半刚性连接刚框架力学模型分析

半刚性连接刚框架力学模型分析

摘要：众所周知，节点的刚度影响着钢框架的结构性能。要准确的确定节点的刚度值需要对节点采用复杂的数值模拟方法(如有限元)。本文的主要目的是提出一个力学模型以分析节点刚度对框架性质的影响。力学模型是基于用三个弹簧和一个不产生变形的节点模拟来描述相关节点和单元之间的平动位移和转动位移。由此模型可以得到梁构件的刚度矩阵和受弯时的荷载向量。本文举例说明了这种方法的简洁性和实用性。

关键词：刚接；半刚接；连接；计算模型；框架；塑性铰

1.引言

传统的钢结构分析和设计过程中，框架连接通常简化铰接或者刚接的。理想的铰接意味着梁柱之间不传递弯矩，理想的刚接意味着连接该节点的构件之间不发生相互转动[1,2]。但是，这两种情况是实际通常所用的大多数部分传递弯矩的连接的极端形式。

为评估框架的实际性能，有必要考虑连接柔度对框架性能的影响。连接的柔度取决于紧固件的变形，连接的类型，它们的位置和连接构件的局部变形[7-9]。

连接细部构造涉及结构不同构件间的连接，因此，连接细部构造的任何改变都可能导致连接性质的明显变化[10-12]。

一些研究者如Kishi和Chen[9]收集了现有的实验结果并建立了钢结构连接的数据库，不但能提供给用户实验数据还能给出一些预测性的方程。但是并不所有的结构工程师都可以接触到这些实验结果，并且当框架分析中连接的细部构造与现有的实验有明显的不同时，通过数据库得到的连接性质并不能正确的反映实际的连接。

De Lima[13]等人利用神经网络的概念来确定梁柱连接节点刚度的初始刚度。但是这种方法使用范围有限，故作者并没有用实验数据对该方法的正确性加以验证。Lopez[14]等人分析单层网格时基于数值模拟和实验结果建立了一种模型，该模型考虑了节点的刚度。Del Savio等人也建立了半刚性连接节点的一种参数化的模型用来分析空腹梁。

梁柱连接实验结果[1,7,8,10_13,16]表明，在所有连接形式中，弯矩—转角关系都是呈非线性的并且随着连接刚度的变化而变化，两者的关系可用以下公式[17,18]表示：

θ(1) =kMα

由于有大量的参数影响连接的性质，故准确的模拟连接的性质就变得困难起来。总的来讲，初始刚度和极限弯矩是确定节点性质的最重要的两个方面。[2,17,18]

2.力学模型

由于有大量的参数影响连接的性质，故准确的模拟连接的性质就变得困难起来。总的来讲，初始刚度和极限弯矩是确定节点性质的最重要的两个方面。[2,17,18]

选用的力学模型[17]是基于用三个弹簧和一个不产生变形的节点模拟来描述结构的相关节点和单元之间的平动位移和转动位移。

(a)半刚性节点(b)不变形节点(c)杆单元和不变形节点

图1. 力学模型.

图1(a)中结构的节点在图1(b)中用不变形的节点表示，该节点是用平动弹簧单元和转动弹簧单元连接到杆单元上来模拟的，见图1(c)。因此，杆单元端点处有相对的位移和转动。

建立力学模型的目的是以一个简单的方式导出其刚度矩阵和节点荷载向量。为此，模型考虑了半刚性节点(图2(b))对应的杆单元承受的横向荷载，见图2(a)。

2.1平衡方程和旋转变形

平衡方程可表示为：

0i j V V R +-= (2a) 0i j j M M RZ V l ++-= (2b) 建立力学模型的目的是以一个简单的方式导出其刚度矩阵和节点荷载向量。为此，模型考虑

了半刚性节点对应的杆单元承受的横向荷载，见图2(a)。

受弯时，转动弹簧单元起着必不可少的作用，此时，转动变形可以表示为：

136j

i i M

M m i

i l l k M ψαωωω

?Θ=+++- (3a)

236j i

i

M M n j j l

l k M ψαωω

ω?Θ=

-+

+- (3b)

