m序列及相关理论分析

m 序列及相关理论分析

摘要：本文阐述了常用伪随机序列m 序列的产生方法，对其自相关性和互相关性等主要性质进行简要分析。 关键字：m 序列；伪随机序列；相关性；

m code sequence and relevant theory analyses

Abstict : This paper expounds the generation method of commonly used pseudo-random sequence: m sequence and carries the brief analys on auto correlation mutual correlation.

Keywords :m sequence; pseudo-random sequence; correlation

1 引言

在通信系统中，随机噪声会使数字信号出现误码和使模拟信号产生失真和，而且随机噪声也是限制信道容量的一个重要因素。因此人们经常希望消除或减少通信系统中的随机噪声。另一方面，在实际需要时人们产生随机噪声并利用随机噪声。例如，在实验室中可能要故意加入一定的随机噪声对通信设备或系统的各个性能指标进行测试。又如通过利用掺入随机噪声来提高通信的可靠性。为了满足上述实际应用要求，则需要产生满足对应要求的随机噪声信号。实际中，难以重复产生和处理随机噪声是利用随机噪声的最大困难。

2 m 序列的产生

m 序列又称伪随机序列、伪噪声码(PN)或伪随机码。其中：确定序列是可以预先确定并且可以重复实现的序列；随机序列是既不能预先确定又不能重复实现的序列；伪随机序列是不能预先确定但可以重复产生的序列。

m 序列（全称：最长线性反馈移位寄存器序列）是最为常用的一种伪随机序列。m 序列是由带线性反馈的移位寄存器产生的序列，并且具有最长的周期。

由n 级串接的移位寄存器和对应级别的反馈逻辑电路可组成动态移位寄存器，如果反馈逻辑线路只用线性模2和构成，那么就称此寄存器为线性反馈移位寄存器；但是反馈逻辑线路中出现如“与”、“或”等运算，那么称此寄存器为非线性反馈移位寄存器。线性反馈逻辑的移位寄存器设定初始状态后，在时钟促使下，每次移位后各级的寄存器状态就会发生移位改变状态。整个系统中的每一级寄存器都会随着时钟节拍的推移输出一个序列，该序列成为移位寄存器序列，以下图1所示的5级移位寄存器为例，图中线性反馈逻辑服从一下递归关系：

52--⊕=n n n a a a （1）

图1 一种5级移位寄存器

由图中可知：将第二级移位寄存器的输出和第五级移位寄存器的输出经过模2和运算后反馈到第一级的输入中。假设这5级移位寄存器的初始值为00001，第1、2、3、4级移位寄存器存储值为0，第五级存储值为1。在移位时钟节拍的作用下，各级移位寄存器的输出状态转移流程图如下表1所示。经过31个时钟后，第31节拍移位寄存器的状态与第0拍的状态(初始状态)相同，因而再经过一个时钟之后，从第32拍开始，移位寄存器必定重复第1至第31拍的过程。这说明该移位寄存器的状态具有周期性，其周期长度为31。如果从第5级输出，选择1000为起点，便可得到如下序列：

表1 m 序列发生器状态转移流程图

由上表可以发现，对于具有5级的移位寄存器共有25

-1=31种不同的状态。上述序列中出现了除全0以外的所有状态，因此上述序列即为可能得到的最长周期的序列。因此具有上述具体线性反馈的移位寄存器的只要移位寄存器不是全0的初始状态，就能得到最长周期的序列。其实，从任何一级寄存器输出所得到的都是周期为31的序列，只是这些序列的节拍不同而已，但是这些序列都是m 序列即最长线性反馈移位寄存器序列。带有线性反馈的移位寄存器周期长短由寄存器的级数、线性反馈逻辑电路和初始状态三种因素决定。但在产生最长周期的序列时，关键要有合适的线性反馈逻辑而且还要求初始状态非全0即可。

n 级线性反馈移位寄存器如图2所示。图2中Ci 表示反馈线的两种可能链接状态，Ci =0表示连线断开，第n -i 级输出未加入反馈；Ci =1表示连线接通，第n -i 级输出加入反馈中。一般形式的线性反馈逻辑表达式为：

