高中数学竞赛教案讲义(11)圆锥曲线
第十一章 圆锥曲线
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 e d PF =| |(0 +y 2 =a 2 , c 2: x 2 +y 2 =b 2 , a, b ∈R + 且a ≠b 。从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2 椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为 122 22=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为?? ?==θ θ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 122 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(± a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=， 与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+22 22b y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 12 2 22=-b y a x ， 参数方程为? ??==?? tan sec b y a x （?为参数）。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 12 2 22=-b x a y 。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 122 22=-b y a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦 点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c e =，由a 2 +b 2 =c 2 知e>1。两条渐近线方程为x a k y ±=，双曲线12222=-b y a x 与12222-=-b y a x 有相 同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b ，则称为等轴双曲线。 9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线122 22=-b y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是 它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ 2222 cos 2c a ab -。 10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2 (p ，准线方程为2p x - =，标准方程为y 2 =2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2 p x + ； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 θ 2 cos 12-p 。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0 ρcos 1e ep -=。 二、方法与例题 1．与定义有关的问题。 例1 已知定点A （2，1），F 是椭圆116 252 2=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。 例2 已知P ，'P 为双曲线C ：122 22=-b y a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1延长 线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q. 2．求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。 例4 长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。 例5 在坐标平面内，∠AOB=3 π ，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方程。 3．定值问题。 例6 过双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点， B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。 注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例7 设抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x 轴。证明：直线AC 经过定点。 例8 椭圆12222=+b y a x 上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：22||1 ||1OB OA +为 定值。 4．最值问题。 例9 设A ，B 是椭圆x 2 +3y 2 =1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。 例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 23，若圆C ：=-+22 )2 3(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。 5．直线与二次曲线。 例11 若抛物线y=ax 2 -1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 例12 若直线y=2x+b 与椭圆14 22 =+y x 相交，（1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。 三、基础训练题 1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m 2 (>0)，则动点的轨迹是________. 3．椭圆 1361002 2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 4．双曲线方程 152||2 2=-+-k y k x ，则k 的取值范围是________. 5．椭圆 164 1002 2=+y x ，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是________. 6．直线l 被双曲线14 22 =-y x 所截的线段MN 恰被点A （3，-1）平分，则l 的方程为________. 7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y 2 =32x 上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________. 