2007年北京市高考数学试卷(文科)
2007年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是（）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
2．（5分）函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）
A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1） D．[9，+∞）
3．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
4．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）
A． B．C． D．
5．（5分）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）
A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个
6．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）
A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥7
7．（5分）平面α∥平面β的一个充分条件是（）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
8．（5分）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos （x+2），判断如下三个命题的真假：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A．①③B．①②C．③D．②
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是．10．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为；数列na n中数值最小的项是第项．
11．（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是．
12．（5分）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=．
13．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．
14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
则f[g（1）]的值为；当g[f（x）]=2时，x=．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（Ⅰ）若a=3，求P；
（Ⅱ）若Q?P，求正数a的取值范围．
16．（13分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a n}的通项公式．
17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．
18．（13分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（Ⅰ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（Ⅱ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．
19．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
20．（14分）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
2007年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2007?北京）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是（）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
【解答】解：∵cosθ?tanθ=sinθ＜0，
∴角θ是第三或第四象限角，
故选C．
2．（5分）（2007?北京）函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1） D．[9，+∞）
【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x （0＜x≤2）的值域，
由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得1＜f（x）≤9，
故选B．
3．（5分）（2007?北京）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π
【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）
所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π
故选B．
4．（5分）（2007?北京）椭圆的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）
A． B．C． D．
【解答】解：因为椭圆的准线方程为x=±，所以|MN|=；又|F1F2|=2c，则由|MN|≤2|F1F2|，得到≤4c，即≥，即e=≥，又a＞c，所以e＜1，
则该椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故选D
5．（5分）（2007?北京）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）
A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个
【解答】解：本题是一个分步计数原理，
先选两个字母，第一个有26种选法，
由于字母可以重复，第二个也有26种选法，
字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，共有A104种结果，
根据分步计数原理知共有26×26×A104，
故选A．
6．（5分）（2007?北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）
A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥7
【解答】解：由图可知5≤a＜7，
故选C．
7．（5分）（2007?北京）平面α∥平面β的一个充分条件是（）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
【解答】证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；
对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．
8．（5分）（2007?北京）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A．①③B．①②C．③D．②
【解答】解：①若f（x）=lg（|x﹣2|+1）则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
②f（x）=（x﹣2）2则：
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）﹣f（x）=4x﹣4在（﹣∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真．③若f（x）=cos（x+2），则：
f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；
f（x）在（﹣∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假；
但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假．
故选D
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）（2007?北京）f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是3．
【解答】解：f′（x）=x2+2，把x=﹣1代入f′（x）得：f′（﹣1）=1+2=3
故答案为：3
10．（5分）（2007?北京）若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为2n﹣11；数列na n中数值最小的项是第3项．【解答】解：由题意可知：数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），∴当n=1时，a1=s1=1﹣10=﹣9；
当n＞1时，a n=s n﹣s n﹣1=n2﹣10n﹣（n﹣1）2+10（n﹣1）=2n﹣11；
综上可知：数列的通项公式为a n=2n﹣11，n∈N*．
∴数列{na n}的通项公式为：，
所以当n为3时数列na n中数值最小．
故答案为：a n=2n﹣11，n∈N*、3．
11．（5分）（2007?北京）已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是﹣3．
【解答】解：+λ=（2，4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）．
∵⊥（+λ），
∴?（+λ）=0，
即（1，1）?（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0，
∴λ=﹣3．
故答案：﹣3
12．（5分）（2007?北京）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=．【解答】解：∵tanA=∴sinA=
根据正弦定理可得：∴AB=×=
故答案为：
13．（5分）（2007?北京）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积
为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．
【解答】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．
∴5cosθ﹣5sinθ=1，
∴cosθ﹣sinθ=．
∴两边平方得：1﹣sin2θ=，
∴sin2θ=．
∵θ是直角三角形中较小的锐角，
∴0＜θ＜．
∴cos2θ=．
故答案为：
14．（5分）（2007?北京）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
则f[g（1）]的值为1；当g[f（x）]=2时，x=1．
【解答】解：由题意得，g（1）=3，则f[g（1）]=f（3）=1
∵g[f（x）]=2，即f（x）=2，∴x=1．
故答案为：1，1．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）（2007?北京）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（Ⅰ）若a=3，求P；
（Ⅱ）若Q?P，求正数a的取值范围．
【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．
（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．
由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q?P，结合图形
所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．
16．（13分）（2007?北京）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2=2（2+3c），
解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．
（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，
所以．
又a1=2，c=2，故a n=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以a n=n2﹣n+2（n=1，2，）
17．（14分）（2007?北京）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．
【解答】解：（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，
又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△COE中，CO=BO=2，，
∴．
又．
∴
∴在Rt△CDE中，．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为．（9分）
解法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，
则O（0，0，0），，C（2，0，0），，
∴，，
∴=．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，
，，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为．（14分）
18．（13分）（2007?北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（Ⅰ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（Ⅱ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．
【解答】解：（I）∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，
∴本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，
而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有A106种结果，
∴根据古典概型公式得到P==0.1512．
（II）∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，
∴本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，
而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有C63种结果，
其他三人在其余9个车站下车的可能有93，共有93C63
∴根据古典概型公式得到P==0.01458．
19．（14分）（2007?北京）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
【解答】解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3
又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．
3x+y+2=0．
（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又．
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．
（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2，
即|PM|﹣|PN|=2．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．
因为实半轴长a=，半焦距c=2．
所以虚半轴长b=．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为．
20．（14分）（2007?北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
【解答】解：（I）由方程消y得x2﹣kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得k＞2．
（II）由f′（x）=2x，求得切线l1的方程为y=2x1（x﹣x1）+y1，
由y1=x12+2，并令y=0，得t=，x1，x2是方程①的两实根，
且x1＜x2，故x1=，k＞2，
x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是．
t是关于x1的增函数，定义域为，所以值域为（﹣∞，0）．（III）当x1＜x2时，由（II）可知|OM|=|t|=﹣．
类似可得|ON|=．|OM|﹣|ON|=﹣．
由①可知x1x2=2．
从而|OM|﹣|ON|=0．
当x2＜x1时，有相同的结果|OM|﹣|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．
参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；caoqz；qiss；sllwyn；涨停；wdlxh；xintrl；豫汝王世崇；ying_0011；wsj1012；yhx01248；zlzhan；lily2011；wodeqing；301137（排名不分先后）
菁优网
2017年5月26日