高数作业本答案(上册)

第一章答案

习题1.1

1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）?

?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤

时，为,当φ时，为2

>a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2

∈-=x x

y ； 4）?

??≤<-≤≤-+=10,1

1,1x x x x y .

5.?

??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21

,1))((>≤???=x x x f g .

习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0

→x f x ,1)(lim 0

=→x f x ; 1)(lim 0

-=?-

→x x ,1)(lim 0

=?-

→x x ,)(lim 0

x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2

)1cot 1(arctan

lim 0

π=+→x arc x x . 3. 略

习题1.4

1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5

1.1)1；2）

21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2

；4）6.

3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2）

1+； 2.1）2

e ；2）4

-e 3.1）2；2）

32；3）2

2-；4）e ；5）e 1；6）6π.

4.当e

a 21

时极限存在，为e . 习题1.7

2.1)不等价；2）不等价；3）等价；4）等价

3.1）极限为??

??<∞=>m

n m n m

n ,,1,0；2）21；3）4；4）1-；5）3-.

4.1）1,1-==b a ；2）5,7==b a ；3）2

,211-==b a ；4）2,1-==b a 习题1.8

1.1）),2()2,0()0,1()1,(+∞---∞ ；2）),0()0,(+∞-∞

2.1）1-=x 为第二类无穷间断点；1=x 为第一类可去间断点；0=x 为第一类跳跃间断点； 2）0=x ，π+π

k x 2

为第一类可去间断点；π=k x 为第二类无穷间断点； 3）0=x 为第二类无穷间断点. 3.2ln ,2==b a

4.连续区间：),1()1,1(+∞- ，函数在1=x 处间断，为第二类无穷间断点. 习题1.9

1.1)12ln +；2)1；3）a

21；4）2ln -；5）3

e ；6）

；7）a cos ；8）0 习题1.9 答案略自测题

1. C B C C B B ；

2. 1）]21,0(；2）18

；3）2；4）2-；5）]1,0(；6）1- 3. 1）

1；2）0；3）1；4）1-；5）4；6）0；7）1-；8）5；9）1；10）3-e 4. 0lim =∞

→n n x ；

5. 0lim =∞

→n n x

2)0(=f

7. 1）3ln -=c ；2）0,1=-=b a 8. 不连续，0=x 是可去间断点 9. π

=8,2b a

10. 证明略

第二章答案

习题2.1

1. 1) 02()f x '；2)1；3)22y x =-；4)（1，1）；5)2，不存在．

2. 不可导．

3. 1

2a b ==，(1)1f '=．4.cos ,0()1,0x x f x x

．习题2.2

1. 1) )1(ln cos sin 3

1332

+++-a e a x x x x x

x ； 2) 11cos t +；

3) 1；

； 5) 22()xg x ． .

(1)42π

+；2)1． 3.

2arcsin

；2) sec x ； 3)22221122sin sin sin cos x x x x x x --；

ln ln(ln )

x x x ．

4． 1) 2

sin 2(sin )2()()cos ()xf x f x f x f x ''+； 2）()

[()()()]f x x x x e

e f e f x f e ''+；

3)1((2f e e e '-．

5. ()a ?．

6. 3

23ln(1),01cos 2,0x x x x

x x ?-++>?+??≤?

．

习题2.3

1．1)2

2sin 4cos x x x --；2)3；3)(ln )n kx

k a a ．

2．1)11

2411,(12)x

x y e y e x x x

--'''==-；

2）21ln cos sin 2,x

y e x e x x x x

'=+

+- 221ln 2sin 22cos 2x

x x y e x e e x x x x x ''=+---；

3)21111211

2()()()()2()y xf f y f f f x x x x x x x

'''''''=-=-+，.

3．1) 1

(1)(2)!

n n n x

---；2)1[3sin(3)sin()]222n n n x x ππ+++． 4. 2022(84421)x e x +. 习题2.4

1．1)ln /()y y y x -；2)sin sin (cos ln )x

x x x x

；

3)-4）2

x y =-

. 2．1) 2222(cot )21x x

x e x e +--； 2) sin sin ()[cos ln ]11(1)x x x x

x x x x x ?++++；3)tan t ；4) x y x y

e y x e ++--. 3．1)223211y y dy d y y dx ye dx y e +=-=-，；2) 221,()

dy d y t dx dx f t ==

''； 3)2322csc dy b d y b

t dx a dx a

=-=-cott ，. 4．切线方程：22

y =-

+，法线方程：23y x =-. 5．（2，3），27y x =-+. 习题2.5

1． 1) 1.1； 2) 2

1dx

x -+； 3) 3；4) (sin 22cos 2)x x x dx +. 2．1) 2ln(1)1x dx x --；2) 4

21xdx x

-+；3) 222

8tan(12)sec (12)x x x dx ++.