(a)横力作用下的杆单元 (b)各种因素影响的节点转动

图2.半刚性节点连接节点

2.2刚度矩阵

框架构件用基于刚度矩阵的位移法分析。

用直接法建立考虑连接刚度后的修正刚度矩阵，即刚度矩阵的k ij 元素代表由于i 方向的单位位移引起的j 方向力。

用直接法建立考虑连接刚度后的修正刚度矩阵，即刚度矩阵的k ij 元素代表由于i 方向的单位位移引起的j 方向力。

局部坐标系的刚度矩阵K e 为：

111213142122

2324313233344142

4344

e k k k k k k k k K k k k k k k k k = (4)

表1 各类连接形式

框1

梁节点代表在端点处不变形的框架。正如采用的力学模型中所表示的，梁在节点i,j 两端的刚度是不同的，分别为k 1和k 2。确定局部坐标系下的单元度矩e K 的每一个元素ij k 都考虑了平衡方程和转动变形。

例如刚度矩阵的元素2j k 就是通过令公式(3a)和公式(3b)中1i

θ=，0i ?=；0j θ=，

0R ψ==得到的。

=kM αθ中1α=时为线性情况，此时

2211218(12)

[4(13)(13)1]

k k l k k ωωωω+=-

++-

(5a)

2221212(13)

4(13)(13)1

k k k k ωωωω+=++-

(5b)

2321k k =-

(5c)

241264(13)(13)1

k k k ω

ωω=

++- (5d)

其它局部单刚e K 可以通过同样的步骤得到。对于弹簧刚度不同的节点形式，矩阵元素见表1。值得指出的是，对于一般的普通钢结构建筑，两端连接形式一般是理想化的。

在总体坐标系下，刚度矩阵由下式得到：

T e e e e k T K T =

(6)

其中e T 刚度矩阵的变换矩阵，形式如下：

(7)

角度β定义了总体坐标系下单元的方向，其中矩阵[]e K 在框1中给出。

2.3节点荷载向量

如图3所示，梁两固定端点柔度不同，分别为1k 和2k ，并且受到外部力q 的作用。得到节点荷载向量需要考虑i,j 节点的不同形式。

图3. 单元刚度矩阵[]e K 中元素2j k

局部坐标系下的荷载向量见图4(a)，可表示为：e k

(7)

(a)局部坐标系下的杆单元 (b)半刚性节点支撑的梁

图4.杆单元和半刚性节点

固端处M i ,Ｖi和M i,M j见图4(b)，计算公式如下：

2

12

6[2(13)]

[4(13)(13)1]

i

m k n

l k k

M

ω

ωω

ψ+-

=-

++-

(8a)

1

12

6[2(13)]

[4(13)(13)1]

j

n k m

l k k

M

ω

ωω

ψ+-

=

++-

(8b)

这两个公式是通过节点转动位移的边界条件设为0

i i i

?=Θ=Θ=（见图4(b)），由公式(2a)，(2b)，(3a)和(3b)推导出的。

表2 反力

i

M和

j

M

对不同类型的节点(不同的约束条件)，表2列出了反力

i

M和

j

M的计算公式。

节点i和节点j对应的竖直反力

i

V和

j

V计算公式，则可通过分别将公式(8a)和(8b)代入公式(2a)和(2b)得到，如下：

i j

j

M M RZ

l

V++

=(8c)

i j

V V R

=

+(8c)

当对称框架受对称竖向荷载作用时，分析只考虑一半的刚架。因此，反力

i

M和

j

M可通过在图5所示的j节点加竖向滑动支座以后计算得到，约束条件为：

V

i j j

==

=

ΘΘ

图5.支撑的悬臂杆单元

此时公式(2a)，(2b)，(3a)和(3b)变为如下公式：

2122(12)2[1(]

)i RZl k l k k M ωωψ++=-

++ (9a)

1122(12)

2[1(]

)j RZl k l k k M ωωψ-+=

++ (9b)

i R V = (9c)

0i j M M RZ ++= (9d)

表3 固端和竖向滑动支座

对与竖向滑动支座相关的其它支承情况，表3列出了反力i M 和j M 的计算公式。

总体坐标系下的节点荷载向量可由下式得到：

(10)

单元内力可由公式(11)计算得到。

[]{}{}e e e K U F = (11)

