导数

y x y e y x y x ln .413.3.2)12(.1.)

12(3=+==-=+ 求下列函数的导数

一

）处的切线方程

，在点（求曲线求切线方程

二112.1.3--=x x y

）的切线方程

，过点（求曲线112.23--=x x y

）的切线方程

过点（求曲线0,11.32-++=x x y

______2ln .42的最小距离为：到直线上任意一点，则是-=-=x y P x x y P

188.23.1.23423-+-=-=x x x y x x y 图

列表，求极值，并画简三

]

4,1[,3.23-∈-=x x x y 列表，求最值，画简图

四

x x y x x y x x y x x y ln .4ln .3ln .214.1.2

==?=+= 画草图

用导数研究函数图像，五

求单调区间六.

)(1ln )(.1R a x

x a x f ∈-=

范围

恒成立，求对）（求单调区间a x x f R a x a x x a x f ),0(0)(2)1()()1(21ln )(.22+∞∈?≥∈+-+

讨论单调性)1(11ln )(.3<--+

-=a x

a ax x x f

的取值范围上单调，求在区间已知范围

已知单调区间，求参数七a x x a

x x f ]2,1[,ln 23)(.1.2+-=

的取值范围）上为减函数，求在a R a e ax x x f x

+∞∈+=,3[)(3)(.22

的范围单调，求在a x ax x x f ]3,1[653

1)(.323+++=

的取值范围有两个极值点，求已知，则时有极值在已知极值求参数

八a ax x x x f b a x a bx ax x x f )(ln )(.2____013)(.1.223-==--=+++=

的取值范围个不同的交点，求的图像有图像与已知交点个数问题

九m m x x x g e x x x f x 32

131)()1()(.232++=

-+-=

111)(00)(12)1()(.2++-≤-≥=++-=x x e x f x a x x f x e ax x f x x 时，②证明：当①求处取极值在且几个特殊的不等关系式

十

全国二卷(函数、导数)

2009--2015高考数学全国二卷分类试题函数、导数部分（2009全国二卷） 4.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为（）。 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --= 7. 设323log ,log log a b c π=== ）。 A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 22.(本小题满分12分) 设函数()()2 1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()2122 4 In f x ->

（2010全国二卷）（2）函数1ln(1) (1)2 x y x +-=>的反函数是（）。（A ）21 1(0)x y e x +=-> （B ）21 1(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）21 1(R)x y e x +=+∈ （10）若曲线1 2 y x -=在点12,a a -? ? ??? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1 x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1 x f x ax ≤+，求a 的取值范围．

（2）函数 0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2 (0)4 x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ （8）曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（）。 (A)1 3 (B)12 (C)23 (D)1 (9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则 5 ()2 f -=（）。 (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1 2 （22）（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2 x f x x x =+- +，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜

导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上

所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f( x)．二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数：（1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

高中数学高考导数题型分析及解题方法(下载)[1]

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2) ()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值－1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为（1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过 ),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有35 2000--=x y x ②，由①②联立方程组得，??????====255 110000y x y x 或，即切点为（1， 1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由 .23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 ①

【精品】高二导数练习题答案

导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f （x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f(x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??趋向于一个常数A ，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f （x)在点x 0处的导数，记作f'（x 0）或y’|0x x =. 即f'(x 0)=x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00(0→?x )。说明: 求函数y=f （x)在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）; （2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00；（3）取极限，得导数f'(x 0）=x y ??(0→?x ）。 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f(x 0)）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p （x 0，f(x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）.相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数： ①0;C '=②() 1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=；④(cos )sin x x '=-； ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=；⑦()1ln x x '=；⑧()1l g log a a o x e x '=。

导数在函数中的应用

第二课时导数在函数中的应用【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。【高考要求】B 级【自主学习】1．函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的； ② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；

导数及其应用)

导数及其应用导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为．变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 .

导数在经济分析中的应用

导数在经济分析中的应用一、边际分析与弹性分析 1、边际分析例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本；（2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量；（3）当日产量为75件时的平均成本。例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 2、弹性例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为求：（1）需求的价格弹性函数；（2）当单价为4元，5元时的需求弹性。二、函数最值在经济中的应用 1、平均成本最小例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本. 2、最大利润例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。（1）若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量；（2） t 为何值时，政府税收总额最大。 3、最佳批量和批数例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。 4、最佳时间决策例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定0t =）就出售，售价为0R 元. 如果窖藏起来待将来按陈酒价格出售（假设不计储藏费），那未来收入就是时间t 的函数0R R =设资金的贴现率为r ，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒？习题