3．1)C ；2) 1cos33x C -+；3) 1tan 22x C +；4)212

e C --+；5)ln(1)x C --+；

6)csc x ; 7)212x e C +;1

sin C x

自测题答案

1．1) 1tan 2

21111(sin sec cos )x e x x x x -+；2) 24442

2(1),1(1)

x x x y y x x +'''==--；

3) sin 2sin [(cos ln )sin 2(sin )]x

x x

x x xf x dx x '?+

+；4) 1

1ln 2ln 2

π+-； 5) 223

2()

,()x y x y y y x y x y ++'''==--；6）222311,dy d y t dx t dx t +==-. 2．11

1(),0(1)x

x e e x f x x e --'=≠- 3. (0)0f '= 4. (0)2()f b a ?''=

5. ()11(1)![(2)(1)]n n n n y n x x ----=----

第三章答案

习题3.1 1. 1). 13

f ()15;2).(1,2),(2,3),(3,4);3).e f ()(b a )4ξξ??

???

. 习题3.2 1. 1

1);

2)2;;3)1;

114);5);22

''06)1;8)1. 2.1)1;2)

f (x ).2

；7)

习题3.3 1.

2347

111

2(x 4)(x 4)(x 4)(x 4),(01);

464512

4!16[4(x 4)]

θθ=+---+--

-<<+-

n 1x x 2.x x (x )2!(n 1)!

O ++++++-

习题3.4 1. 1). 11

(,),(,);22

-∞+∞

525039

2).(,);3).,32722

-。 3.(0,n )∞单增，（n,+)单减；

4．∞∞拐点（-1，ln2）,(1,ln2),凸区间（-，-1]，[1，+）,凹区间[-1，1]。习题3.5

1.1)x 1,2=-； 2)

2．9

a ,

b 6.2

3.(2)4

f k π

π+

= 5(2)4

f k π

π+

4..e

习题3.7

1. 12)k 2=。

2．1）.K=1，R=1；2）.R=/2。

第四章答案

习题4.1

1 1）1x ； 2）32x ； 3）cos x C +； 4）()f x '； 5）

2ln 2

x C π++； 6） arctan x x C -+； 7）3ln 31

x x

e C ++； 8） 3arctan 2arcsin x x C -+；

9）tan x x C -+； 10）()1

sin 2

x x C ++.

2 1) 1

arctan x C x

++； 2）x e C -； 3）tan cot x x C -+； 4）cot tan x x C --+； 5）()1

tan 2

x x C ++ .

3 l n 1y x =+.

习题4.2

1 1）313t e C +； 2）()4

1328x C --+)； 3）212

x e C +；

4) 1ln 122x C --+； 5）1

cos x b ax be C a

--+； 6）C ；

7）

21sec 2x C +； 8）1

cos C x +； 9

）C ； 10）()2

2112

x C --+.

2 1）61sin 6x C +； 2）21ln 252x x C +++； 3）()()3

322

11arctan 133

x x C --+；

）arccos x

C -+； 5）()arctan f x C +????

；（6）arctan x

e C +； 7）

23ln 2232ln

x x

x x C ++-. 3 1

）2arcsin 2a x C a ?+ ?； 2

C + 3

）arcsin x C ； 4

C +；

）C +.

习题4.3

1 1) cos sin x x x C -++ ； 2）()ln 1x x C -+； 3

）arcsin x x C ；

）)

32C +； 5）()()xf x F x C -+.

2 1) 21122x e x C -??

++ ??

?； 2) 2sin 2cos 2sin x x x x x C +-+； 3）(

)1x C +； 4）

()1sin cos 2

e x x C --+； 5

）

)

213C +； 6）()cos ln sin ln 2

x x C ++； 7）()()22

11arctan ln 1arctan 22

x x x x C -+-+.