8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________. 9．已知曲线y 2 =ax ，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450 ，那么a=________. 10.P 为等轴双曲线x 2 -y 2 =a 2 上一点， | || |||21PO PF PF +的取值范围是________. 11．已知椭圆1212212=+b y a x 与双曲线122 2 222=-b y a x 有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个焦 点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。 12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a< 2 r )；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足.1| |||==AN NQ AM MP 求证：|AM|+|AN|=|AB|。 13．给定双曲线.12 2 2 =-y x 过点A （2，1）的直线l 与所给的双曲线交于点P 1和P 2，求线段P 1P 2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1．双曲线与椭圆x 2 +4y 2 =64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准 方程是_________. 2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________. 3．双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF 1|为直 径的圆与以|A 1A 2|为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率3 1 = e ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________. 5．4a 2 +b 2 =1是直线y=2x+1与椭圆122 22=+b y a x 恰有一个公共点的_________条件. 6．若参数方程?????+=+=t m y t m x 22222 （t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线 的方程是_________. 7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆152 2=+m y x 总有公共点，则m 的范围是_________. 8．过双曲线16 92 2=-y x 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9．过坐标原点的直线l 与椭圆 12 6)3(2 2=+-y x 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________. 10．以椭圆x 2 +a 2y 2 =a 2 (a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个. 11．求椭圆122 22=+b y a x 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12．设F ，O 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点O 都在以AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。 13．已知双曲线C 1：122 2 22=- a y a x (a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点F 1。 （1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1．在平面直角坐标系中，若方程m(x 2 +y 2 +2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是_________. 2．设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦，已知|OF|=a ，|PQ|=b ，ΔOPQ 面积为_________. 3．给定椭圆122 22=+b y a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则 离心率e 的取值范围是_________. 4．设F 1，F 2分别是双曲线122 22=-b y a x (a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的动点，过F 1作 ∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹为_________. 5．ΔABC 一边的两顶点坐标为B （0，2）和C （0，2-），另两边斜率的乘积为2 1 - ，若点T 坐标为(t,0)(t ∈R + ),则|AT|的最小值为_________. 6．长为l(l<1)的线段AB 的两端点在抛物线y=x 2 上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于_________. 7．已知抛物线y 2 =2px 及定点A(a,b),B(-a,0),ab ≠0,b 2 ≠2pa ，M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为_________. 8．已知点P （1，2）既在椭圆12222=+b y a x 内部（含边界），又在圆x 2+y 2=3222 b a +外部（含 边界），若a,b ∈R + ,则a+b 的最小值为_________. 9．已知椭圆13 42 2=+y x 的内接ΔABC 的边AB ，AC 分别过左、右焦点F 1，F 2，椭圆的左、右顶点分别为D ，E ，直线DB 与直线CE 交于点P ，当点A 在椭圆上变动时，试求点P 的轨迹。 10．设曲线C 1：12 22=+y a x （a 为正常数）与C 2：y 2=2(x+m)在x 轴上方有一个公共点P 。（1） 求实数m 的取值范围（用a 表示）； （2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0 1 时，试求ΔOAP 面积的最大值（用a 表示）。 11．已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （-1，0）和B （0，8）关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：∠GAC=∠EAC 。 