2013年高考数学广东卷(理科)试题+详细解析+试卷分析报告

图1

正视图俯视图

侧视图

2013理

普宁二中杜林生整理发布，仅供参考

台体的体积公式121

()3

V S S h =

，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高． 1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =U A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}-

2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 3. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面，z 对应的点的坐标是 A ．(2,4)

B ．(2,4)-

C ．(4,2)-

D ．(4,2)

的分布列为，则X 的数学期望()E X =

A ．

2 B ．2 C ．5

D ．3

5. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是

A ．4

B ．

143 C ．163

D ．6 6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，

下列命题中正确的是

A ．若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n

B ．若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n

C ．若m ⊥n ，m ?α，n ?β，则α⊥β

D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β

7.中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3

，则C 的方程是 A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．22

125

x y -= D ．2212x = 8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =L . 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是 A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ?S B ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C ．(,,)y z w ?S ，(,,)x y w ∈S D ．(,,)y z w ?S ，(,,)x y w ?S

9. 不等式2

20x x +-<的解集为_______________

10. 若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k =11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________

12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=______

13. 给定区域D ：4440x y x y x +??

+???

≥≤≥. 令点集

0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，

则T 中的点共确定_________条不同的直线.

14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C

的参数方程为x t

y t

?=??=??（t 为参数），C 在点（1,1）处

的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为___________. 15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，

延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若6AB =， 2ED =，则BC =____________

16.（12

分）())12

f x x π

，x ∈R .

（1）求()6

f π

的值；

（2）若3cos 5θ=

，3(

,2)2

πθπ∈，求(2)3f π

θ+.

17.（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.

图3

D 图4

1　7 92　0 1 53　0

18.（14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=o ，6BC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的

点，CD BE ==O 为BC 的中点. 将△ADE 沿DE 折起，得到如图6所示的四棱椎A BCDE '-，

其中A O '=.

（1）证明：O ⊥平面BCDE ；

（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

图6

图5

C D

A C

19.（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，21212

n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求2a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有121117

n a a a +++

20.（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2

，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；

（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ?的最小值.

21.（14分）设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）当1(,1]2

k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .

2013理参考答案

1 D,

2 C,

3 C,

4 A,

5 B,

6 D,

7 B,

8 B

9. (2,1)- 10. 1- 11. 7 12. 20 13. 5 14. cos sin 20ρθρθ+

-=（填sin()4π

ρθ

+=cos()4

ρθ-= 15.

1.D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-

2.C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =

3. C ；2442i

z i i +=

=-对应的点的坐标是()4,2- 4. A ；331153

12351010102

EX =?+?

+?== 5. B ；该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2

,故()

22114

12233

V =+?= 6. D ；ABC 是典型错误命题

7. B ；依题意3c =,3

e =

,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-= 8. B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈

利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是

(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.

9. ()2,1-；易得不等式220(2)(1)0+-

10. 1-；求导得1

y k x

'=+

,依题意10k += 11. 7 ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；

第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==

12. 20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=

13. 6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为

()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线

14. sin 4πρθ??

+= ??

；

曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=

ABC CDE ??:,所以AB BC CD DE

=, 又BC CD =,所以212BC AB DE =?=

A '

D E

16. 解：（1）()))16

1242

f π

π-=-

=-== （2）∵3cos 5θ=

，3(

,2)2

θπ∈ ∴4sin 5

θ==-

∴4324

sin 22sin cos 2()5525θθθ==?-?=-

222

2347

cos 2

cos sin ()()5525

θθθ=-=--=-

∴(2)))cos 2sin 233124f π

πθθθθθ+

=+=-72417

()252525

=---=

17. 解：（1）样本均值为

171920212530

226

+++++= （2）由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有1

1243

?=名优秀工人.

