四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学(文)试题含答案
高2019级高二上入学考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.cos45°cos15°?sin45°sin15°=()
A. 1
2B. √3
2
C. ?1
2
D. ?√3
2
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则cosC=()
A. 1
2B. ?1
2
C. 11
14
D. 13
14
3.两数√2+1与√2?1的等比中项是()
A. 1
B. ?1
C. ?1或1
D. 1
2
4.若sinα=1
3
，则cos2α=()
A. 8
9B. 7
9
C. ?7
9
D. ?8
9
5.设a，b∈R，若a?|b|>0，则下列不等式中正确的是()
A. b?a>0
B. a3+b3<0
C. a2?b2<0
D. b+a>0
6.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形
状为()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
7.已知x>0，y>0，x+9y=3，则1
x +1
y
的最小值为()
A. 16
B. 4
C. 16
3D. 20
3
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=√3，则c等于()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.关于x的不等式x2?(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()
A. (2,3]
B. (3,4]
C. [?3,?2)∪(2,3]
D. [?3,?2)∪(3,4]
10.已知三棱锥A?BCD，若AB⊥平面BCD，∠CBD=90°，CD=3√2，AB=2√3，则三棱锥A?BCD
外接球的表面积为()
A. 28π
B. 30π
C. 32π
D. 36π
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?1
4，则b
c
=()
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
12.设x，y满足约束条件{2x+y?2≥0
x?y?1≤0
x+2y?4≤0
，则目标函数z=x?2y的最大值是()
A. 3
B. 2
3C. 1 D. 1
2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等
腰梯形，那么原平面图形的面积是______．
14.已知两点A(2,1)、B(1,1+√3)满足1
2AB
????? =(sinα,cosβ)，α，β∈(?π
2
,π
2
)，则α+β=______
15.等比数列{a n}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为______．
16.对下列命题：
(1)y=sinx+4
sinx
(0 (2)若{a n}是各项均为正数的等比数列，则{lna n}是等差数列； (3)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若a2+b2>c2， 则△ABC一定是锐角三角形； (4)若向量a?=(4,2)，b? =(λ,1)，且 2 ,+∞)．其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（10分）已知函数f(x)=cos2x+2cos2(x?π 3 ). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若α∈(0,π 2)，f(α)=4 3 ，求cos2α． 18.（12分）已知等比数列{a n}的公比q>1，且a1，a3的等差中项为5，a2=4． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n=n a n ，求数列{b n}的前n项和S n． 19.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且2a?c b =cosC cosB ． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)若△ABC的面积为√3，a+c=2√10，D为AC的中点，求BD的长． 20. （12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1=?10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 21. （12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，cosB =3 5，且AB ????? ?BC ????? =?21． (1)求△ABC 的面积； (2)若c =5，求角C ． 22.（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n?a n?1+1=0(n≥2,n∈N?)且a1=1，数 (n∈N?)，其前n项和为T n． 列{c n}满足c n=1 n(n+2) (1)设b n=a n+1，求证：数列{b n}为等比数列； (2)求S n和T n； log a(1?a)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围． (3)不等式T n>1 3 高2019级高二上入学考试数学试题 班级：姓名：总分： 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 23.cos45°cos15°?sin45°sin15°=() A. 1 2B. √3 2 C. ?1 2 D. ?√3 2 【答案】A 【解析】解：cos45°cos15°?sin45°sin15° =cos(45°+15°) =cos60° =1 2 ． 故选：A． 观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．24.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则cosC=() A. 1 2B. ?1 2 C. 11 14 D. 13 14 【答案】B 【解析】解：∵△ABC中，a=3，b=5，c=7， 根据余弦定理，得cosC=a2+b2?c2 2ab =32+52?72 2×3×5=?1 2 ． 