2.4实例分析

为验证模型的正确性，需要计算得到一些结果以与文献进行对比。为此，

本文研究了一跨度

为16m ，高度为6m 的框架，该框架承受一大小为10KN 的水平集中荷载和一大小为100KN 竖直集中荷载。通过对刚架采用不同的连接刚度值进行分析，初步提出半刚性连接与梁的刚度相关。

图6.门式刚架[19]

表2 反力i M 和j M

由现有公式计算得到的弯矩值(见表4)，可以推出分析结果与文献[19]结果类似。

3.非线性分析

梁柱连接的柔度是通过弯矩—转角曲线表现的，在整个实际的加载过程中，由于轴向变形和剪切变形小于弯曲变形，所以弯矩—转角曲线是非线性的。

这种非线性的关系适用于所有类型的连接[10-12,7-9,16,20]，并且随连接的柔度的变化而变化。图7提出了几种模型以拟合弯矩—转角曲线。

图7. 弯矩—转角曲线拟合模型

单调加载情况下，弯矩转角间的非线性关系可表示为：

1s

c K M K =Θ=Θ (12)

在每一个加载阶段，这种关系通过以下关系表示：

(1)(1)10j j j k M M +++Θ=

(13)

其中0j M 为第j 阶段的极限弯矩：

第一阶段：(1)(1)1k M =Θ

第二阶段：01(2)

(2)

1k M

M +=Θ 其中(1)

(2)

*

011[1]k k M M =-

，如图8所示。

图8. 节点极限弯矩

在刚架实际设计中弯矩—转角曲线的双线性理想化模型是保守的也是有道理的，这是因为因为实际设计中节点的总体变形特征是必不可少的。

因此，当用弯矩—转角曲线来定义整个节点的特性时，转动变形代表着连接的总体响应。

3.1解决过程：分步方法

根据弯矩—转角曲线的形状(双线性和三线性)和结构的状态，分析过程可以分为若干步骤。第一步，在弯矩—转角曲线的初始阶段，所有节点具有相同的刚度(1)

k

。外部荷载逐渐增加直到

荷载增量达到节点j 允许达到的图8所示的极限荷载*

1M 。

第一阶段荷载增量(1)

W

?对应的弯矩增量(1)

M

?被认为是第二阶段的残余弯矩。

第二阶段的曲线中，节点j 的柔度变为(2)

k

，其它节点柔度不变。荷载继续增加直到荷载增

量达到(2)W ?，此时j 节点总弯矩达到*

1M 或者*

2M ，见图8。

荷载继续逐渐增加直到施加的总的荷载值达到结构所要承受的荷载值。

()n

i i

W W ?=∑

(14)

因此，结构的最终弯矩等于每一阶段残留弯矩增量的总和。

()n

i i

M M ?=∑

(15)

3.2范例

考虑半刚性节点的重要性将在下面的范例中说明。图9所示的框架是用来对比梁柱受弯时刚性节点和半刚性节点的不同，总共考虑了三种情况，刚接情况，半刚接弯矩—转角关系数为线性（对应(1)

k

)情况和双线性（对应(1)

k

和(2)

k

)情况。刚架每米抗弯刚度为ω=15067KN m ，受均布

荷载W 作用，其中W=35KN/m 。

第一步，在弯矩—转角曲线的初始阶段，所有节点具有相同的刚度(1)

k

。

(a)范例 (b)节点弯矩—转角曲线

图9.文献4中示例

第一阶段，所有节点具有相同的刚度(1)

k

。外部荷载逐渐从零增加直到任意节点荷载增量达

到达到这一步的极限荷载*

1M =135.6KN m 。

图10第一阶段弯矩图(单位：KN m)

图10所示的弯矩图显示节点2最先屈服弯矩达到164.36KN 高于*

1M =135.6KN ，因此第一步的荷载增量也达到了(1)

W

?，见表5，表5的第一行给出所有节点的相应的弯矩增量。

在第二阶段，节点2第二部分曲线对应的柔度为(2)

k ，其它节点的柔度保持不变。荷载逐渐

从增加到(2)

W

?，这样给定节点的总弯矩即两个阶段弯矩增量的和，达到了j 点第二部分曲线的

极限弯矩*1M 或者*

2M 。

这种情况下，残留的外部荷载低于(2)

