的垂线与i O

B 交于点*

(,19)i P i N i ∈≤≤．

（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；

（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1，求直线

的方程．

19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，

11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．

（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面

（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为

6

7

，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：

若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）

20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π，图像的一个对称中

心为(

,0)4

π

，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

，在将所得图像向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图像．

（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(

,)64

x ππ

∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．

（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换

已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ??=????

对应的变换作用下变为直线'

:1l x by +=． （Ⅰ）求实数,a b 的值；

（Ⅱ）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x A y y ????

=

? ?????

，求点p 的坐标． （2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负

半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标

为)4

π

，直线的极坐标方程为

cos()4

a π

ρθ-=，且点A 在直线上．

（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；

（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y α

α=+??=?

，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．

（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*

2()x a a N -<∈的解集为A ，且

32A ∈，1

2

A ?．

（1）求a 的值；

（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．

参考答案

一、选择题

1．D 【解析】z 的共轭复数12z

i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．

2．A 【解析】3,

a A B =??2A B a ??=，或3．因此是充分不必要条件．

3．C 【解析】 22

14x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204

x y -=，即20x y ±=．带入点到直线

距离公式

d =

． 4．B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道

(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=

故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．

5．B 【解析】方程2

20ax x b ++=有实数解，分析讨论

①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ?=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．

(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．

6．A 【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<

…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：10

21,11,10S i i =-=>，输出S ．

根据选项，101(12)12

S -=-，故为数列1

2n -的前10项和．故答案A ．

7．C 【解析】由题意，容易得到AC

BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和

即S=

11

(****)(*)22

AO DO AO BO CO

DO CO BO AC

BD +++=．容易算出AC =，则算出S=5．故答案C

8．D 【解析】A ．0,

()()x R f x f x ?∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．

B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点

C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．

D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，

再关于x 轴的对称图像．故D 正确

9．C 【解析】等比数列{}n a 的公比为q,

同理可得

22

22222,m m m m

m m m a a a a a a ++++=?=?112...m c a a a =???,212...,

m m m m c a a a +++=???321222...,m m m m c a a a +++=???2213c c c ∴=?∴数列{}n c 为等比数列，

2221212211212............m

m m m m m m m m m

a a a a a a q c q q c a a a a a a +++???????====?????? 故选C 10．D 【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；

令5

5(13)

()22

8

(1)x x f x x ?+-<≤?=??-=-?，则B 选项正确； 令1

()tan ()2

f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．

11．23 【解析】13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3

a ∴∈1

12313p -

∴=

= 12．12π 【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体

，

2412R S R ππ∴====球表

13

【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=

∴根据余弦定理可得222

cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=

?

BD ==

14

．

1

【解析】由直线方程)y x c =+?直线与x 轴的夹角1223

3

MF F π

π

∠=

或

，且过点1-F （c,0）

1221

2MF F MF F ∠=∠∴

122123

MF F MF F π

∠=∠=

即

12F M F M ⊥12RT F MF ∴?在

中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可

得21c a c a =+∴

==- 15．

113[()1]12

n n +-+ 【解析】由01221......(1)n n

n n

n n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：

111112

222220

00

1......(1).n

n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+?

????

从而得到如下等式：

122311*********()()...()[()1]222321212

n n n n n n n n n C C C C ++?+?+?++?=-++ 16．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为

23，小红中奖的概率为2

5

，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，

224(5)3515==

?= P X ，11

()1(5)15

∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为

11

15

． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5

X B

124()233∴=?

=E X ，224()255

=?=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212

(3)3()5

==E X E X

12(2)(3)> E X E X

∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．

17．解：函数

()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a

f x x

．

（Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2

()1(0)'=-

>f x x x

， (1)1,(1)1'∴==-f f ，

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，

即20+-=x y ．

（Ⅱ）由()1,0-'=-

=>a x a f x x x x

可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；

②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；

(0,)∈ x a 时，()0'f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．

综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值

当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．

18．解：（Ⅰ）依题意，过*

(,19)∈≤≤i A i N

i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10

=

i

y x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=??

?=??

x i

i

y x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y

（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为10=+y kx

由2

1010=+??

=?y kx x y

得2

101000--=x kx 此时2

100+4000?=>k ，直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100

+=??

?=-?x x k

x x

4??= OCM OCN S S ∴124=x x

又120?< x x ，∴124=-x x 分别带入2

1010=+??

=?y kx x y

，解得3

2=±k 直线的方程为3

+102

=±

y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE

//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==

在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q

222BE CE BC ∴+=

90BEC ∴∠=?,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥

1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ?平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，

CD ∴⊥平面11ADD A

（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur

的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k

所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r

设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10

AC n AB n ??=???=??uuu r uuu r

得460

30kx ky ky z -+=??

+=?

取2y =，得(3,2,6)n k =-

设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA n

AA n AA n θ=??=?uuu r

uuu r uuu r

6

7

=

=

，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案

2

257226,018

()53636,18k k k f k k k k ?+<≤??=?

?+>??

20．解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π，0ω

>，得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4

π

，(0,)?π∈

故()sin(2)04

4

f ππ

?=?

+=，得2

π

?=

，所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将

cos y x =的图象向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()sin g x x =

（Ⅱ）当(

,)64x ππ

∈

时，1sin 2x <<

1

0cos 22

x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>

问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64

ππ

内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(

,)64

x ππ

∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(

,)64x ππ

∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64

ππ

内单调递增

又1

()06

4

G π

=-

<，()04G π=

> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64

ππ

内存在唯一零点0x ，

即存在唯一的0(

,)64

x ππ

∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程

()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x

a x

=-

，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x

h x x

=-

，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况

22

cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32

x π

= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表

当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞

故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点

由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=?，所以67121342n =?= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点

21．解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''

由12201x x x y y y y '+????????==

? ??? ?'????????，得2x x y

y y

'=+??'=? 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=

依题意121a b =??+=?，解得1

1a b =??=-?

（Ⅱ）由0000x x A y y ????=

? ?????，得000

002x x y y y =+??=?

解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)

（2）解：

（Ⅰ）由点)4A π

在直线cos()4

a π

ρθ-=

上，可得a =

所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=

（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为2

2

(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =

以为圆心到直线的距离1d =

<，所以直线与圆相交 （3）解：（Ⅰ）因为

32A ∈，且12A ?，所以322a -<，且1

22

a -≥

解得

13

22

a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=

当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3