空间几何体的三视图与直观图

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2 空间几何体的三视图

一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.

比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.

画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力. “视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”用.这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.

教科书从复习初中学过的正方体、长方体的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；

接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.

三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.

值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握画三视图的基本技能

（2）丰富学生的空间想象力

2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3．情感、态度与价值观

（1）提高学生空间想象力

（2）体会三视图的作用

三、重点难点

教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点：识别三视图所表示的几何体.

四、课时安排

1 课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路 1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及

日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.

教师指出课题：投影和三视图.

思路2.

横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体

的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图?在初中，我们已经学习

了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视

图吗？

教师点出课题：投影和三视图.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的

②通过观察和自己的认识，你是怎样来理解投影的含义的？

③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同?

图2

④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？

活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片

②从投影的形成过程来定义?

③从投影方向上来区别这三种投影?

④根据投影线与投影面是否垂直来区别?

⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点?

讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影?

② 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子, 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕

③ 图2（ 1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图 2（2）和

（3）

的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影

④ 图2（ 2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图 2（ 3）中，投影线不是正对着

投影面，这种平行投影称为斜投影

?

⑤ 在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影 下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形 ?以后我们用正投影的方法来画出

空间几何体的三视图和直观图 .

知识归纳：投影的分类如图4所示?

提出问题

① 在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部 分？ ② 正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？ ③ 一般地，怎样排列三视图？

④ 正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图， 它们都是平面图形 观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、 侧视图和俯视图在形状、 大小

方面的关系吗？

讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图

?

② 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图） ；光线从几

何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图） ；光线从几何体的上面向下

面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图

③ 三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边

?如图5所示?

俯视图

图5

④ 投影规律：

（1 ）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度

（2） 一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样, 即正、俯视图——长对正；主、侧视图 ——高平齐；俯、侧视图 ——宽相等?

画组合体的三视图时要注意的问题：

（1） 要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同 （2） 判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的 交线位置?

（3） 若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都

这种现象叫做投影?其中，我

图4

止觇图 测观图

用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出?

（4 ）要检验画出的三视图是否符合长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；正、

侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应

由三视图还原为实物图时要注意的问题：

我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图?

（三）应用示例

思路1

例1画出圆柱和圆锥的三视图.

活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成

解：

图6

点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力

象能力?要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图

合?

变式训练

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

例2 试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图?

活动：引导学生认识这种容器的结构特征?矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体, 其主要

结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱

?有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想

（几何体的实物图）和画图（三视图）相结

答案：图7（1）是正六棱锥；图

图7

是两个相同的圆台组成的组合体

1E视图側视图正视图侧视图俯觇图俯视图

能是图12乙中的 ______________

图12

活动：要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点 上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的

分析：在面ABCD 和面A 1B 1C 1D 1上的投影是图12乙（1）；在面ADD 1A 1和面BCC 1B 1上的投影是图 12乙（2）；在面ABB 1A 1和面DCC 1D 1上的投影是图12乙（3）.

答案：（1）（ 2）（ 3）

点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力 ?画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形 的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影， 再依次连接即可得此图形在该平面上的投影

?如果对平行投

影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义， 借助于空间

想象来完成?

图8

解：三视图如图9所示.

点评：本题主要考查简单组合体的三视图 的基本结构，然后再画它的三视图 .

变式训练

画出图10所示的几何体的三视图?

.对于简单空间几何体的组合体， 一定要认真观察，先认识它

图10

答案：三视图如图11所示?

图11

思路2

例1

（2007安徽淮南高三第一次模拟，文

16）如图12甲所示，在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 、F

分别是AA 1、C 1D 1的中点, G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可

A 、G 、F 、E 在每个面

俯视图

乙

(4)

变式训练

如图13(1)所示，E 、F 分别为正方体面 ADD A'、面BCC B 勺中心，则四边形 BFD'E 在该正方体的各 个面上的投影可能是图

13(2)的 ____________ .

