平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量基本定理基础训练题（含详解)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）
A ．
21
36
a b - B ．1
133
a b +
C ．
1124
a b D ．1133
a b -
2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）
A ．3
4a b + B ．
31
44a b + C ．1144
a b +
D ．1344
a b +
3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．12
33
OA AB BC =+ B ．21
33OA AB BC =
+ C ．12
33
OA AB BC =
- D ．21
33
OA AB BC =-
- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若
(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
31
m n
+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11
D ．12
5．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）
A ．3142AE A
B AD →→→
=+
B ．3122AE AB AD →
→→
=+
C ．1142
AE AB AD →→→
=+
D ．3144
AE AB AD →→→
=+
6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）
A ．4
5
AB AD -
+ B ．
4
5
AB AD - C ．4
5
AB AD -+
D ．3
4
AB AD -
+
二、填空题
7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.
8．已知ABC ，若点D 满足34
AB AC
AD +=
，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=
+()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136
a b =-. 故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】
分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意
34AD AB BD a BC =+=+
3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-13
44
a b =+， 故选D ．
点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】
由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ?的重心，运用向量的加法运算，
21()32OA AB AC →→
→
=-?+,整理后可求结果.
【详解】
因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ?的重心，
所以211121()()()323333
OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→
→→→→→
=-?+=-+=-++=--.
故选:D. 【点睛】
本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，
,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：
()3131936612n m m n m n m n m n ??+=++=++≥+= ???， 当且仅当11
,26m n ==时等号成立. 综上可得：31
m n
+的最小值是12.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】
根据题意，选基底AB →
，AD →
表示向量AE →
即可求解. 【详解】
由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，
AE AB BE →→→
=+,①
12
AE AD DC CE AD AB CE
→
→
→
→
→
→→=++=++②
①+②得：322
AE AD AB →
→
→
=+,
即3142
AE AB AD →→→
=+，
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】
由4,CE ED =得4
5
CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】
4
4,,5
CE ED CE CD =∴=
44
55
BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．
4
3
【解析】 【分析】
由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ???
?=+++= ? ??+??
?，由
平面向量基本定理可得
1
2
1
2
μ
λ
λ
μ
?
+=
??
?
?+=
??
，即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图所示：
由题意可得()()
AC AB BM A
AM AN D DN
λμ
λμ
=+++
+=
1111
2222
AB BC AD DC AB AD AB
AD
λμλμ
????????
=+++=+++
? ? ? ?
????????
22
AB AD
μλ
λμ
????
=+++
? ?
????
，
又AC AB AD
=+，所以
1
2
1
2
μ
λ
λ
μ
?
+=
??
?
?+=
??
，
从而
3
()2
2
λμ
+=，即
4
3
λμ
+=.
故答案为：
4
3
.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．
1
3
-
【解析】
【分析】
根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】
由
3
4
AB AC
AD
+
=，可得43
AD AB AC
=+，
所以，33
AD AD AB AC
+=+，即
()
3AD AB AC AD
-=-，
所以，3BD DC
=，故
1
3
BD CD
=-．
故答案为：
1 3 -.
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．