2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。 3．以B 0和B 1为焦点的椭圆与ΔAB 0B 1的边AB i 交于C i (i=0,1)，在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧00Q P 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1' 0P ，交AB 0的延长线于0'P 。求证：（1）点0'P 与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0；（2）P 0，Q 0，P 1，Q 1共圆。 4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v 0和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间 的 夹角）α(α∈[0,π],α≠ 2 π )射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。 5．直角ΔABC 斜边为AB ，内切圆切BC ，CA ，AB 分别于D ，E ，F 点，AD 交内切圆于P 点。若CP ⊥BP ，求证：PD=AE+AP 。 6．已知BC ⊥CD ，点A 为BD 中点，点Q 在BC 上，AC=CQ ，又在BQ 上找一点R ，使BR=2RQ ，CQ 上找一点S ，使QS=RQ ，求证：∠ASB=2∠DRC 。 答案： 基础训练题 1．圆。设AO 交圆于另一点'','A A 是A 关于'A 的对称点。则因为AB P A AP BA '','⊥⊥，所以P 在以''AA 为直径的圆上。 2．圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点，则 22 2221||1||m k y kx k y kx =??? ? ??++-+???? ??++。化简为2k 2x 2+2y 2=m 2(1+k 2). 当k ≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。 3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P 到左焦点距离为10e=10×10 8 =8,所以P 到右焦点的距离为20-8=12。 4．-2 .3 3 64设两条焦半径分别为m,n ，则因为|F 1F 2|=12,m+n=20.由余弦定理得122 =m 2 +n 2 -2mncos600 ,即(m+n) 2 -3mn=144.所以3 256 = mn ，.3364232121=? =?mn S F PF 6．3x+4y-5=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则.14 ,142 22 22121=-=-y x y x 两式相减得4))((2121x x x x -+-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.由12,322121-=+=+y y x x ，得431 212-=--x x y y 。故 方程y+1=4 3 - (x-3). 7.-4.设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)，则 3 8 21++y y =0，所以y 1+y 2=-8，故直线BC 的斜率为 .432 32 322 12 122121212-=+=--=--y y y y y y x x y y 8．16)2(9)1(2 2---x y =1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组???=-+=--0 1043,0243y x y x 得中心为(2,1)，又准线为5 4 -=y ，知其实轴平行于y 轴，设其方程为2 222)1()1(b x a y ---=1。其渐近线方程为 b x a y 11-± -=0。所以y-1=b a ±(x-1).由题设4 3 =b a ，将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为22 22b x a y -=1。由平移公式? ??-=-=1',2'y y x x 平移后准线为 c a y 259=-=，再结合4 3=b a ，解得a 2=9，b 2 =16，故双曲线为16)2(9)1(22---x y =1。 9．2．曲线y 2 =ax 关于点（1，1）的对称曲线为(2-y)2 =a(2-x), 由?????-=-=) 2()2(,2 2x a y ax y 得y 2-2y+2-a=0,故y 1+y 2=2,从而2121x x y y k --== 2 )(212 22121a y y a y y y y a =+=--=1，所以a=2. 10．（2，22]。设P(x 1,y 1)及 t PO PF PF =+| || |||21，由|PF 1|=ex 1+a ,|PF 2|=ex 1-a,|PF 1|+|PF 2|=2ex 1, 所以t a x x =-2 211 222，即8222221 -=t t a x 。因2 21a x ≥，所以 )0(822 222≠≥-a a t t a ，所以18 222≥-t t 即2 11.解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，由题设|F 1F 2|2 =4)(4)(2 2222121b a b a +=-=4c 2 ，又 根据椭圆与双曲线定义 ???? ?=+=+, 2||||, 2||||221121a PF PF a PF PF 解得|PF 1|=a 1+a 2,|PF 2|=a 1-a 2. 在ΔF 1PF 2中，由余弦定理 ||||2||||||cos 212 21222121PF PF F F PF PF PF F ?-+= ∠ ) )((2)2()()(21212 221221a a a a c a a a a -+--++= .)()(2 2212 2212221222221b b b b a a a c c a +-=----= 从而.arccos 2 2 212 2 2121b b b b PF F +-=∠ 又sin ∠F 1PF 2=,2cos 12 2 212 1212b b b b PF F +=∠- 所以.sin ||||2 1 2121212 1 b b PF F PF PF S PF F =∠?= ? 12．解：以直线AB 为x 轴，AT 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则由定义知M ，N 两点既在抛物线y 2 =4ax 上，又在圆[x-(a+r)]2 +y 2 =r 2 上，两方程联立得x 2 +(2a-2r)x+2ra+a 2 =0，设点M ，N 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x 1+a ，|AN|=|NP|=x 2+a. |AB|=2r ，所以 |AM|+|AN|=x 1+x 2+2a=2r=|AB|. 得证。 13．解：若直线l 垂直于x 轴，因其过点A(2,1)，根据对称性，P 1P 2的中点为（2，0）。 