)2(mod 102211i n n

i i n n n n a C a C a C a C a -=--∑=⊕⊕⊕= （2）

图2 n 级线性反馈移位寄存器

将等式左边的a n 移到右边，并将a n =C 0a n (C 0=1)代入式（2），则式可改写为

i n n

i i a C -=∑=00 （3）

定义一个与式（3）相对应的多项式

i n

i i x C x F ∑==0

)( （4）

其中x 的幂次表示元素相应的位置。上式成为线性反馈移位寄存器的特征多项式。特征多项式与输出序列的周期有密切关系。可以证明，当F(x)满足下列三个条件就可以确定产生m 序列：

（1）F(x)是不可约的，即不能再分解因式；

（2）F(x)可整除1+p x ,这里12-=p p ，n 是移位寄存器的位数，p 是m 序列周期；

（3）F(x)不能整除1+p x ，这里p q 。

满足上述条件的多项式成为本原多项式。如表2所示为各级的本原多项式系数。

表2 本原多项式系数

当12-=n N 为素数时，由N x +1分解出的所有的级数为r 的不可约多项式均为m 序列的特征多项式。在这一部分，将给出由N x +1分解出的级数r 的不可约多项式的条数N 1和能产生m 序列的特征多项式的条数N m 。由唯一分解定理可知，任一个大于1的正整数n 都可以表示为素数的乘积，即

i i k

i p n α1

=∏=，式中，i p 为素数；i α是正的幂数。不难求出一

个求r 次不可约多项式个数的普遍公式

-+-=∑∑≤≤=m

j p

p r m

i p r m j i i r N 1/1/222[1

]2

)(2

21/1/m

j

i p p p m m m

k j p p r -++∑≤≤ （5）

表3 m 序列长度、不可约多项式个数和m 序列的条数

m 序列具有非常优良的数字理论特性，这是它能够得到广泛应用的根本原因，m 序列既具有一定的随机性，由具有确定性（周期性），以下为他的主要理论特性： 3.1 均衡性

序列中1和0个数具有均衡性，即在每个周期12-=n T 内，0

出现12

1

--n 次，1出现12-n 次。周期12-=n T 的m 徐磊，是由

n 级线性反馈移位寄存器产生的，其反馈逻辑是（11

2⊕-n

X ）

型二项式的本原多项式。这个多项式就是该线性移位寄存器

的状态变换矩阵T 的特征多项式，而且满足11

2

=-n

X ，

这就表明，该反馈线性移位寄存器的状态经过12-n 次变换后回到初始状态，完成一个循环周期，在这12-n 次变换中，恰好遍历了除“全0”之外的全部12-n 种状态。 3.2 游程

在一个序列中连续出现的相同码成为一个游程，连码的个数成为游程的长度。M 序列中共有12-n 个游程，其中长度等于i 的游程占游程总数的21,2/1-≤≤n i i ，此外，还有一个长为n 的1游程和一个长为n-1的0游程。 3.3 循环相加性

若某个n 级线性反馈移位寄存器产生的m 序列，根据它的反逻辑可以写出{x p }序列

i p r

i i p x c x -=∑=1

)2( （6）

当然也有{i p x -}

i p r

i i p x c x --=-∑=ττ1

)2( （7）

其中r i

c i ,,2,1, =是各级的反馈系数。现求其模

2

和

)(1

)2(i p i p i r

i p p x x c x x ---=-⊕=⊕∑ττ （8）

其中符号∑=r

i 1

)2(表示模2加。可见，{τ-

⊕p p x x }与{p x }

是具有相同反馈逻辑的m 序列，只是出相不同。因此，一般地可以表示为

ττ≠=⊕--l x x x l p p p },{}{}{ （9） 这个性质，称为m 序列的循环相加性，用文字来表述是：m 序列{p x }与其循环移位序列{τ-p x }的模2和，必为此序列的另一个循环移位序列}{l p x -，生成后的m 序列可以看做是原m 序列经过τ延时后的结果。 3.4 优良的自相关特性