（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A ，

∴11842

1216()33C C P A C =

=，即恰有1名优秀工人的概率为16

18. 解：（1）连结OD ，OE

∵在等腰直角三角形ABC 中，45

B C ∠=∠

=o ，CD BE ==3CO BO ==

∴在△

COD

中，OD ==

，同理得OE =

∵AD A D A E AE ''====A O '=∴222A O OD A D ''+=，222A O OE A E ''+= ∴90A OD A OE ''∠=∠=o

∴A O OD '⊥，A O OE '⊥，OD OE O =I ∴A O '⊥平面BCDE

（2）方法一：过点O 作OF CD ⊥的延长线于F ，连接A F ' ∵A O '⊥平面

BCDE ∴A F CD '⊥

∴A FO '∠为二面角A CD B '--的平面角

在

Rt △COF

中，cos 452

OF CO ==o 在Rt △A

OF '中，A F '==

∴cos 5

OF A FO A F '∠==

' ∴二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5

方法二：

取DE 中点H ，则OH OB ⊥ 以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系

则(0,0,0),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '--

OA '=u u u r

是平面BCDE 的一个法向量

设平面A CD '的法向量为(,,)x y z =n

，CA '=u u u r ，(1,1,0)CD =u u u r

∴300

CA y CD x y ?'?=+=???=+=??u u u r u u u r n n ，令1x =，则1y =-

，z =

∴(1,=-n 是平面A CD '的一个法向量

设二面角A CD B '--的平面角为θ，且(0,

θ∈

∴cos 5OA OA θ'?==='?u u u r u u u r n n

∴二面角A CD B '--

的平面角的余弦值为

19. 解：（1）当1n =时，112212

21133S a a ==---，解得24a =

（2）方法1：32112

233n n S na n n n +=--- ①

当2n ≥时，32

1122(1)(1)(1)(1)33

n n S n a n n n -=------- ②

①-②得2

12(1)n n n a na n a n n +=----

整理得1(1)(1)n n na n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a a

n n

+-=+

当1n =时，2121121

a a

-=-=

∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列

∴

a n n

=，即2n a n = ∴数列{}n a 的通项公式为2

n a n =，*n ∈N

（2）方法2：令n =2，解得93=a ；猜想2

n a n =，下面用数学归纳法证明。

①当n =1时，猜想显然成立；

②假设当n =k 时，2

k a k =，()()6

121++=

k k k S k

则当n =k +1时，()()()2221

231312132312+=+++++=+++=+k k k k k k k k S a k k

即当n =k +1时，猜想也成立。

综合①②知，对任意正整数n ，2

n a n =。

（3）∵

211111(1)1n a n n n n n =<=---（2n ≥） ∴222212111111111111111()()()123423341n a a a n n n +++=++++<++-+-++--L L L 11171714244

n n =++-=-<

20. 解：（1）焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=

的距离d ===

1c =

∴抛物线C 的方程为24x y =

（2）解法1：设()2,00-x x P ，设切点为???

? ??4,2x x ，曲线C ：42x y =，2x

y =' 则切线的斜率为()2

24002

x y x x x x ='=---，化简得0842002=-+?-x x x x 设???? ?

?4,2

11x x A 、???

??4,2

22x x B ，则21,x x 是以上方程的两根，84,2021021-=?=+x x x x x x 2

44402

1212

21x x x x x x x k AB

=+=--=，()1

212144:x x x x x y l AB -+=-，化简得2200+-=x x x y ；（2）解法2：设2111(,

)4A x x ，2

221(,)4

B x x 由（1）得抛物线

C 的方程为214y x =，12y x '=，∴切线PA ，PB 的斜率分别为112

x ，21

∴PA :211111

()42y x x x x -=- ①

PB :222211

()42

y x x x x -=- ②

联立①②可得点P 的坐标为1

212(,)24x x x x +，即1202

x x x +=，1204x x

y = 又∵切线PA 的斜率为201101

1142y x x x x -=-，整理得2

01011124y x x x =- 直线AB 的斜率 221201212114442

x x x x x k x x -+===- ∴直线AB 的方程为210111

()42y x x x x -=-

整理得20101111224y x x x x x =-+，即001

y x x y =-

∵点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点， ∴0020x y --=，即002y x =-

∴直线AB 的方程为001

y x x x =-+

（3）根据抛物线的定义，有21114AF x =+，2

2114

BF x =+

∴222222

1212121111||||(1)(1)()144164

AF BF x x x x x x ?=++=

+++ 22212121211[()2]1164

x x x x x x =++-+ 由（2）得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+

∴222222

0000000001||||(48)121(2)214AF BF y x y x y y y y y ?=+-+=+-+=++-+

2000192252()22

y y y =++=++

∴当012

y =-时，||||AF BF ?的最小值为9

21. 解：（1）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--

()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=- 令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => ∴(),()f x f x 'x

∴函数()f x （2）2()(1)x f x x e kx =--，[0,]x k ∈，1

(,1]2

k ∈

()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-

()0f x '=，解得0)2ln(,021>==k x x 先比较k 2ln 与k 的大小：

令()ln(2)k k k ?=-，1

(,1]2

k ∈

()10k k k k ?-'=-=≤

∴()k ?在1

(,1]2

上是增函数

∴11

()()022

k ??>=>，即0ln(2)k k <<

∴(),()f x f x '随x

∴()x f 在[]k ,0以下比较()0f ＝1与()()3

1k e k k f k

-?-=的大小：

令()()??

??≤<-?-=121,13

x x e x x h x

()()x e x x e x x h x x 332-=-?='

令()x e x x 3-=?，则()03<-='x

e x ?，()x ?单调递减，

02321>-

=??? ??e ?，()031<-=e ?，存在唯一的???

??∈1,210x 使()0=x ?。所以在??

? ??0,2

1x 上()0>'x h ，()x h 递增；在()1,0x 上()0<'x h ，()x h 递减。

而181221->--

=??

??e h ，()11-=h ，故1)(-≥x h ，即()1-≥k f 。

∴函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)k M f k k e k ==--

2013年高考数学试卷遵循《2013年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学大纲》的规定:贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则,贯彻了“总体保持稳定,深化能力立意,积极改革创新”的指导思想.试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学

思想、数学核心能力的综合考查.试卷具有以下鲜明特点:

1.题型稳定,保持风格

2013年高考数学试卷和2012年高考数学试卷犹如双胞胎,其考查的知识容、题型和整体难易程度与2012年基本一致, 打破了试题难度大小年的规律。

今年的数学试题在题型结构、题量、各题型分值与容分布等方面与往年相比稳中有变. 前三道大题都不难，故要在日常教学中强调表达规完整。后三道大题强调代数运算能力，训练学生严谨细致的思维品质。

2.注重基础,重视教材

试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,

抓纲务本.

整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用.

3.突出重点,考查全面

2013年数学试卷所考查知识点的大致分布如下表.《考试说明》所指出的三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、数列、函数与导数等是中学数学的主干知识,其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷的解答题部分均得到较高的体现. 试卷强调数学语言的理解，尤其是在集合语言上。

4. 突出能力,稳中求变

通览今年的数学试卷,数学思想贯穿始终.整套试卷对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想以及思维能力、运算能力、空间想象能力都进行了全方位的考查.

总之,2013年高考数学试卷从数学基础知识、数学思维方法和学科能力出发,多层次、多角度、多视点地考查了考生的数学素养和学习潜能,是一份难得的好试卷.