若l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y-1=k(x-2)，即 y=kx+1-2k. ① 将①代入双曲线方程消元y 得 (2-k 2 )x 2 +2k(2k-1)x-(4k 2 -4k+3)=0. ② 这里2±≠k 且Δ=[2k(2k-1)]2 +4(2-k)2 (4k 2 -4k+3)=8(3k 2 -4k+3)>0, 设x 1,x 2是方程②的两根，由韦达定理 .2 ) 12(22)12(22 221--=--- =+k k k k k k x x ③ 由①，③得 y 1+y 2=kx 1+(1-2k)+kx 2+(1-2k) =k(x 1+x 2)+2(1-2k)= .2 ) 12(42 --k k ④ 设P 1P 2的中点P 坐标(x,y)，由中点公式及③，④得 ,2 ) 12(22,2)12(2221221--=+=--=+= k k y y y k k k x x x 消去k 得 .14 7)21(87)1(2 2 =---y x 点（2，0）满足此方程，故这就是点P 的轨迹方程。 高考水平测试题 1． .1123622=-y x 由椭圆方程得焦点为)0,34(±，设双曲线方程122 22=-b y a x ，渐近线为.x a b y ± =由题设3 1= a b ，所以a 2=3b 2,又34=c ,c 2=a 2+b 2. 所以b 2=12, a 2 =36. 2. 900 。见图1，由定义得|FA|=|AA 1|,|FB|=|BB 1|，有∠1=∠BFB 1，∠2=∠AFA 1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB 1+∠AFA 1=900 。 3．相切，若P(x,y)在左支上，设F 1为左焦点，F 2为右焦点，M 为PF 1中点，则|MO|= 21|PF 2|=21(a-ex)，又|PF 1|=-a-ex ，所以两圆半径之和21(-a-ex)+a=2 1 (a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。 4． .3 10 与F 1对应的另一条准线为x=-11，因|MF 1|与M 到直线x=-11距离d 1之比为e ，且d 1=|x m +11|=10.所以 3110||1=MF ，所以|MF 1|=.3 10 5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b 2 +4a 2 )x 2 +4a 2 x+a 2 (1-b 2 )=0. ① 若Δ=(4a 2) 2 -4(b 2 +4a 2 )a 2 (1-b 2 )=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b 2 +4a 2 =1；反之，4a 2 +b 2 =1，直线与椭圆有一个公共点。 6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2 =4(x-m)，焦点为? ??=+=,2, 1m y m x 它在直线y=2(x-1)上。 7．1≤m<5。直线过定点(0,1)，所以0m 1 < ≤1.又因为焦点在x 轴上，所以5>m,所以1≤m<5。 8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。 9． 6π或π6 5 。设直线l: y=kx 与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，把y=kx 代入椭圆方程得(1+3k 2 )x 2 -6x+3=0，由韦达定理得 ,316 2 21k x x += + ① .313 2 21k x x += ② 因F （1，0），AF ⊥BF ，所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,即 x 1x 2-(x 1+x 2)+1+k 2x 1x 2=0. ③ 把①，②代入③得33,312 ±== k k ，所以倾斜角为6π或.6 5 π 10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A ，B 分别位于y 轴左、右两侧，设CA 斜率为k(k>0)， CA 的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a 2k 2 +1)x 2 +2a 2 kx=0，得x=0或1 2222+=k a k a x ，于是 )0,1 2(222+-k a k a A ，|CA|= .1122222++k a k k a 由题设，同理可得|CB|=1 122 22 2++k a k k a ,利用|CA|=|CB|可得 (k-1)[k 2 -(a 2 -1)k+1]=0, 解得 k=1或k 2 -(a 2 -1)k+1]=0。① 对于①，当1 多有3个。 11．解 设焦点为F 1，F 2，椭圆上任一点为P(x 0,y 0),∠F 1PF 2=θ,根据余弦定理得 |F 1F 2|2 =|PF 1|2 +|PF 2|2-2|PF 1|?|PF 2|cos θ, 又|PF 1|+|PF 2|=2a ，则4c 2 =(2a)2 -2|PF 1|?|PF 2|(1+cos θ),再将|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0及 a 2= b 2+ c 2代入得4b 2=2(a 2-e 2 20x )(1+cos θ). 于是有.12cos 2 222 --=x e a b θ 由02 20 a x ≤≤，得2 20 2 2 2 a x e a b ≤-≤，所以1cos 22 2 2≤≤-θa a b 。因θ∈[0，π]，所以 cos θ为减函数，故0.2arccos 222??? ? ??-≤≤a a b θ 当2b 2 >a 2 即b a 2<时，02222>-a a b ，arccos ]2,0[,222 22πθπ∈<-a a b ，sin θ为增函数，sin θ取最大值222 222arccos sin a bc a a b =?? ??? ????? ??-；当2b 2≤a 2 时，arccos 22222π≥-a a b ,θ∈[0,π]，则sin θ最大值为1。 12．解 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，若AB 斜率不为0，设为k ，直线AB 方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得 (b 2 +a 2k 2 )x 2 +2a 2k 2 cx+a 2 (k 2c 2 -b 2 )=0. ① 则x 1,x 2为方程①的两根，由韦达定理得 ,22 222221k a b c k a x x +-=+ ② .) (2 22222221k a b b c k a x x +-= ③ 因为y 1y 2=k 2 (x 1+c)(x 2+c)，再由②，③得.2 2 22 221b k a k b y y +-= 所以OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2=2 222 24222)(b k a b a b c a k +--,O 点在以AB 为直径的圆内，等价OB OA ?