习题4.4

1）2

ln 310x x C +-+； 2）211ln 25arctan

x x x C --+++； 3

）)

4ln 1C +；4

C +.

自测题

1）()2

31232x C --+； 2）ln lnln x C +； 3）11

cos cos5210

x x C -+；

）(2C +； 5）1ln C x x -

+； 6

）32

sec 3

C ； 7

）(ln 6ln 1x C -+； 8

）(1arcsin ln 2

x x C +++；

）C -； 10）()ln 11

x x

x e C e -++++； 11）2tan x

x C +； 12

arctan 1x x e C -.

第五章答案

习题5.1 1. 1) 0, 2) 2

。 2. 1）>; 2）< ; 3）> 。3.提示：利用积分中值定理。习题5.2

1．1） 2; 2）y y y y y 2sin 4)(sin sin cos sin 22-; 3） 2

s i n

x . 2. 1） 12e ; 2） 2

2π??

???

. 3．当0x =时，函数()F x 有极小值 0.

4． 2

t -. 5.

cos sin 1

x - 6. 提示：用积分中值定理。

7． 0=b 时极限为a sin ，0≠b 时极限为))cos((cos 1

b a a b

+-.

习题5.3

1．1) 22π-； 2) 3

324

π； 3) 4

16a π； 4)2π.

2. 1)

2(1)e e -; 2) 24π-; 3．2.； 4. 3

习题5.4

1. 1) 错误； 2) 错误； 3) 正确； 4) 正确.

2． 1) 不收敛. 2) 收敛, 积分值为4-. 3) 收敛, 积分值为1-，

4) 收敛, 积分值为

π 自测题答案

1. 1) C, 2) D, 3) D, 4)D.

2. 提示：利用积分性质。

3. )(2

a f a ; 4. 提示：利用罗尔中值定理。

5. 1）.)1ln(11-++e 。 2）.

2ln 8

. 3）. 2ln 3ln 2

-+-

6. 利用导数定义，)()1(x f x f -+。

7. 22

p ω

ω+. 8. 2

42()33

f x x x =-

第六章参考答案

习题6-1参考答案

1.（1）

3ln 22-；（2）b a -；（3）124；（4；（5）54π。 2.（1）12864,75x y V V ππ==；（2）3

π。

3.3

V R =

。4.6a 。5. 8a 。习题6-1参考答案

1.（1）240Nm ；（2）3888kgm π。

2.（1）4375003

kg ；（2）6

10kg . 第六章自测题参考答案

1.423,36A V ==。

2. 2211

2,(2)2A e V e e e

π=+-=+-。 3.16

(1)(2,4);(2)44;(3)15

x M y x V π=-=。

第七章答案

习题7.1

1.(1) 2； (2) 1； (3) 4 ；(4) 0xy y '+=. (5) 2x y e -=； *4. ()2()20x y x y y y ''---+=. 习题7.2

1.(1) 222y x x C +-= ； (2) cos sin x y C =； (3) ()()22211y x Cx ++=.

2.(1)2ln(1)ln 2x y e =+- ； (2) ()1(2)1y x e +-=；

(3) ()1sec x e y +=

习题7.3

1.(1) 1Cx y xe +=； (2) sin

ln y

x C x

=+； (3) Cx y xe =；(4) 2xy y Cx +=. 2.(1) tan ln y x x =； (2) ()22arctan ln ln 24

y x y x π

++=+；

(3) ()222ln 2y x x =+. 习题7.4

1.(1) cos (tan )y x x C =+；(2) 1

2x Cy y

； (3) 22112y x C y ??=+ ?

+??

；(4) 12C y x x =+ . 2. (1) 1cos y

x y

π--=

； (2)()1

arctan y x C π

3. (1) ()2

1x e C x y -=； (2)()

2211x y x Ce ++=.

习题7.5

1.(1)2123sin 3cos y x x x C x C x C =--+++ ；

(2) ()12ln sec y x C C =++；(3)()()12ln 12y x C x x C =++-+.

2. (1)4

12x y ??

=+ ??? ； (2)arctan 4y x π=+或1tan 1tan x y x +=-.

习题7.6

1. (1)线性无关； (2)线性无关；(3)线性无关；(4)线性相关.

2. (1)2

12()x y C C x e =+. 习题7.7

1. (1)312x

y C C e =+ ； (2)2

12x y e C x C x ??=+ ? ??