(1)

分析：四边形BFD E 在正方体 ABCD

— A' B ' C 的面ADD A'、 面BCC B '上 的投影是 C ;在面 DCC D 上的投影是 B ;同理，在面 ABB' A 、面ABCD 、面A ' B ' C 上的投影也全是 B.

答案：B C

例2 (2007广东惠州第二次调研，文 2)如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、 乙、丙对应的标号正确的是(

)

D n A A A A

正视图

侧视图 正视图测视圈 正视图

O

A

谢视图

俯视图

甲

乙

丙

图14

①长方体 ②圆锥③三棱锥 ④圆柱

A.④③②

B.②①③

C.①②③

D.③②④

分析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由 于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都 是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形， 则丙是圆锥?

答案：A

点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征 ?根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能

力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征， 从而判断三

视图所描述的几何体

?通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，

再结合正视图和侧视图确

定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体

.

变式训练

1?图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状

视图

图16

A a

图15

分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧

视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体

答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体

2.

（ 2007山东高考，理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（

）

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④ 分析：

止方体的三视图都是止方形，

所以①不符合题意，排除 A 、B 、C.

答案： D

点评： 虽然三视图的画法比较繁琐， 但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考 的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题

（四）知能训练

1?下列各项不属于三视图的是（

） A. 正视图

B.侧视图

C.后视图 分析：根据三视图的规定，后视图不属于三视图

.

答案：C

）

B. —条直线

D.两条相交直线或一条直线

图18

分析：借助于长方体模型来判断，如图

18所示，在长方体 ABCD — A^Q I D I 中，一束平行光线从正

上方向下照射.则相交直线 CD 1和DC 1在面ABCD 上的平行投影是同一条直线 CD ，相交直线 CD “和BD 1 在面ABCD

上的平行投影是两条相交直线 CD 和BD.

答案：D 3.

甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字 说他看到的是 “6；'乙说

他看到的是 “ 6,”丙说他看到的是 “ 9,” 丁说他看到的

是 （ ）

A. 甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边

?该几何体的形状如图 16所示.

2.两条相交直线的平行投影是（

A.两条相交直线 C.两条平行直线

D.俯视图

“9,”如图19所示.甲 “9”则下列说法正确的是

P L

G

图19

B. 丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙

C. 甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁

D. 甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

分析：由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图 乙在甲的右边，丙在丁的右边

答案：D 4.

（ 2007广东汕头模拟，文 3）如果一个空间几何体的正视图与侧视

图均为全等的等边三角形，俯视图为 一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）

A.棱锥

B.棱柱

C.圆锥

D.圆柱

分析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为全等的等边三 角形，则该

几何体是圆锥.

答案：C 5.

（ 2007山东青岛高三期末统考，文 5）某几何体的三视图如图 21所示，

那么这个几何体是（

图21

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥

?

答案：B 6. （ 2007山东济宁期末统考，文

5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图

22

所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（

）

图22

A. 8

B.7

C.6

D.5 分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有 5个小正

方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有

6个小正方体.

答案：C

20所示，由此可得甲在丁的对面

,

丙

图20

7?画出图23所示正四棱锥的三视图

图23

分析： 正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧 棱. 答

案：

正四棱锥的三视图如图 24.

图25

分析：解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的 在三视图中，每个视图都反

映物体两个方向的尺寸?正视图反映物体的上下和左右尺寸，

俯视图反映物体的前后和左右尺寸，

侧视图反

映物体的前后和上下尺寸 ”又 正视图与俯视图长对正，正视图与侧视图高平齐，俯视图与侧视图宽相等 ”所

以，我们可以得到 a=3,b=1,c=1,d,e,f 中的最大值为2.

解：(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论： ① a=3,b=1,c=1; ② d,e,f 中的最大值为2.

所以上述字母中我们可以确定的是 a=3,b=1,c=1.

(2)当d,e,f 中有一个是2时，有3种不同的形状； 当d,e,f 有两个是2时，有3种不同的形状； 当d,e,f 都是2时，有

一种形状.

所以该几何体可能有 7种不同的形状. (六) 课堂小结 本节课学习了： 1. 中心投影和平行投影 .