<0，即k 2 (a 2c 2 -b 4 )-a 2b 2 <0对任意k ∈R 成立，等价于a 2c 2 -b 2 ≤0,即ac-b 2 ≤0,即e 2 +e-1≤0.所以0 .2 1 5- 若斜率不存在，问题等价于.2 c a b >即2 1 5- 1 50-< 距离a p 32=，抛物线 .342ax y -= ① 把①代入C 1方程得 .0234222=-+a ax x ② Δ=64a 2 >0，所以方程②必有两个不同实根，设为x 1,x 2,由韦达定理得x 1x 2=-a 2 <0，所以②必有一个负根设为x 1,把x 1代入①得y 2 =134ax -,所以132ax y -±=（因为x 1≠0），所以C 1， C 2总有两个不同交点。 （2）设过F 1(a 3-,0)的直线AB 为my=(x+3a),由?????+=-=a x my ax y 3,342 得y 2+43may-12a 2 =0， 因为Δ=48m 2a 2 +48a 2 >0，设y 1,y 2分别为A ，B 的纵坐标，则y 1+y 2=ma 34,y 1y 2=-12a 2 .所以 (y 1-y 2)2=48a 2(m 2 +1). 所以S ΔAOB = 2 1|y 1-y 2|?|OF 1|= 2 3a ? 34a?22226161a m a m ≥+=+，当且仅当m=0时，S ΔAOB 的面积取最小值；当m →+∞ 时，S ΔAOB →+∞，无最大值。所以存在过F 的直线x=a 3-使ΔAOB 面积有最小值6a 2 . 联赛一试水平训练题 1．m>5.由已知得 m y x y x 5 )2(132)1(2 222= -++-++，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数 m 5，由椭圆定义m 5<1，所以m>5. 2..ab a 因为b=|PQ|=|PF|+|QF|= θ θπθ2sin 4)cos(12cos 12a a a =+-+-,所以 b a 2sin =θ。 所以S ΔOPQ = 2 1 absin θ=ab a . 3.? ?? ? ? ??-1,215。设点P 坐标为(r 1cos θ,r 1sin θ),点Q 坐标为(-r 2sin θ,r 2cos θ)，因为P ，Q 在椭圆上，可得 2222211 111b a r r +=+，Rt ΔOPQ 斜边上的高为2 2 22 2121b a a b r r r r +=+≤|OF|=c. 所以a 2b 2≤c 2(a 2 +b 2 )，解得 2 1 5-≤e<1. 4.以O 为圆心，a 为半径的圆。延长F 1M 交PF 2延长线于N ，则2 1 // = OM F 2N ，而 |F 2N|=|PN|-|PF 2|=|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以|OM|=a. 5.t ∈(0,1]时|AT|min = 22t -,t>1时|AT|min =|t-2|.由题设k AB ?k AC =-2 1 ,设A(x,y)，则2 1 22=+?-x y x y (x ≠0)，整理得 2 42 2y x +=1(x ≠0)，所以 |AT|2 =(x-t)2 +y 2 =(x-t)2 +21222=???? ? ?-x (x-2t)2+2-t 2 .因为|x|≤2,所以当t ∈(0,1]时取x=2t,|AT|取最小值22t -。当t>1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|. 6..42l 设点M(x 0,y 0) ，直线AB 倾斜角为θ，并设A(x 0-θθsin 2 1 ,cos 2100--y x ), B(x 0+ θθsin 21 ,cos 210+y ),因为A ，B 在抛物线上，所以 ,)cos 21 (sin 21200θθ-=-x y ① ,)cos 2 1 (sin 21200θθ+=+x y ② 由①，②得 2x 0cos θ=sin θ. ③ 所以.4 1 )cos cos 1(41sin 21)cos 21(222200-+=+- =θθθθl x y 因为l 2 <1，所以函数f(x)= x l x 2 1+.在（0，1]在递减， 所以441)1(4122 0l l y =-+≥。当cos θ=1即l 平行于x 轴时，距离取最小值.4 2l 7．.2,??? ??b pa a 设??? ? ?????? ????? ? ??22 22121102 0,2,,2,,2y p y M y p y M y p y M ，由A ，M ，M 1共线得y 1=b y pa by --002，同理B ，M ，M 2共线得b y pa y -=022，设(x,y)是直线M 1M 2上的点，则y 1y 2=y(y 1+y 2)-2px ，将以上三式中消去y 1,y 2得 y 02 (2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当x=a,y= b pa 2时上式恒成立，即定点为.2,??? ??b pa a 8．63+ 。由题设 1412 2≤+b a 且a 2+2 b 2≤15，解得5≤b 2 ≤6. 所以a+b ≥444 2 2+++=+-t t t b b b (t=b 2 -4∈[1,2])，而44+++t t t ) 4(3) 2(2642436436++-≥ ++-?+- ≥-+?+≥t t t t t t t t t ，又t ≤2可得上式成立。 9．解 设A(2cos θ,θsin 3), B(2cos α,3sin α),C(2cos β,3sin β)，这里α≠β， 则过A ，B 的直线为l AB ： y x =+---θθαθαθsin 3)cos 2() cos (cos 2) sin (sin 3，由于直线AB 过点 F 1(-1,0)，代入有3(sin θ-sin α)?(1+2cos θ)=23sin θ(cos θ-cos α)，即2sin(α-θ)=sin θ-sin α=22 sin α θ-?2 cos α θ+,故+=++-2 cos 2cos 32 cos 2 cos 2θ αθ αθ α 02 sin 2 sin =θ α ，即2 tan α ?32 tan -=θ 。又l BD :2 tan 23)2()cos 1(2sin 3α αα=++= x y ?(x+2)=)2(2 tan 23 3+- x θ ，同理得312tan 2 tan -=?θ β 。l CE : ) 1(cos 2sin 3-= ββ y (x-2)= 2tan 2332 tan ) 2(23 θβ=--x ?(x-2). 两直线方程联立，得P 点坐标为?? ??? ???????+-+-12tan 2tan 36,12tan 22tan 2222θθθθ，消去2tan θ得点P(x,y)在椭圆 127 42 2=+y x 上（除去点(-2,0),(2,0)）. 10.解 （1）由?? ???+==+)(2,122 22m x y y a x 消去y 得x 2+2a 2x+2a 2m-a 2=0,①设f(x)=x 2+2a 2x+2a 2m-a 2 ，问题 （1）转化为方程①在x ∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况： 10 ．