故选：B． 直接利用余弦定理求出cos C的值． 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题． 25.两数√2+1与√2?1的等比中项是() A. 1 B. ?1 C. ?1或1 D. 1 2【答案】C 【解析】解：设√2+1与√2?1的等比中项是x， 则满足x2=(√2+1)(√2?1)=(√2)2?1=2?1， 则x=1或x=?1， 故选：C． 根据等比数列等比中项的公式进行求解即可． 本题主要考查等比中项的求解，比较基础． 26.若sinα=1 3 ，则cos2α=() A. 8 9B. 7 9 C. ?7 9 D. ?8 9 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据cos2α=1?2sin2α能求出结果． 【解答】 解：∵sinα=1 3 ， ∴cos2α=1?2sin2α=1?2×1 9=7 9 ． 故选B． 27.设a，b∈R，若a?|b|>0，则下列不等式中正确的是() A. b?a>0 B. a3+b3<0 C. a2?b2<0 D. b+a>0 【答案】D 【解析】解：利用赋值法：令a=1，b=0 b?a=?1<0，故A错误； a3+b3=1>0，故B错误； a2?b2=1>0，故C错误； 排除A，B，C， 故选：D． 由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除． 此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题． 28.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形 状为() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题． 由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=π ，由此可得△ABC的形状． 2 【解答】 解：△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵bcosC +ccosB =asinA ，则由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ， 即sin(B +C)=sinAsinA ，，可得sinA =1，故A =π 2，故三角形为直角三角形， 故选：B ． 29. 已知x >0，y >0，x +9y =3，则1 x +1 y 的最小值为( ) A. 16 B. 4 C. 16 3 D. 20 3 【答案】C 【解析】解：因为x >0，y >0，x +9y =3， 则1 x +1 y =(1 x +1 y )(x +9y)×1 3=1 3(10+ 9y x +x y )≥13 (10+6)= 163 ， 当且仅当9y x =x y 且x +9y =3即y =1 4，x =3 4时取等号． 故选：C ． 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 30. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边为a ，b ，c ，A =60°，b =1，S △ABC =√3，则c 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】解：S △ABC =1 2bcsinA =1 2×1×c ×sin60°=√3， 解得c =4． 故选：D ． 利用三角形面积计算公式即可得出． 本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 31.关于x的不等式x2?(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是() A. (2,3] B. (3,4] C. [?3,?2)∪(2,3] D. [?3,?2)∪(3,4] 【答案】C 【解析】解：由x2?(a+2)x+a+1<0可得(x?1)[x?(a+1)]<0， 当a+1>1即a>0时，不等式的解集为(1,a+1)，若满足解集中恰有2个整数，则3 当a+1<1即a<0时，不等式的解集为(a+1,1)，若满足解集中恰有2个整数，则?2≤a+1 综上可得，a的范围[?3,?2)∪(2,3] 故选：C． 由已知结合二次不等式的求法先求出二次不等式的解集，然后结合端点的大小即可求解． 本题主要考查了含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用、 32.已知三棱锥A?BCD，若AB⊥平面BCD，∠CBD=90°，CD=3√2，AB=2√3，则三棱锥A?BCD 外接球的表面积为() A. 28π B. 30π C. 32π D. 36π 【答案】B 【解析】解：将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这 个长方体的外接球相同， 由题意可得长方体的对角线为√AB2+CD2=√(3√2)2+(2√3)2= √30， 由长方体的对角线的其外接球的直径2R，所以(2R)2=(√30)2，即 4R2=30， 所以外接球的表面积S=4πR2=30π， 故选：B． 由题意将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，由题意可得长方体的对角线，而长方体的对角线与其外接球的直径相同，进而求出外接球的表面积． 本题考查三棱锥的外接球的半径与三棱锥的棱长的关系，及球的表面积公式，属于一般题． 33.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?1 4，则b c =() A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题． 利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果． 【解答】 解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设该三角形外接圆的半径为R，根据正弦定理有： 又asinA?bsinB=4csinC， ∴a·a 2R ?b·b 2R =4c·c 2R ,即a2=4c2+b2，又， ∴{a2?b2=4c2 cosA=b2+c2?a2 2bc =?1 4 ， 解得b c =6，故选A． 34.