用反证法证明施泰纳-莱默斯定理

用反证法证明施泰纳－莱默斯定理①

①本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的《证明的艺术》一书（湖南教育出版社，2000年6月第1版）．

我们知道，等腰三角形两个底角的平分线相等．反过来，有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢？德国柏林的莱默斯（C ．L ．Lemhus ）研究了这个问题，并向著名几何学家施泰纳请教，1840年，施泰纳给出了第一个证明．为此，该定理称为施泰纳－莱默斯定理．

如图1所示，在△ABC 中，BD ，CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，且BD ＝CE ．求证：AB ＝AC ．

如图2所示，施泰纳将△BCD 与△CBE 分别移到△B ′C ′D ′和△B ′C ′E ′的位置，连接D ′E ′．由BD ＝CE ，得B ′D ′＝B ′E ′，故∠1＝∠2．假设AB ≠AC ，则AB ＜AC 或AB ＞AC ．

如果AB ＜AC ，那么∠ACB ＜∠ABC ．

从而 ∠ACE ＝21∠ACB ＜2

1∠ABC ＝∠ABD ． 所以 ∠B ′D ′C ′＝∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＞∠A ＋∠ACE ＝∠BEC ＝ ∠B ′E ′C ′，

即 ∠B ′D ′C ′＞∠B ′E ′C ′．

又 ∠1＝∠2，

所以 ∠3＞∠4．

所以 C ′E ′＞C ′D ′，即BE ＞CD ．

在△BCD 与△CBE 中，

BD ＝CE ，BC ＝CB ，CD ＜BE ，

故 ∠CBD ＜∠BCE ，

即 21∠ABC ＜2

1∠ACB ， 于是∠ABC ＜∠ACB ，AB ＞AC ，与假设AB ＜AC 相矛盾，故AB ＜AC 是不可能的．

同理可证AB ＞AC 也是不可能的．

从而，AB ＝AC ．

施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣．100多年来，该定理的证明层出不穷．20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信，共提出80多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？

利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：

两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．