W

?。残留的荷载W ?引起的框架关键点的弯矩增量

在表5中给出。框架的最终弯矩等于两个阶段的增量的和：2

1

2j j M M ?=∑。

表5 弯矩增量值

表5得到的结果和之前的假定结合起来问题就可以得到解决。为显示出刚性节点和半刚性节

点的明显的区别，同样的框架分别采用了不同的节点形式进行了分析。图11所示的弯矩图显示了刚性节点和半刚性节点的之间的区别是明显的，接近30%。可得出结论，框架连接对框架的性能有重要影响。

图11 弯矩图对比(单位：KN m)

(a)杆单元 (b)节点单元

图2.模型采用的弯矩—转角曲线

4.塑性分析

框架特性在塑性形成后退化。由于刚架的平衡路径是非线性的，分析需分步进行，逐渐的增加荷载。

当采用塑性铰的概念时，节点和构件都可以用图12(a)所示的非线性的弹塑性弯矩—转角曲线表示，对不同的节点对应不同的()

i k

。

假定框架构件和节点分别能承受p M 和

int jo p M 的塑性弯矩。

该方法分布分析结构在每一阶段的特性和状态。

计算结果是通过一系列步骤结果的线性叠加得到的，荷载也是逐渐加载直至结构的破坏。最终的塑性荷载是所有荷载增量的总和：()i p W W ?=∑。

分析假定结构在两个加载阶段的是特性的线性的，每个阶段的内力可以通过基于位移模型的

有限元方法计算得到。

为了详细说明这个方法的步骤，本文分析了图13所示的一个一跨一层的门式刚架。在这个例子中，弯矩—转角曲线假定是弹塑性的，梁柱采用IPE330钢。

图13.半刚性节点框架

图14.示例

节点和框架构件的塑性弯矩分别为： int jo p M =114.13KN m 和2p x e M S σ==192.96KN m ，

其计算公式见面几节。 表6 计算过程

表7 各个阶段单位荷载增量在框架关键截面产生的弯矩

第一阶段，如表6和图14所示所有节点具有相同的刚度(1)

k

。由于弯矩()

2i M ?=-74.58KN m(见

表8第一行)，节点2达到了第一部分的极限弯矩，刚度开始变为(2)

k ，见表6第一行。

荷载继续增加，节点2处产生第一个塑性铰(见表6第5行)，这个荷载增量产生的结果在表8第

5行给出。

在接下来的加载过程中，随着荷载的逐渐施加，塑性铰会一个个出现，并且其出现有一特定

的次序，如图15所示。

图15.框唱采用不同节点类型对应的塑性铰出现次序

发生塑性破时的塑性破坏荷载的值即就是每个阶段荷载增量的总和和此时柱顶的水平位移分别为p W =91.293KN ，2u =9.57cm ，见表8。 表8 荷载增量()

i W

作用下框架关键截面的弯矩

表9 与文献[17]对比

为评估半刚性节点对对框架弯矩分布和塑性铰出现次序的影响，本文对前面提到的框架分别采用了不同的节点形式进行了分析。

每个阶段的荷载水平位移关系以及采用不同节点时框架塑性铰出现的次序见图15。 得用静态和动态的理论得到的真解分别作用分析的上限和下限可以验证由本文力学模型推出的公式和方法的正确性。

可以看出，在相同的荷载作用下，半刚性节点框架的水平位移大于刚性节点框架的水平位移。 实际的节点特性改变了塑性铰出现的次序和之前预期的的塑性破坏。在这种情况下，破坏的机制发生了变化，结构的承载能力也有所降低。

最终，结构在低于平常结构分析中采用的破坏荷载时发生破坏。

5.结论

本文研究了钢框架连接柔度对框架性能的影响并通过由一个简单的节点力学模型提出了其分析和设计方法，更精确的分析节点的实际结构性能沿待研究。

计算实例表明，考虑节点柔度对内力分布和构件变形的影响是有必要的。

节点的柔度不但影响梁和柱中内力的分布还影响框架中塑性铰的出现次序和结构的失效荷载。

相比较其它复杂的模型和繁琐的非限线计算程序，本文研究建立了一个简单直接灵活的分析半刚性节点结构的方法。

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