Δ=0，得2 12+= a m ，此时x p =-a 2，当且仅当-a<-a 2 。f(a)?f(-a)<0， 当且仅当-a .由于-a-2a 2 <-a ，从而m ≠-a.综上当0 2 12+=a m 或-a (2)ΔOAP 的面积.21p ay S = 因为0 1,故当-a 0<-a 2 +a m a a <-+212,由唯一性得x p =-a 2 +.当m=a 时，x p 取最小值。由于x p >0，从而2 21a x x p p - =时取值最大，此时 22a a x p -=，故2 a a a S -=；当2 12+=a m 时，x p =-a 2 ，y p =21a -,此时 .1212a a S -= 以下比较2a a a -与2121a a -的大小。令22121 a a a a a -=-，得31=a ，故当0 max 121a a S -=；当2 131<-)1(a a a 2 121a a -，此时.2max a a a S -= 11．解：设A ，B 关于l 的对称点分别为A 1(x 2,y 2),B 1(x 1,y 1)，则AA 1中点??? ? ??-2,212 22y x A 在l 上， 所以 y 2=k(x 2-1) ① 又l ⊥AA 1,所以 .1 1 22k x y -=+ ② 由①，②得 ??? ??? ?+-=+-=.12,1 1 22222k k y k k x 同理，由BB 1中点???? ??+-28,2112y x B 在l 上，且l ⊥BB 1,解得??? ??? ? +-=+=. 1)1(8,11622121k k y k k x 设抛物线方程为y 2 =2px ，将A 1，B 1坐标代入并消去p 得k 2 -k-1=0. 所以251±= k ，由题设k>0，所以251±=k ，从而.55 2 =p 所以直线l 的方程为x y 251±=，抛物线C 的方程为.55 4 2x y = 联赛二试水平训练题 1．以A 为原点，直线AC 为x 轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(x D ,kx D ),B(x B ,-kx B )，则直线DF 的方程为 .0=-+ -y kx x f f x D D ① 直线BC 的方程为 .0=--+-y kx x c c x B B ② c ×①-f ×②得 (c-f)x+ .0)](11[1=+-??? ? ??+y f c x x cf k B D ③ ③表示一条直线，它过原点，也过DF 与BC 的交点G ，因而③就是直线AG 的方程。 同理 ，直线AE 的方程为 (c-f)x+.0)](11[1=+-??? ? ??+y f c x x cf k B D ④ ③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC 。 2．证明 假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A 0，其他顶点坐 标为：???? ??11111,d c b a A ，…，???? ??=n n n n n d c b a A ,，其中i i i i d c b a ,都是既约分数，并记A n+1=A 0.若p 与q 奇偶性相同，则记p ≡q ，否则记p ≠q ，下面用数学归纳法证明。 b k ≡1,d k ≡1(k=1,2,…,n)，a k +c k ≠a k-1+c k-1(k=1,2,…,n,n+1)。 当k=1时，由12 11211 =??? ? ??+???? ??d c b a ，得2121212121c d b d a -=?，因为a 1,b 1互质，所以d 1被b 1整除，反之亦然（即b 1被d 1整除）。 因此b 1=±d 1，从而112 12 12 12 1,.c a c a d b +==不可能都是偶数（否则b 1也是偶数，与互质矛盾）； 2019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线 教学目标 （1）通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义； （2）通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义； （3）能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义． 教学重点，难点 （1）椭圆、抛物线、双曲线的定义； （2）用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义． 教学过程 一．问题情境 1．情境： 我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。提出问题： 2．问题： 用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 二．学生活动 学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线： 对于第一种情况，可在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们 都与截面相切（切点分别为，），且与圆锥面的侧面相切， 两球与圆锥面的侧面的公共点分别构成圆和圆． （图） 设点是平面与圆锥面的截线上任意一点，过M点作圆锥面的一条母 线，分别交圆，圆与，两点，则和，和分别是上下两球的切线．因 为过球外一点作球的切线长相等，所以，， 所以 12 MF MF MP MQ PQ +=+=． 因为，而，是常数，所以是一个常数．即截线上任意一点到两个定 点，的距离的和等于常数． 可直接给出放进双球后的图形，再由学生发现＂到感知、认同即可． 三．建构数学 1．椭圆的定义： 平面内到两定点，的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 说明： 图 1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 高中数学选修2-1 圆锥曲线定义练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点， 垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 2.方程表示的曲线是（） Ａ．一条直线和一双曲线Ｂ．两条直线 Ｃ．两个点Ｄ．圆 3.已知点（4，2）是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的 方程是（） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 4.若不论k为何值，直线与曲线总有公共点， 则的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的 横坐标之和等于5，则这样的直线（） Ａ．有且仅有一条Ｂ．