高三数学精品复习24 导数的定义及几何意义

高三数学精品复习24 导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/ x x y = 。注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③ x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/ =x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000 --→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/ =x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000 =2?k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1 '() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/ = x a x x C x a x C x a x C a x n n n n n n n n n x ?--?++?-+?-+---→?)()()()()()(lim 222110 =

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分）设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；

(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分）已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分）已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--．导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，

利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ．从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-．令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<．故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ．答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ．点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析一、内容安排本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时小结与复习.............. 约2课时二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

全国卷数学导数真题整理

全国卷数学导数真题整理参考答案与试题解析一.解答题(共14小题) 3 1 1. ( 2015?河北)已知函数 f ( x ) =x +ax+亠,g (x ) =- Inx 4 (i) 当a 为何值时，x 轴为曲线y=f (x )的切线； (ii) 用 min {m , n }表示 m , n 中的最小值，设函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } (x >0), 讨论h (x )零点的个数. 2 【分析】(i ) f '(x ) =3x +a .设曲线y=f (x )与x 轴相切于点P (x o , 0),则f (x o ) =0, f (x 0) =0解出即可. (ii )对 x 分类讨论：当 x € (1, + 旳时，g (x ) =- lnx v 0,可得函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } 0,因此只考虑f (x )在(0, 1)内的零点个数即可.对 a 分类讨论： ①当a w-3或a 时，②当-3v a v 0时，利用导数研究其单调性极值即可得出. 2 【解答】解：(i ) f '(x ) =3x +a . 设曲线 y=f (x )与 x 轴相切于点 P (x o , 0),则 f (x o ) =0, f '(x o ) =0, 3 因此当a =-时，x 轴为曲线y =f (x )的切线; (ii )当 x € (1, + 乡时，g (x ) = - lnx v 0, 9 3 X|-i+a =0 ，解得 a=

导数在函数中的应用极值与最值

利用导数求函数的极值与最值【基础知识】 1．函数的极值 (1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程________的根； ③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【基础训练】 1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则关于y ＝f (x )下列说法正确的是________(填序号)． ①在(－∞，0)上为减函数； ②在x ＝0处取极小值； ③在(4，＋∞)上为减函数； ④在x ＝2处取极大值． 2．若函数f (x )＝x 3-3x+a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________ 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________ 【典型例题】例1．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43 . (1)求函数f (x )的解析式； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

《走向清华北大》高考总复习精品14导数的概念及其运算

《走向清华北大》高考总复习精品14导数的概念及其运算班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 解析：∵y ′＝? ???? 1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x 3 ， ∴选B. 答案：B 评析：简单函数的求导，关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的基本函数的模式． 2．已知奇函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的解析式为f (x )＝x 2 ＋x ，则切点横坐标为1的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．3x －y －1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 解析：由题意得，x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2 ＋(－x )＝x 2－x . 又因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2 ＋x . 又函数f (x )过(1,0)，k ＝f ′(1)＝－1. 所以所求的切线方程为y －0＝－1×(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案：B 3．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3 ＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 解析：∵点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12 ＋a ?a ＝－1.∴f (x )＝x 3 －x ＋b . ∵点(1,3)在曲线上，∴b ＝3.故选A. 答案：A

全国高考导数部分大全

全国高考导数部分大全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编 (2019北京理数) （19）（本小题13分）已知函数321()4 f x x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． (2019北京文数) （20）（本小题14分）已知函数321()4 f x x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值． (2019江苏) 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . (2019江苏) 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . (2019江苏) 19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427 ． (2019全国Ⅰ理数) 13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .

导数在使用函数中的应用

导数在使用函数中的应用一．解答题（共30小题） 1．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱柱P﹣ACFE的体积．（1）求证：面PEF⊥面ACFE；（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？ 2．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）． 3．已知f（x）=3﹣4x+2xln2，数列{a n}满足：（1）求f（x）在[，0]上的最大值和最小值；（2）用数学归纳法证明：． 4．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围． 5．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围 6．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围． 7．设函数（1）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

高考数学全国一卷导数

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+， ()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2 π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+， ()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π??- ??? 有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。（2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即。首先来画一下函数图象。 )1ln(sin x x + =

从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间??? ??ππ ,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =- +， 21sin ())(1x 'x g x =-+ +. 当1,2x π??∈- ???时， ()g'x 单调递减，而(0)0,()02 g'g'π><，可得()g'x 在1,2π??- ??? 有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时， ()0g'x >；当,2x α?π?∈ ??? 时， ()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知， ()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时， ()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知， ()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ??? 单调递减，而(0)=0f '， 02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ??∈ ??? ，使得()0f 'β=，

导数