圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明

【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：

图1

连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：

图2

连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图3

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠OCA（）

∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。）

【证明】情况4：圆心角等于180°：

圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=

2

1∠BOC（BC弧）

∠OCB=∠OBC=

2

1

∠AOC（AC弧）

∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB

【证明】情况5：圆心角大于180°：

图5

圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，

∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）

∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB

∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB

二、圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论?

①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。

E

②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半?。

③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等?。

?。

④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径

⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。