有且仅有两条 12 F F ， 22 22 1(0) x y a b a b +=>>M 2 MF 12 60 F MF ∠= 1 2232 22 ()(1)0 x y xy -+-= l 22 1 369 x y +=l 20 x y -= 240 x y +-= 2340 x y ++=280 x y +-= (2) y k x b =-+221 x y -= b ([ (22) -，[22] -， 24 y x =A B ， 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - - - 线 - - - - - - - - - - - - - - 内 - - - - - - - - - - - - - - 请 - - - - - - - - - - - - - - 不 - - - - - - - - - - - - - - 要 - - - - - - - - - - - - - - 答 - - - - - - - - - - - - - - 题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ● §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH = 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞ 1 / 8 选修2-1圆锥曲线与方程（复习） 编者：史亚军 1. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 2. 能解决直线与圆锥曲线的一些问题； 3.激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观。 学习重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质 学习难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质 使用说明： （1）快速阅读教材第二章和所学导学案； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下 列问题，总结规律方法； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识再现 问题1：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第一定义及标准方程？ （1）椭圆的定义： 椭圆的标准方程： （2）双曲线的定义： 双曲线的标准方程： （3）抛物线的定义： 抛物线的标准方程： 组长评价： 教师评价： 问题2：根据下面的标准方程，作出相应椭圆、双曲线、抛物线的图形，并说明图像具有的几何性质？ （1）2212516x y += （2）22 12516 x y -= （3）28y x = 问题3：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第二定义？ 一动点M 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e ， 如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是椭圆； 如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是双曲线； 如果常数e = ，那么这个点的轨迹是抛物线； 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。 请用第二定义推导焦半径公式：（12,F F 分别为左右焦点） （1）点P 是椭圆上一动点：1PF = ；2PF = ； （2）点P 是双曲线左支上一动点：1PF = ；2PF = ； （3）点P 是抛物线上一动点：1PF = ；2PF = ； 高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例 一、椭圆 1.椭圆的定义： 第一定义：平面内到 点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做 第二定义: 平面内到 的距离之比是常数 的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的 ,常数e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在 例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5 ∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) (A)32 (B)63 (C)22 (D)23 例5. P 点在椭圆 120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为2 3 ，经过点(2，0); 二、双曲线 1.双曲线的定义： 第一定义：平面内到 等于定值 的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点的距离叫做双曲线的 第二定义: 平面内到 距离之比是常数 的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的 ,常数e 叫做双曲线的离心率 标准方程 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= 几类圆锥曲线问题 一、弦长问题 圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例1 过抛物线2 4 1x y - =的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解．解答为： ∵ 抛物线方程为y x 42 -=， ∴焦点为(0，-1)． 设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入y x 42 -=中得：0442 =-+kx x ．∴k x x x x 442121-=+-=， 由|AB|=8得:()()41441822 -??--?+=k k ∴1±=k 又有1tan ±=α得:4π α= 或4 3πα= . 分析二:利用焦半径关系.∵2 ,221p y BF p y AF +-=+ -= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成． 二、最值问题 方法1：定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解． 例2、已知点F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋ |PA |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9. 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。2019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线
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