第二章作业题答案

2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？

答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

在流场中经过一封闭曲线(不是流线)的所有流线所围成的管状表面，称为流管。

流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。

2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为

22u xy =，22v x y =

试证过点（1，7）的流线方程为

2248y x -=

积分得22y x c -=

代入点（1，7）求积分常数48c =

∴过点（1，7）的流线方程为2248y x -=

2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为

V =22y xy +=常数

求速度分量的表达式。

解：对22y xy +=常数求导，2220dy dy y y x dx dx

++=，得出dy y dx x y -=+

u 和v 的关系，x y u v y

+=-

代入V =得v y =±

求得u 和v 的表达式：,v y u x y ==--或,v y u x y =-=+

2-4 求第2-3题中速度分量u 的最大变化率及方向。

解：梯度矢量G grad i j k x y z

???????==++???

()u x y =±+

()u u G grad i j i j x y

???==+=±+??

G =

2-5 试证在柱坐标系（,,r z θ）下，速度的散度表达式为

1()r r V V w divV V r r z

θθ???=+++??? 证：u v w divV x y z

???=++??? cos x r θ=，sin y r θ=，r dr V dt =，rd V dt θθ= cos sin r dx u V V dt

θθθ==- sin cos r dy v V V dt

θθθ==+ sin cos u u r u u u x r x x r r

θθθθθ???????=+=-??????? cos sin v v r v v v y r y y r r

θθθθθ???????=+=+??????? cos r u V r r θ??=?? ，sin (sin cos )r u V V V θθθθθθθ

??=--+?? sin r v V r r θ??=?? ，cos (cos sin )r v V V V θθθθθθθ

??=+-?? 222222cos sin sin sin cos cos r r r r r r u v V V V V V V V V V x y r r r r r r r r r θθθθθθθθθθθθ????????+=+++++=++????????代入1()r r u v w V V w divV V x y z r r z

θθ??????=++=+++??????

2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？

（a ）3sin u x y =- 23cos v x y =-

（b ）3sin u x y = 23cos v x y =-

（c ）2sin cos u r θθ= 22sin v r θ=-

（d ）2k V r

= 22x y +=常数

解：对于不可压缩流体，应满足连续方程 0u v x y

??+=?? （a ）22 3sin 3sin 0u v x y x y x y

??+=-+=?? 满足质量守恒条件 （b ）22

3sin 3sin 0u v x y x y x y ??+=+≠?? 不满足质量守恒条件 （c

）r = ，arctan y x

θ= ()2223sin sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2sin u u r u u u r r x r x x r r r

θθθθθθθθθθθ???????=+=-=--=???????

33cos cos sin 2sin (4sin cos )2sin 4sin cos v v r v v v r y r y y r r r

θθθθθθθθθθθ???????=+=+=-+-=--??????? 24sin cos 0u v x y

θθ??+=-≠?? 不满足质量守恒条件 （d ）对22x y +=常数求导，220dy x y

dx +=得出dy x dx y =-

u

和v 的关系，x v u y

=- 代入2

k V r == 得3

222()ky

u x y =±+，3222()kx v x y =+

5

5

22222233 0()()u v kxy kxy x y x y x y ??-+=+=??++ 满足质量守恒条件

2-7 流体力学具有分速度

2223/22223/22223/2()()()x u x y z y v x y z z w x y z ?=?++??=?++??=?++?

试问该流场是否有旋？如果无旋，求出其速度位函数。

解：判定无旋流的条件：0,0,0===z y x ωωω 即;x v y u ??=??;y w z v ??=??z

u x w ??=?? 5

22223()v xy x x y z ?-=?++，5

22223()u xy y x y z ?-=?++ ∴u v y x

??=?? 同理;y w z v ??=??z

u x w ??=?? ∴ 该流场无旋 对于无旋流，速度位函数3

2222()xdx ydy zdz

d udx vdy wdz x y z φ++=++=++

1

22221

()c x y z φ=-+++

2-8 有不可压流体作定常运动，其速度场为

2u ax v ay az ω=??=??=-?