设x，y满足约束条件{2x+y?2≥0 x?y?1≤0 x+2y?4≤0 ，则目标函数z=x?2y的最大值是() A. 3 B. 2 3C. 1 D. 1 2 【答案】C 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由由z=x?2y得y=1 2x?1 2 z，平移直线y=1 2 x?1 2 z， 由图象可知当直线经过点B(1,0)时，直线的截距最小，此时z最大，代入z=x?2y得最大值为z=1． 故选：C． 利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=x?2y得y=1 2x?1 2 z，根据平移直 线确定目标函数的最大值． 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 35.如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰 梯形，那么原平面图形的面积是______． 【答案】2+√2 【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A′B′=2，下底为BC=1+√2， ∴1+1+√2 2 ×2=2+√2． 故答案为：2+√2． 原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+√2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解． 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础． 36.已知两点A(2,1)、B(1,1+√3)满足1 2AB ????? =(sinα,cosβ)，α，β∈(?π 2 ,π 2 )，则α+β=______ 【答案】0或?π 3 【解析】解：两点A(2,1)、B(1,1+√3)满足1 2AB ????? =(sinα,cosβ)， 可得1 2(?1,√3)=(?1 2 ,√3 2 )=(sinα,cosβ)， 即为sinα=?1 2，cosβ=√3 2 ， α，β∈(?π 2,π 2 )，可得α=?π 6 ，β=±π 6 ， 则α+β=0或?π 3 ． 故答案为：0或?π 3 ． 运用向量的坐标运算和特殊角的三角函数值，可得所求和． 本题考查向量的坐标运算和特殊角的三角函数值，考查运能力，属于基础题．37.等比数列{a n}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为______．【答案】70 【解析】解：根据等比数列{a n}的性质，(S2m?S m)2=S m?(S3m?S2m) 由于前m项和为10，前2m项和为30， 则：(30?10)2=10?(S3m?30)， 解得：S3m=70． 故答案为：70． 直接利用等比数列的性质：(S2m?S m)2=S m?(S3m?S2m)建立方程求出结果． 本题考查的知识要点：等比数列性质的应用及相关的运算问题． 38.对下列命题： (0 (1)y=sinx+4 sinx (2)若{a n}是各项均为正数的等比数列，则{lna n}是等差数列； (3)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若a2+b2>c2， 则△ABC一定是锐角三角形； ,+∞)． (4)若向量a?=(4,2)，b? =(λ,1)，且 2其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)． 【答案】(2)(3) ≥4， 【解析】解：对于(1)，因为0 sinx 取等条件是sinx=2，条件不成立，(1)错误； 对于(2)，因为{a n}是各项均为正数的等比数列， 所以设a n=a1q n?1，a1>0，q>0，即lna n=lna1+(n?1)lnq， 所以{lna n}是等差数列，(2)正确； >0，所以角C为锐角， 对于(3)，根据大边对大角可知角C最大，而cosC=a2+b2?c2 2ab 故△ABC一定是锐角三角形，(3)正确； 对于(4)，因为 且λ≠2，(4)错误． 即4λ+2>0且4×1?2λ≠0，解得λ>?1 2 故答案为：(2)(3)． 根据各命题对应知识逐个判断即可得出． 本题主要考查基本不等式，数列，解三角形，以及向量的有关知识的应用，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 39.（10分）已知函数f(x)=cos2x+2cos2(x?π 3 ). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若α∈(0,π 2)，f(α)=4 3 ，求cos2α． 【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=cos2x+2cos2(x?π 3)=cos2x+1+cos(2x?2π 3 )=cos2x+√3 2 sin2x? 1 2cos2x+1=√3 2 sin2x+1 2 cos2x=sin(2x+π 6 )+1，…4分 ∴函数f(x)的最小正周期T=2π 2 =π…5分 (Ⅱ)由f(α)=4 3，可得sin(2α+π 6 )=1 3 ， ∵α∈(0,π 2 )， ∴2α+π 6∈(π 6 ,7π 6 )，…7分 又∵0 6)=1 3 <1 2 ， ∴2α+π 6∈(π 2 ,π)，…8分 ∴cos(2α+π 6)=?2√2 3 ，…10分 ∴cos2α=cos[(2α+π 6)?π 6 ]=cos(2α+π 6 )cosπ 6 +sin(2α+π 6 )sinπ 6 =1?2√6 6 …12分 【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=sin(2x+π 6 )+1，利用正弦函数的周期公式即可求解． (Ⅱ)由f(α)=4 3，可得sin(2α+π 6 )=1 3 ，由已知又0 6 )=1 3 <1 2 ，可求范围2α+π 6 ∈(π 2 ,π)， 利用同角三角函数基本关系式可求 cos(2α+π 6 )，进而根据两角差的余弦函数公式可求cos2α的值． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 40. （12分）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1，a 3的等差中项为5，a 2=4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =n a n ，求数列{ b n }的前n 项和S n ． 【答案】解：(1)等比数列{a n }的公比q >1，且a 1，a 3的等差中项为5，a 2=4． 