图24

(五) 拓展提升

问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图 的字母表示在该位置的小立方体的个数

25所示，俯视图中小正方形中

(1) 你能确定哪些字母表示的数？

(2) 该几何体可能有多少种不同的形状?

2. 简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律

3. 由三视图判断原几何体的结构特征.

（七）作业

习题 1.2 A 组第1、 2 题.

§ 1.2.3 空间几何体的直观图

一、教材分析

“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观

图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形

来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，

可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应

当是学生首先要掌握的方法.

值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.

（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.

2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.

3．情感态度与价值观

（1）提高空间想象力与直观感受.

（2）体会对比在学习中的作用.

（3）感受几何作图在生产活动中的应用.

三、重点难点

教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.

教学难点：直观图和三视图的互化.

四、课时安排

1 课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路 1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图.

思路 2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复

杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，

是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤

③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体

ABCD —A B' C勺直观图.

④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.

活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师

及时给予点评.

②根据上述画法来归纳.

② 步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的 应的x 轴与y 轴，两轴交于点 O ，且使/ x '

2。 已知图形中平行于 x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于

3。 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观

x 轴和y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对 O y ' °4或135° ),它们确定的平面表示水平面 .

x 轴或y 轴的线段. y 轴的线段，长度为原来的

③ 画法：1°画轴?如图2,画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O ,使/ xOy=45

，/ xOz=90 ° ?

2°画底面?以点0为中点，在x 轴上取线段 MN ，使MN=4 cm;在y 轴上取线段

.. 3 八 PQ ，使 PQ=—cm.分

2

A 、

B 、

C 、

D ，四边

别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点 P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为 形ABCD 就是长方体

的底面 ABCD.

3。 画侧棱?过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 BB '、CC'、DD'.

4。 成图?顺次连接A '、B '、C'、D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) 方体的直观图?

点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度 也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感

④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直 观图实际上建立的是平面直角坐标系

?画几何体的直观图的步骤是：

2 cm 长的线段AA'、

，就得到长 1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使/ xOy=90 °，/

yOz=90 ° ?

2 ° 画出与 Ox 、Oy 、Oz 对应的轴 O' x'O' y'O' z'使/ x ' O' y '° =4区 y ' O' z ° =90 O 所 y '确定的 平面表示水平平面?

3。 已知图形中，平行于 x 轴、y 轴和z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴、y 轴和z 轴的线

段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同

4。 已知图形中平行于 x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原 来的一半?

③ 让学生比较两种画法的步骤 ?

讨论结果：①画法：1°如图1 (1),在正六边形 ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴 MN 所在直线为y 轴，两轴相交于点 0?在图1(2)中，画相应的x 轴与y 轴，两轴相交于点 O ，使/ x ' O y ' °45

MN.以点N'为中点画B ' C

2

平行于x 轴，并且等于 BC ;再以M 为中点画E '平行于x 轴，并且等于EF.

3°连接A ' B'C' D' D' E'F ' A '并擦去辅助线x 轴和y 轴，便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直 观图 A ' B ' C D' E 图 F1(3)丨.

2。在图1(2)中，以0'为中点，在 x 轴上取 A ' D ' =AD 在 y 轴上取 M N 1

5。擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图斜二测画法的作图技巧：

1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等?2。在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线?原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出

3。在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图

(三)应用示例

思路1

例1用斜二测画法画水平放置的圆的直观图?

活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流?教师适当点评?

解：(1)如图3(1)，在O O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB n等分?过各分点分别作y轴的平行线，交O O于E,F, G,H，…，画对应的x轴和y轴，使/ x' O' y ° =45

图3

1

⑵如图3(2)，以°为中点，在x轴上取A' B' =AB在y轴上取C D 2=CD，将A' Bn等分，分别以这些

1 1

分点为中点，画与y轴平行的线段E' F'G' H；…，使E ' F '丄EF ,G ' H,….

2 2

(3)用光滑曲线顺次连接A', D' , F: H',…，B', G , E', C', A'并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)丨.

点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图

变式训练

1?画水平放置的等边三角形的直观图?