为了产生实际中的波形和利于数学处理，常常采用的是m 序列的双极性形式，即}1,1{-∈i m ，这里a m i 21-=。m 序列的自相关函数的数学表达式

T

k T T k R mm 1

)(1)(-+=

δ （10） 其中0

,00

,1{)(≠==k k k δ

可以看出，若区多个周期，则0=k 时，m 序列的归一

化自相关函数值为1，其余时刻时值为T 1-。如下图3

图3 m 序列的自相关函数

由此可得到单极性m 序列和双极性m 序列的自相关函数规律：（1）m 序列的单极性和双极性的自相关曲线在t=0处都有一个尖峰，其他处的值很小；（2）双极性m 序列的自相关曲线具有更为良好的特性；（3）由于自相关函数具有类冲激性质，则其功率谱具有更宽的值，类似于白噪声。 3.5 互相关特性

对于周期性函数)()(21t S t S 和，若二者周期均为T ，则互相关函数

dt t S t S R T

)()()(20

1ττ-=? （11）

互相关系数 dt t S t S T

T

)()(1

)(201ττρ-=

? （12）

如果)()(21t S t S 和的周期不同，例)(1t S 的周期为1T 和)(2t S 的周期为2T ,则二者的互相关函数

dt t S t S R T T )()()(20

12

1ττ-=?

（13）

互相关系数 dt t S t S T T T T )()(1

)(20

12

12

1ττρ-=

? （14）

对于周期性二进制序列，如果}{n a 的周期为1p ，}{n b 的周期为2p 那么它们的互相关函数

ττ-=∑=

n p p n n b a R ],[1

21)( （15）

互相关系数

ττρ-=∑=n p p n n b a p p ],[1

2121],[1)( （16）

式中],[21p p 表示21,p p 最小公倍数。

对于有1和0构成的两个二进制序列，其相关函数

D A R -=)(τ （17） 相关系数 P

D

A D A D A +=

+-=

)(τρ （18） 式中A 表示两序列对应元素相同的个数，即模2加后0的个数；D 表示两序列对应元素不同的个数，即模2加后1的个数；P 表示相关元素总数，即P=A+D 。

两个周期分别为1p 和2p ，且1p 和2p 互素的m 序列之间的互相关函数是一个常熟，即2

11

p p =

ρ，如果这个常熟很小，那么不大严格地说，这两个序列是正交的。同理，这两个波形也是正交的。 3.6 功率谱密度

我们知道，信号的自相关函数和功率谱密度构成一对傅里叶变换。可直接对式（10）进行傅里叶变换来求m 序列的功率谱，但是为了方便，可表示为如下形式

)()()(21τρτρτρ-= （19）

上式的傅里叶变换为

)()()(21ωωωΦ-Φ=Φ )(1

)2()2(12ωδπωδωp

pT n T S p p n b b a --+=

∑∞-∞= )(1

)2()2(1220

ωδπωδωp

pT n T S p p n n b b a +-+=

∑∞-∞=≠ （20） 式（19）中，p 为m 序列的周期， T b 为码元周期，

)(ωΦ为)(τρ的傅里叶变换，)(1ωΦ为)(1τρ的傅里

叶变换，)(2ωΦ为)(2τρ的傅里叶变换。m 序列的功率谱具有如下特点：

（1）功率谱为线状谱，谱线间隔为b

pT π

ω20=

。 （2）谱线包络以)2

(2

b

a

T S ω规律变换。

（3）直流分量强度与序列周期平方称反比。 （4）功率谱带宽取决于码元周期。

4 结束语

伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。由于它具有随机噪声的优点，又避免了随机噪声的缺点，因此m 序列是目前广泛应用的一种伪随机序列，其在通信领域有着广泛的应用，如扩频通信，卫星通信的码分多址，数字数据中的加密、加扰、同步、误码率测量等领域。 参考文献

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