2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅲ卷)数学试题 (理科)解析版
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合
{}{}
|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）
(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0， 2]
[3,+∞）
【答案】
D
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．
【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
（2）若i 12z =+，则4i
1zz =
-（ ）
(A)1 (B) -1 (C)i (D) i -
【答案】C 【解析】
试题分析：4i 4i
i
(12i)(12i)11zz ==+---，故选C ．
考点：1、复数的运算；2、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
（3）已知向量
13
(,)
22 BA
=
，
31
(,)
22
BC=
，则ABC
∠=（）
(A)30?(B)45?(C)60?(D)120?
【答案】A
考点：向量夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为
·cos
a b a bθ
＝
，其中θ是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180
θ
?≤≤?；（2）由向量的数量积的性质有||=
a a a·，
·
cos
a b
a b
θ=
，·0
a b a b
?⊥
＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C?，B点表示四月的平均最低气温约为5C?．下面叙述不正确的是（）
(A)各月的平均最低气温都在0C?以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于20C?的月份有5个
【答案】
D
考点：1、平均数；2、统计图．
【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．
（5）若
3
tan 4α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ）
(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】
试题分析：由
3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264
cos 2sin 24252525αα+=+?=
，故选A ．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去
非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
（6）已知43
2a =，25
4b =，13
25c =，则（ ）
（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】
试题分析：因为4
223
3
5
244a b ==>=，1223
3
3
2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函
数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B
考点：程序框图．
【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
（8）在ABC △中，
π4B
，BC 边上的高等于1
3BC
,则cos A
（ ）
（A ）310 （B ）10
（C ）10
（D ）
310
【答案】C 【解析】
试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =
+=，
2AB AD =．由余弦定理，知
22222225910
cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD
+-+-===-
???，故选C ． 考点：余弦定理．
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使
用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B
考点：空间几何体的三视图及表面积．
【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．
(10) 在封闭的直三棱柱
111
ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，
8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）
（A ）4π （B ）92π （C ）
6π （D ）323π
【答案】B 【解析】
试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下
底面都相切时，球的半径取得最大值3
2，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．
考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变
动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C
的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
（A ）13 （B ）12
（C ）23 （D ）34
【答案】A
考点：椭圆方程与几何性质．
【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e
的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．
（12）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任
意2k m ≤，12,,,k
a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”
共有（ ）
（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，得必有10
a=
，81
a=
，则具体的排法列表如下：
【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若,x y满足约束条件
10
20
220
x y
x y
x y
-+≥
?
?
-≤
?
?+-≤
?则z x y
=+的最大值为_____________.
【答案】3 2
【解析】
试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y
=+经过
点
1 (1,)
2 A
时取得最大值，即
max
13
1
22
z=+=
．
考点：简单的线性规划问题．
【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．
（14）函数
sin3cos
y x x
=-的图像可由函数sin3cos
y x x
=+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】3
2π
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
（15）已知
()
f x
为偶函数，当0
x<时，()ln()3
f x x x
=-+，则曲线()
y f x
=
在点
(1,3)
-处的切线方程是_______________．
【答案】
21
y x
=--
【解析】
试题分析：当0
x>时，0
x-<，则()ln3
f x x x
-=-．又因为()
f x为偶函数，所以
()()ln3
f x f x x x
=-=-，所以
1 ()
3
f x
x
'=-
，则切线斜率为
(1)2
f'=-，所以切线方程为
32(1)
y x
+=--，即21
y x
=--．
考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0
x>时，函数()
y f x
=，则当0
x<时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数
()
f x为偶函数，则当0
x<时，函数的解析式为()
y f x
=-；若
()
f x为奇函数，则函数的解析式为()
y f x
=--．
（16）已知直线l：330
mx y m
++-=与圆2212
x y
+=交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若23
AB=，则||
CD=__________________.
【答案】4
考点：直线与圆的位置关系．
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知数列
{}
n
a
的前n项和
1
n n
S a
λ
=+
，其中0
λ≠．
（I）证明
{}
n
a
是等比数列，并求其通项公式；
（II）若
5
31
32
S=
，求λ．
【答案】（Ⅰ）
1
)
1
(
1
1-
-
-
=n
n
a
λ
λ
λ；（Ⅱ）1
λ=-．
由
1
≠
a，0
≠
λ得0
≠
n
a
，所以
1
1
-
=
+
λ
λ
n
n
a
a
.
因此
}
{
n
a
是首项为λ
-
1
1
，公比为1
-
λ
λ
的等比数列，于是
1
)
1
(
1
1-
-
-
=n
n
a
λ
λ
λ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
n
n
S)
1
(
1
-
-
=
λ
λ
，由32
31
5
=
S
得32
31
)
1
(
15=
-
-
λ
λ
，即
=
-
5
)
1
(
λ
λ
32
1
，解得1
λ=-．
考点：1、数列通项n
a
与前n项和为n
S
关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为n
S
．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n
n
a
q
a
+=
（常数）；（2）中项法，即证明
2
12
n n n
a a a
++
=
．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合
y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立
y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
7
1
9.32
i
i
y
=
=
∑
，
7
1
40.17
i i
i
t y
=
=
∑
，
7
2
1
()0.55
i
i
y y
=
-=
∑
，7≈2.646.