式中a 为常数。求：

（1） 线变形率、角变形率；

（2） 流场是否有旋；

（3） 是否有速度位函数存在。

解：微团线变形速率

微团角变形速率

1()02x v u x y ω??=-=?? 同理0,0y z ωω== ∴ 该流场无旋

对于无旋流，速度位函数2d udx vdy wdz axdx aydy azdz φ=++=+-

2221122

ax ay az c φ=+-+

2-9 二维位流流场为3

223

x x xy y φ=--+，求曲线24x y =-上点（2，-1）处的切向速度分量。

解：对24x y =-求导，得出(2,1)21dy y dx x -=-=，

得到45?=?，?为x 轴到切线方向的转角。

22u x x y x

φ?==--?，2v x y y φ?==-+?

cos(,)cos(,)cos sin 2v u x s v y s u v τ??=+=+=-

2-10 设下列几种函数分别代表流动的3个分速度：

（1）,,0u kx v ky ω==-=；

（2）,,u kx v ky kx ω==-=；

（3）,,u kx v ky kz ω==-=；

（4）,,2u kx v ky kz ω===-；

（5）,,u kx v ky kz ω===。

其中k 为常数。问哪几种情况可以代表不可压流动？ 解：对于不可压缩流体，应满足连续方程

0u v w x y z

???++=??? （1）,,0u kx v ky w ==-=；

0u v w x y z

???++=??? 可以代表不可压流动 （2）,,u kx v ky w kx ==-=；

0u v w x y z

???++=??? 可以代表不可压流动 （3）,,u kx v ky w kz ==-=；

0u v w x y z

???++≠??? 不可以代表不可压流动 （4）,,2u kx v ky w kz ===-；

0u v w x y z

???++=??? 可以代表不可压流动 （5）,,u kx v ky w kz ===。

0u v w x y z

???++≠??? 不可以代表不可压流动

2-11 某一流动可描述为()V f r =，22x y +=常数。问()f r 应具有什么形式，流场才能满足连续条件？为什么？

解：对22x y +=常数求导，220dy x y

dx += 得出dy x dx y

=-

u

和v 的关系，x v u y

=- 代入()V f r ==

得1222()

()yf r u x y =±+，1

222()()xf r v x y =+

要满足质量守恒条件，需 0u v x y

??+=?? ∴()n f r cr =（c,n 为任意常数）

2-12 二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？

解：二维点涡的位函数02φθπΓ=

流速只有012V r r

θφθπ?Γ==?，0r V = 11()0r r u v V V V V x y r r r θθθθ

?????+=++==????? ∴满足连续方程

0u v x y ??+=??，满足连续条件

2-13

某二维流动可描述为V ，2y xy +=常数。试用两种方法证明（见习题副图2-13）图中对curl z V 在暗影区的面积分等于－4。

证：对2y xy +=常数求导，20dy dy y

y x dx dx ++= 得出2dy y dx x y

-=+

u 和v 的关系，

2x y u v

y

+=- 代入V ==得v y =±

求得u 和v 的表达式：,(2)v y u x y ==-+或,2v y u x y =-=+

curl z V 为V 在z 轴的旋度，同2z ω

1()12z v u x y

ω??=-=±?? ()(2)4L L L V ds udx vdy x y dx ydy Γ=?=

+=±+=±??? 沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在L 上任意曲面 S 上的涡通量。 ()()24z L L s s

v u V ds udx vdy dS dS x y ω??Γ=?=

+=-==±????????

2-14 一架飞机以180km/h 的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压（即大于或小于大气压的那部分压强）及相对流速为60m/s 处的表压。

解：1180/50/V km h m s ==

根据Bernoulli 方程2

02V p p ρ+=

2

21111() 1.225501531.2522a a a V p p p p p Pa ρ-=+-=

??=表＝ 2222111531.25 1.22560673.7522

V p p Pa ρ-=-??=-表表＝

2-15 有一救火机，见习题附图2-15，出水口直径7.5cm ，入水口直径30cm ，流量是3640L/min(1L=10003cm )，进水口处水压为2×510N/m 2。求救火机所受的反作用力。 解：流量1122Q AV A V ==，

求得1V ＝0.86m/s ，2V ＝13.76m/s

已知进口水压5

1210p pa =? 2

2

121222

V V p p ρρ+=+ 求得52 1.05710p pa =?

根据积分形式动量方程

控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量。

21()x n

S F u V dS Q u u ρρ==-∑??

2

1()y n

S F v V dS Q v v ρρ==-∑?? 112221cos30(cos30)x F p A p A Q V V ρ+-?=?-

222sin 30sin 30y F p A Q V ρ-?=?

41.38810649.6x y F N F N

?=-???=?? X 方向作用力1.388×104N ，方向向后，Y 方向作用力649.6N ，方向向上。