故：{ a 1(1+q 2)=10a 1q =4，解得{a 1 =2 q =2 ． 故：a n =2n ． (2)b n =n a n =n 2n ， 所以S n =12+222+?+n 2n ①， 1 2S n =122+223+?+n 2n+1②， ①?②得：1 2S n =(1 2+1 22+?+1 2n )?n 2n+1=12(1?1 2 n )1?12 ? n 2n+1 ， 解得：S n =2? n+22n ． 【解析】(1)直接利用数列的通项公式的应用求出数列的通项公式． (2)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 41. （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且 2a?c b = cosC cosB ． (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若△ABC 的面积为√3，a +c =2√10，D 为AC 的中点，求BD 的长． 【答案】解：(I)∵ 2a?c b =cosC cosB ，由正弦定理得 2sinA?sinC sinB = cosC cosB 整理得2sinAcosB =sinBcosC +cosBsinC =sin(B +c) ∵B +C =π?A ，则2sinAcosB =sinA.. ∵A ∈(0,π)，∴sinA ≠0 ∴cosB =1 ∵B ∈(0,π)，∴B =π 3． (II)由1 2acsin π 3=√3，ac =4． ∵BD ?????? =12 (BA ????? +BC ????? )，两边平方得|BD ?????? |2=14 (|BA ????? |2+|BC ????? |2+2BA ????? ?BC ????? ) ∴|BD ?????? |2=14(a 2+c 2+ac)=1 4 [(a +c)2?ac]=9 ∴BD =3． 【解析】(Ⅰ)将已知条件边化角，利用三角变换公式可得； (Ⅱ)将BD ?????? =1 2(BA ????? +BC ????? )两边平方可得． 本题考查了三角形中的计算，属中档题． 42. （12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1=?10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1=?10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列，∴(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)， 即：(?2+2d)2=d(?4+3d)，解得d =2，∴a n =a 1+(n ?1)d =?10+2n ?2=2n ?12； (2)由a 1=?10，d =2，得：S n =?10n +n(n?1)2 ?2=n 2?11n =(n ? 112 )2 ? 1214 ， ∴n =5或n =6时，S n 取最小值?30． 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，由题设条件列出d 的方程，解得d ，即可求得a n ； (2)先由(1)求得S n ，再求S n 的最小值． 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和的最值，属于基础题． 43. （12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，cosB =3 5，且AB ????? ?BC ????? =?21． (1)求△ABC 的面积； (2)若c =5，求角C ． 【答案】解：(1)AB ????? ?BC ????? =cacos(π?B)=?accosB =?21， ∵cosB =3 5，∴ac =35，sinB =4 5 ， 则△ABC 的面积为S △ABC =1 2acsinB =14； (2)∵c =5，∴a =7， 则由余弦定理可得b 2=a 2+c 2?2accosB =49+25?2×5×7×3 5=32，即b =4√2 由余弦定理可得：cosC = a 2+ b 2? c 2 2ab = √2 2 ， 因为C ∈(0,π)，所以C =π 4． 【解析】(1)根据AB ????? ?BC ????? =?21结合cosB =3 5可求得ac ，sin B ，利用三角形面积公式可得其面积； (2)利用余弦定理得到b ，再利用余弦定理求得cos C ，即可求得C ． 本题考查平面向量数量积运算性质，涉及余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． 44. （12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2a n ?a n?1+1=0(n ≥2,n ∈N ?)且a 1=1，数 列{c n }满足c n =1 n(n+2)(n ∈N ?)，其前n 项和为T n ． (1)设b n =a n +1，求证：数列{b n }为等比数列； (2)求S n 和T n ； (3)不等式T n >1 3log a (1?a)对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2a n ?a n?1+1=0，整理得a n =1 2a n?1?1 2， 变形为：a n +1=1 2(a n?1+1)， 由于b n =a n +1， 所以b n =1 2b n?1， 故数列{b n }为等比数列是以2为首项，1 2为公比的等比数列． (2)数列{c n }满足c n =1 n(n+2)=12(1 n ?1n+2)． 所以：T n =c 1+c 2+c 3+?+c n =1 2(1?1 3+1 2?1 4+?+1 n?1?1 n+1+1 n ?1 n+2)=3 4?1 2(1 n+1+1 n+2)． 数列{b n }为等比数列是以2为首项，1 2为公比的等比数列． 由于b n =a n +1， 所以a n =b n =a n ?1， 所以S n = 2(1? 12n )1?12 ?n =4?22?n ?n ． (3)由T n+1?T n =1 2[(1 n+1+1 n+2)?(1 n+2+1 n+3)]=1 2(1 n+1?1 n+3)>0， 所以数列{T n }单调递增，T n 的最小值为T 1=1 3． 不等式T n >1 3log a (1?a)对任意的正整数恒成立， 即1 3log a (1?a)<1 3， 所以log a (1?a)<1=log a a ， 即：{ 0a