参考公式：相关系数
1
22
11
()()
()(y y)
n
i i
i
n n
i i
i i
t t y y
r
t t
=
==
--
=
--
∑
∑∑
，
回归方程
y a b
=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
()
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
--
=
-
∑
∑
，
a y bt
=-．
【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．
试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
4
=
t，
28
)
(
7
1
2=
-
∑
=i
i
t
t
，
55
.0
)
(
7
1
2=
-
∑
=i
i
y
y
，
89
.2
32
.9
4
17
.
40
)
)(
(
7
1
7
1
7
1
=
?
-
=
-
=
-
-∑∑
∑
==
=i i
i
i
i
i
i
i
y
t
y t
y
y
t
t
，
99
.0
646
.2
2
55
.0
89
.2
≈
?
?
≈
r
．
因为
y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合
y与t的关系.
考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD
BC ，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN
平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）8525．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN
AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以
,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平
面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．
试题解析：（Ⅰ）由已知得2
32
==
AD AM ，取BP 的中点T ，连接
TN AT ,，由N 为PC
中点知BC TN //，221
==
BC TN .
又BC AD //，故
TN AM
，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.
因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .
设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即?????=-+=-02250
42z y x z x ，可取
(0,2,1)n =，
于是
||85
|cos ,|25||||n AN n AN n AN ?<>=
=
.
考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常
常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l
分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR
FQ ；
（II ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
21y x =-．
试题解析：由题设
)
0,21
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b
a R
b Q a P b b B a A +---.
记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则22
2111k b a ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
，
所以AR
FQ . ......5分
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，
则
2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=
??.
由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .
设满足条件的AB 的中点为),(y x E .
当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB
k k =可得)
1(12≠-
=+x x y
b a .
而y b
a =+2，所以
)1(12
≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为
利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
（21）（本小题满分12分）
设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．
（Ⅰ）求()f x '；
（Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．
【答案】（Ⅰ）'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2
123,05611,1
8532,1a a a a A a a a a ?
-<≤??++?=<
-≥???；（Ⅲ）
见解析．
试题解析：（Ⅰ）'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．
（Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为
2
()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令
2
()2(1)1
g t at a t
=+--，则A是|()|
g t在[1,1]
-上的最大值，(1)
g a
-=，
(1)32
g a
=-，且当
1
4
a t
a
-=
时，
()
g t取得极小值，极小值为
22
1(1)61
()1
488
a a a a
g
a a a
--++
=--=-
．
令
1
11
4
a
a
-
-<<
，解得
1
3
a<-
（舍去），
1
5
a>
．
（ⅰ）当
1
5
a
<≤
时，
()
g t在(1,1)
-内无极值点，|(1)|
g a
-=，|(1)|23
g a
=-，
|(1)||(1)|
g g
-<，所以23
A a
=-．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
'
|()||2sin2(1)sin|2|1|
f x a x a x a a
=---≤+-.
当
1
5
a
<≤
时，
'
|()|1242(23)2
f x a a a A
≤+≤-<-=.
当
1
1
5
a
<<
时，
13
1
884
a
A
a
=++≥
，所以
'
|()|12
f x a A
≤+<.
当1
a≥时，'
|()|31642
f x a a A
≤-≤-=，所以'
|()|2
f x A
≤.
考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．
【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如
sin()
y A x B
ω?
=++的形式；（2）结合自变量x的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，
O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．
（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．
【答案】（Ⅰ）60?；（Ⅱ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=?∠=∠，所以3180PCD ∠=?， 因此60PCD ∠=?. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=?，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．
考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆． 【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线
1
C的参数方程为
3cos
()
sin
x
y
α
α
α
?=
?
?
=
??
为参数
，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2
C
的极坐标方程为
sin()22
4
ρθ
π
+=
（I）写出1
C
的普通方程和2
C
的直角坐标方程；
（II）设点P在1C上，点Q在2
C
上，求
PQ
的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）1
C
的普通方程为
2
21
3
x
y
+=
，2
C
的直角坐标方程为
40
x y
+-=；（Ⅱ）
31
(,)
22．
试题解析：（Ⅰ）1
C
的普通方程为
2
21
3
x
y
+=
，2
C
的直角坐标方程为
40
x y
+-=. (5)
分
（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为3,sin)
αα
，因为2
C
是直线，所以
||
PQ的最小值即为P到2
C
的距离
()
dα的最小值，
3
()2sin()2|
3
2
d
π
αα
==+-
.
………………8分
当且仅当
2()
6
k k Z
π
απ
=+∈
时，
()
dα2，此时P的直角坐标为
31
(,)
22. ………………10分
考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．
【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为
(cos,cos)
a b
αα，将其转化为三角问题进行求解．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．
（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．
试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x ∈R 时，
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，
当
1
2x =
时等号成立，
所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解； 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥， 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分
考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用． 【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对||a b a b
≥＋－，当且
仅当0a b >>－时，等号成立，对||a b a b a b
≤≤－－＋，如果0a b <<－，当且仅
当a b
≥且0ab ≥时左边等号成立，当且仅当0ab ≤时右边等号成立．