答案：略?

2?关于斜二测画法”，下列说法不正确的是( )

A. 原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变

1

B. 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的

2

C. 在画与直角坐标系xOy对应的x ' O'时y'/ x ' O'必须是45°

D. 在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x ' O'时，’/ x ' O'也可以是135°，所以C不正确.

答案：C

例2如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图

活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并 且圆锥的底面与圆柱的上底面重合 ?我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥 解：画法：

(1) 画轴.如图 5 (1),画 x 轴、y 轴、z 轴，使/ xOy=45 °，/ xOz=90

⑴ ⑵

图5

(2) 画圆柱的两底面，仿照例 2画法，画出底面O O.在 z 轴上截取O',使OO 等于三视图中相应高度, 过O'作Ox 的平行线O x ' ,Oy 平行线O' y 禾利用O x 与 O' 画出底面O O (与画O O 一样). (3) 画圆锥的顶点.在Oz 上截取点P ,使PO 等于三视图中相应的高度.

(4) 成图.连接PA , PB , A ' A, B ' B,整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图 5(2)丨.

点评： 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直 观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图

变式训练

图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗?

答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合 体.其直观图略.

mm

.教师分析

:

p

p

思路2

例 1 如图7 所示，梯形ABCD 中，AB // CD, AB=4 cm , CD=2 cm，/ DAB=30 ° , AD=3 cm，试画出它的直观图.

活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过D作出该点在x轴的垂足，则对应地可以作出线段DE的直

观图，进而作出整个梯形的直观图?

解：步骤是：(1)如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x轴，y轴，使/ x' A y' °=45

3

(2)如图8所示，过D点作DE丄x轴，垂足为E.在x轴上取A B' =AB=4m ,A' E =AE「3 cm疋2.598Cm ; 2

1

过E'作E D y 轴，使E' D'-ED，再过点D'作D' C'// x 轴，且使D' C' =CD=cm.

2

图8 图9 图10

(3)连接A D B' C C' D,'并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边形A B' C'就)'

是所求作的直观图.

点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当

的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D'位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E',再去确定D'的位

置.

变式训练

1. 如图11所示，直角梯形ABCD中，AD // BC,且AD > BC ,该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得几何体，画出该几何体的直观图和三视图

图11

答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图12所示，三视图如

图13所示.

正视图 恻视图

2?已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为

4,则此正方形的面积是（

）

A.16

B.64

C.16 或 64

D.都不对

分析：根据直观图的画法，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的一半，于是长

为4的边如果平行于x 轴，则正方形边长为 4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长 为8，面

积是64.

答案：C （四）知能训练

1?利用斜二测画法画直观图时：

① 三角形的直观图是三角形；

② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形? 以上结论中，正确的是 ____________ .

分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图 还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于

y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正

方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错

答案：①②

2?—个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为

2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）

A.2 -6

B.4 .6

C. .3

D.都不对

分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的

2 2倍，而正三角形的高是

3，所以原三角形的高为 2 6，于是其面积为 丄X2X2^ 6 =2 6.

2

答案：A

3?—个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1的等腰梯形，则该平面图形的

面积等于（

）

1 .

2 “ - 2 A.

B.1

C.i. 2

D. 2 - 2

2 2 2

分析：平面图形是上底长为 1,下底长为12，高为2的直角梯形?计算得面积为 2 2 .

图13

正视图恻视图答案：D

|.0

4?斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M （4,4）在直观图中对应点是 M'则点M'的找法是 ______________

分析：在x 轴的正方向上取点 M i ，使O' M i =4，在y 轴上取点M 2,使0' “2=2，过M i 和M ?分别作平 行于y 轴和x 轴的直线的交点就是 M .

答案：在x ' O 中，过点（4, 0）和y 轴平行的直线与过（0, 2）和x 轴平行的直线的交点即是? 5?根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状

图14

分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中 间有一个圆形的孔?从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔

（五）拓展提升

问题：如图16所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图

探究：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥 拼接而成?

解：由此可以推测该物体大致形状如图

俯视图

侧视图