数列知识点总结及题型归纳

数

列

一、数列的概念

（1

项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明：

①{}n a 表示数列，n a 的通项公式；

② 同一个数列的(1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?

；（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一

个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值

n a 来代替()f n ，其图象是一

有穷数列和无穷数、 … …

和n S 与通项n a 的关系：

322

+=n ，求数列}{n a 的通项公式

2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。

= (1)n d +-；

d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于

（A ）667 （B ）

3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 2

a b

A +=

a ，A ，

b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2）

例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75

2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为

48，则它的首项是（）

A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质：

()n m a a n m d =+-，

且m n p q +=+，则

n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =，

611a =，则7S 等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63 3.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

4.（2010重庆文）（2

为（）

（A ）5 （5.若一个等差数列前3和为390，则这个数列有（ A.13项 D.10项

6.已知等差数+++=8521221a a a a S ，则

7.（2009则95

S = 8．（98（Ⅰ）求数列｛b n 9.已知{}n a 1010其公差d 等于( )

．．B A C.31 D.32

{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,

S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已n 项和，求T n 。 n S ，已知50302010==a a ， n

812148,168,S a d ==求和；（2）已3151740,a S +=求 S 偶-S 奇nd =； ②

n n S a

S a +=奇偶；

项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；n n n S S 23,-仍成等差数列。 2m 项和为100，则它的前3m 项和 C.210 D.260

2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和

为。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

4.设n S 为等差数列{}n a

5．（06全国II ）设S n ＝

A ．310

B D ．1

题型八①定义法：常数）（+=-n d a a n n (1②中项法：

1++∈+=n a a a n n n （③通项公式法：

,(b k b

kn a n +=④前n 项和公式法：

,(2B A Bn

An S n +=例：1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列 422

+=n ，则数列}{n a 为（）

既不是等差数列也不是等比数列 2

2n =，则数列}{n a 为（）既不是等差数列也不是等比数列

01=++n n a ，则数列}{n a 为（）既不是等差数列也不是等比数列 0212=+-++n n n a a a （*∈N n ）

n 项和，且S n =n 2

，则{a n }是（）

B.等差数列，但不是 D.既非等比数列又非10a <，0d >时，n S 有最小值；

n S an bn =+的

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负

分界项，即：

若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定

n a ≥??

或

n n a a +≤??

≥?。例：1．等差数列最大。

2 ①求出公差d ②指出21S S ，3．（02＜S 6，S 6＝S 7＞S 8A.d ＜0 B.a 74．已知数列{}n a 5.已知}{n a （1）数列}{n a （2）求数列}{n a 6.已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若

100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值．

7.在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．

试写出数列的前5项；（2）数列{}

n a 的通项公式吗？

，14+n 则

}{n a 的通项公式；

1)1)(1(2

-++n a n 2

n S n =，则8a 的值为（）

（D ）64

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公

比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠。一、递推关系与通项公式

1．在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a 2．在等比数列{}n a 中,

7a 3.（07（A ）2 （B ）4.在等比数列{}n a 中，2a 5.345a a a ++=（）

二、等比中项：若三个数b a ,,为ac b ac b =±=2

，注：例：1.2+22.（2009136,,a a a 成等比数列，则{n a A ．2744n n + B 三、等比数列的基本性质，

1.（1）q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若),,,(*

∈N q p n m 其中

（2）)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ，为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. ?{}n a 是各项不为零的常数列. 10是方程2

2510x x ++=的两个根,

5，100109=a a ，则18a = 1433233+>==n n a a a a ，， n n T a 求,lg 的各项为正数，且

310log a +=（）

8 D ．2+3log 5

{}

n a 满足

0,1,2,

n a n >=，且

25252(3)

n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=

（）

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2

(1)n -

四、等比数列的前n 项和，

例：1.已知等比数列}{n a 2.已知等比数列}{n a 穷大时，其前n 项

和=n S

3.设等比数列}{n a 的前和n S

4．（2006年北京卷）设则()f n 等于（）

A ．

2(81)7

- C ．(87

-D ．

2(81)7

n +- 5．（1996全国文，21＝2S 9，求数列的公比q ；

6．设等比数列}{n a 差数列，则q 的值为 .

五. 等比数列的前n 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列.

例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{

a }的前n 项和为

S ，若

S S =3 ，

83 D.3

，前2n 项的和为60，则前3n 项的．63

===m m m S S S 323010，则， }为等比数列； ?≠)0{}n a 为等比数列；

?{}n a 为等比数列； ?为常数）

q {}n a 为等比数列。 ?{}n a 为等比数列。

n n }{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

2.已知数列}{n a 满足)0(2

1≠?=++n n n n a a a a ，则数列}{n a 为

（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前

A.等差数列

B.D.无法判断 5.利用11(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?-≥?例：1.（2005n =1，2，3，……，求a 2，a 32.（2005*

15()n n S S n n N +=++∈四、求数列通项公式方法

（1）．例：1已知等差数列}{n a 2.已知数列}{n a 满足1=a 式；

3.数列{}n a 满足1a =8，a 求数列{}n a 的通项公式；

4. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a =，求

数列}{n a 的通项公式

)1(31≥=n a n ，求数列}{n a 的通项公

124++=?n n n a a a 且（*∈N n ），1

152(5)n n n a +-=-（*∈N n ），求

15223(522)

n n n n a +++?+=+?+141(1).n n a a n -=+>则数列{}n a 的)

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

2132

(1)

(2) a a f a a f -=-=

两边分别相加得 11n a a +-例：1.已知数列{}n a 满足1a 通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足n a +式。

3. 已知数列{}n a 满足n a 项公式。

4. 设数列}{n a 满足1a 项公式

（3）累乘法

适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1

1()n

n k a a f k a +==?∏

13n

n a a ?=，，求数列{}n a 的通项

n a n n 1+=，求n a 。 )1≥，求n a 。 )](2n f n λ+ 5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例：1. 已知数列{}n a 中，1

a =公式。

2.（2006，重庆,文,14则该数列的通项n a =

3.（2006. 福建.理22.*111,21().n n a a a n N +==+∈（5）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过n a =1.（2005北京卷）数列{a n 2，3，……，求a 2，a 3，a 42.（2005*

15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

4. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足

(1)(2)S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

?????≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含

3=，求前n 项和}{n S

n 项和S n =100,则n =（）．12

3=，求前n 项和}{n S 310()n n N +∈，则()f n 等于（）

(81)7n +- D.

2(81)7

n +- .

,2211的和求n n b a b a b a +++

例：1．求和2

1123n n S x x nx -=+++

2.求和：n n a

n a a a S ++++=

32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，

3521a b +=，5313a b +=

列n n a b ??

???

的前n 项和n S ． 3．裂项相消法求和：常

见

拆

121(21)12)(12(1--=+-n n n 数列{}n a 例：1.数列{}n a 的前n 项和为A ．1 B ．

562.已知数列}{n a 4.已知数列}{n a 的通项公式为n

a ＝12

n +，设

1324

n n n T a a a a a a +=

+++

???，求n T ．

)(*N n ∈。 a 的等比数列，令

。

}{n a 的前n 项和n S （2）令1

n n a b （+

∈N n ），求数列}{n b 前n 项和n T

8．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列

②求数列{}n a 的通项公式