? ； (3) 512x

x y C e

C e -=+；(4)123cos sin y C C x C x =++.

2.(1)()273x y x e -=- ；(2)y =.

习题7.8

1.(1)2

122

x y C C e x =+-- ；(2) 6127cos /745sin /74x x y C e C e x x =+++；

(3) ()221213164x x y e C C x e -=++

+；(4)121cos cos 2

x y C x C x x e =+++. 2.(1)52

cos sin 2cos 233

y x x x =-+++ ；(2)()2x x x y e e e x x -=-+-.

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1 1．判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π，（或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学上册答案

第六章定积分的应用 1、[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积y x y x ==2 3 01,. 2、.,2 2 积轴旋转所得旋转体的体围成的平面图形绕求由曲线ox y x x y == 2 112212121)()()()() ( )(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s b a ---+=? 则如图表示的面积和、 ????= <<===a b b a e e e e x b a y b a xdx D dx e C dy e B xdx A A y b a b y a y x y ln )()()(ln )()0(ln ,ln ,ln 4ln ln ln ln 面积为轴所围成的平面图形的及、曲线 dy y y D dx x x C dy y y B dx x x A A x y x y )43 ( )()34()()43( )()34()(4,351 4 4 1 2 3 121 42 2 ????------ ------= -== 积所围成的平面图形的面、曲线 dx x x D dx x x C dx x x B dx x x A A y x x y )32 ( )()2 3()()32( )()23()(3,2 62 1 1 2 1 1 22 2 22 2 2 2 22 2 22 -- - -----= =+=????--- - 面部分的面积所围成的平面图形上半、求曲线 4 1 )(31)(21)(1)(72 　积是所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = =

2 3 )(3)(21)(1)(83 3 　积为所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = = 3 4 )(320)(1217)(1273)(: 293 2　积为所确定的平面图形的面及、由不等式D C B A x x y x ≤≤≤ 3 )(1)(0)(2)(0,cos ,sin 10 积是所围成的平面图形的面及、曲线D C B A x x x y x y π==== 3 24)(21)(1)(32 4)(2 0sin sin 113 2 - += ===ππ π 积为所围成的平面图形的面及和、曲线D C B A x x y x y 6 25)(29)(6)(4)(223122 　积所围成的平面图形的面与直线、曲线D C B A A y x x y = =+-= 12 13 )(49)(94)(421)() ( )1(2)4,0(42132 002 　的平面图形的面积所围成与曲线处的切线上点、曲线D C B A A x y T M M x x y =-=+-= 1 1 )()1 1(2)(1 )(1)(0,1ln 14+-+-= === =e D e C e e B e e A A y e x e x x y 积所围成的平面图形的面及与直线、曲线 15、积为所围成的平面图形的面与直线抛物线x y x x y =-=)2(____________． π ππππθθ29 )(9)(2)(4)()20(c o s 216 积为所围成的平面图形的面、曲线D C B A r ≤≤+= 4 )(41)(3)( 2)(02)1(173 2 π π π　旋转体的体积为轴旋转所得的所围成的平面图形绕和直线、由曲线D C B A x x x y =-=

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=，所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。故选：D。点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。故选：B。点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。故选：C。点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

高数课后题答案及详解

2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！

《高等数学》详细上册答案1-7

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点： 1.函数的概念及表示方法； 2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4.基本初等函数的性质及其图形； 5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6.极限的性质及四则运算法则； 7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法； 8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型； 10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质. 天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2 h 第 1 章第 1 节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题 1 － 1 4(3) (6) (8),5(3)★, 9(2),15(4) ★,17★ 4(4)(7),5(1), 7(2),15(1) 本节有两部分内容考研不要求，不必学习： 1. “二、映射”； 2. 本节最后—— 双曲函数和反双曲函数

第二天3 h 1 章第 2 节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性) 习题 1 － 2 1(2) (5) (8) ★ 3(1) 1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义； 2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。第 1 章第 3 节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题 1 － 3 2,4★3, 1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义； 2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。第三天3 h 第 1 章第 4 节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题 1 － 4 4,6★1,5 大家要搞清楚无穷大与无界的关系

精品高数课后题答案及详解

高等数学习题及答案一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ，其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程.

解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34 134（-+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 =？ 11172488x x ++==，直接积分。解：7 15888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然33x x x e e = （）。